4插值法等距节点he分段低次

1、插值法Interpolation等距节点插值Hermite插值分段低次插值1内容提要n 等距节点的Newton 插值l 差分与均差l 等距 Newton 插值2Newton插值公式f (x) = f (x0 ) + f + f - x0 ) + f n (2 (- xn-1 ) + f - x1 ) +Ln wn+1 ( x)( x )Nn( x ):Rn3均差计算时，分母与值有关，计算起来比较复杂，是否可以简化？4均差表均差表xi(xi)一阶差商差商三阶差商n 阶差商x0 x1 x2 x3Mxn(x0)(x1)(x2)(x3)M(xn)x0, x1x1, x2x2, x3Mxn-1, xnx

2、0, x1, x2x1, x2, x3Mxn-2, xn-1, xnx0, x1, x2, x3Mxn-3, xn-2, xn-1, xnx0, x1, xn向前差分l 在实际应用中，通常采用等距节点：xi = x0 + i h ，i = 1, 2, , nh>0，称为步长此时，可以使用差分来简化 Newton插值公式l 向前差分（上简称为差分）D fi=f ( xi + h) - f ( xi )定义为 f(x) 在 xi 处步长为 h 的一阶向前差分5高阶差分l 高阶差分D fi=f ( xi + h) - f ( xi ) =- fifi+1D2= D(D fi ) = D fi

3、+1 - D fi=- 2 fi +1 +fifi + 2fiM向前差分Dnn-1n-1fi = D(Dfi ) = Dfi+1- Dn-1 fin 阶向前差分的定义D0fi =f ( xi )规定6差分与函数值l n 阶差分的具体表达式定义不变算子 I 与移位算子 E，即I fi = fi ,= fi+1E fiD fi =- fi= E fi- I fi = (E - I) fifi+1éùæönnêån-kD nf = (E - I)n f =(-1)kEfúç k ÷iiièø

4、ë k =0ûn(n - 1)L(n - k + 1) fk !n= åk =0(-1)kn-k +iék ùæ nön= êåç= E fi = (I + D)fi÷ Dnnfn+iú fi反之，有ë k =0 è k øû7差分与均差差分与差商之间的关系= Dfkf khkf xk +1 , xk +2 - f xk , xk +1 D2ff = k2h2k +2- xxk +2kLLDm1ff x =(m = 1, 2,L, n)

5、,L, x khmk +mkm!f (n) (x)Dnf= hnf (n) (x)kf n =xÎa, b,xÎ( xk , xk +n )n!8计算差分的函数：diff9差分表差分表xi(xi)一阶差分差分三阶差分n 阶差分x0 x1Mxn-3 xn-2 xn-1 xn(x0)(x1)M(xn-3)(xn-2)(xn-1) (xn)D0MDn-3Dn-2Dn-1D20D21MD2n-3D2n-2D30D31MD3n-3Dn0等距节点插值将 Newton 均差插值多项式中各项均差用相应差分代替，就可得到各种形式的等距节点插值公式。+ t (t -1) D2+L + t (t

6、 -1)L(t - n +1) DnN ( x + th) = f + tDfffn000002!n!Newton前插公式( x ) = t (t - 1)L(t - n ) hn +1 f (n +1) (x) ,x Î ( x , x)其为 R( n + 1)!n0n10插值举例例：给出 f (x) = cos x 在等距节点 0:0.1:0.5 处的函数值，试用4 次 Newton 前插公式计算 f (0.048) 的近似值，并估计误差。解：取等距节点 x=0:0.1:04，做差分表插值点 x = 0. 048t =(x-x0)/h=0. 48N4(0.048) = 1.000

7、00 + 0.48*(-0.00500) + × × ×= 0.99884ex26.m|R4(0.048)| £ t(t-1) (t-2) (t-3) (t-4)h5M5/5! £ 1.09212´10-711xi(xi)DD2D3D40.00.10.20.30.41.000000.995000.980070.955340.92106-0.00500-0.01493-0.02473-0.03428只需使用差分表对角元素-0.00993-0.00980-0.00955-0.00013-0.00025-0.00012差分与中心差分差分fi

8、 = f ( xi )lÑ0Ñ fi =f ( xi ) -f ( xi -1 )(k = 1, 2, ,n)l 中心差分æh öæh ödfi =f ç xi +÷ - f ç xi-÷2 ø2 øèè(k = 1, 2, , n)12dk f = dk -1 f-dk -1 fii+ 1i- 122d0 f = f ( x )iiÑk f = Ñ(Ñk-1 f ) = Ñk-1 f - Ñk-1 fii

9、ii-1内容提要n 等距节点的Newton 插值l 差分与均差l 等距 Newton 插值n Hermite 插值l 重节点差商与 Taylor 插值l 三点三次 Hermite 插值l 两点三次 Hermite 插值13Hermite:巨悲剧，人生很14Hermite 插值为什么 Hermite 插值在许多实际应用中，不仅要求函数值相等，而且要求若干阶导数也相等，如机翼设计等p( x) »f ( x)p(2) ( x ) =iMf (2) ( x )ip(m) ( x ) =f (m) ( x )ii满足函数值相等且导数也相等的插值方法称为Hermite插值15p( xi ) =

10、f ( xi )（i = 0, 1, , n）p '( xi ) = f '( xi )重节点差商l 差商的一个性质定理：设 f(x)Î Cna, b， x0 , , xn 为 a, b 上的互异节点，则 fx0 , , xn 是其变量的连续函数重节点差商f ( xf x , x =lim f x , x =)00010x1 ® x01 = =f lim f f "( x )0202!x1 ® x0x2 ® x0一般地，n 阶重节点差商定义为1f x ,K, x = =( n) ( xlim f f)00n0n!16x 

11、4; xi0Taylor插值什么是 Taylor 插值在 Newton 插值公式中，令 xi ® x0 ,i = 1, , n, 则n-1n Õ( x - xi )Nn ( x) = f ( x0 ) + f - x0 ) +L + f i=1f ( n) ( x)= f ( x0 ) +0 ) +L +0( x - x0 )nf '(n!( n+1)n+1R (n0l Taylor 插值就是在一个节点 x0 上的 n 次 Hermite 插值17Hermite 插值一般来说，给定 m+1 个插值条件，就可以构造出一个 m 次 Hermite 插值多项式n 两个典型

12、的 Hermite 插值l 三点三次 Hermite 插值插值节点：x0 ,x1 ,x2插值条件：p(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，p(x1) = f(x1)l 两点三次 Hermite 插值插值节点：x0 ,x1插值条件：p(xi) = f(xi)，p(xi) = f(xi) ，i = 0, 118三点三次Hermite 插值三点三次 Hermite 插值插值节点：x0 ,x1 ,x2插值条件：p(xi) = f(xi)，i = 0, 1, 2，p(x1) = f(x1)p( x) = f ( x0 ) + f + A(- x0 )2( x - x0 )( x - x1 )

13、- x1 )( x - x2 )可设f 将 p(x1) = f(x1) 代入可得f '( x1 ) - f x0 , x1 - x0 )f 2 ( x1A =- x2 )(119三点三次Hermite 插值l公式由于 x0 , x1 , x2 是 R(x) 的零点，且 x1 是二重零点，故可设R( x) f ( x) - p( x) = K (- x2 )0 )(与 Lagrange 插值公式的推导过程类似，可得( 4)- x2 )R(其中 xx 位于 由 x0 , x1 , x2 和 x 所界定的区间 内20插值举例例：函数 f(x) = x3/2，插值条件如下f(1/4) = 1/

14、8，f(1) = 1，f(9/4) = 27/8，f(1) = 3/2试给出三次Hermite插值多项式，并写出解：作差- 1 )( x - 1)p(4- 9 )+ A(421将 p(1) = f(1) = 3/2 代入可得 A = -14/225xi(xi)一阶差商差商1/419/41/8127/87/619/1011/30插值举例+ x -45025p(R( x) =f ( x) - p( x)f (4) (x)9=-)(4!49x-5/ 29=-)(4!´ 16422两点三次Hermite 插值两点三次 Hermite 插值插值节点：x0 ,x1插值条件：p(xi) = f(x

15、i) = yi，p(xi) = f(xi) = mi，i = 0, 1仿照 Lagrange 多项式的思想，设p( x) H3 ( x) = a0a0 ( x) + a1a1 ( x) + b0b0 ( x) + b1b1 ( x)a0 ()均为 3 次多项式，且满足其中aj ( xi ) = dji ,aj'( xi ) = 0,bj'( xi ) = djibj ( xi ) = 0,i,j= 0, 123两点三次Hermite 插值将插值条件代入立即可得H3 ( x) = y0a0 ( x) + y1a1 ( x) + m0b0 ( x) + m1b1 ( x)如何确定

16、a0(x), a1(x), b0(x), b1(x) 的表达式？a0(x)a0 (a0'( x1 ) = 01 ) = 0,a0'( x1 ) = 0ö2a0 ( x1 ) = 0,a0 (1 ÷x1èø0a0 ( x0 ) = 1,a0'( x0 ) = 0a =2=0-2410两点三次Hermite 插值同理可得ö2a1 ( 0 ÷ø0相类似地，可以推出ö2÷b0 (1 øö2÷b1 (0 ø25a0 (ö21 ÷1

17、ø两点三次Hermite 插值所以，满足插值条件的三次 Hermite 插值多项式为f ( 4) ()xÎR 3 ( x) =x ( x -2(x ,x )1 )x014 !26ö2H 0 ÷- x0 øæö2+ m0 ( x - x0 ) ç0 ÷è0 ø p(x0) = f(x0) = y0，p(x0) = f(x0) = m0p(x1) = f(x1) = y1，p(x1) = f(x1) = m1Hermite插值例题x ， f ¢( x ) =1的数值表：2x已知函

18、数 f ( x) =Hermite 插值多项式计算试用两点三次5近并误差。ö2a÷øö2a÷.237øbR (5) =(5 - 4)2 (5 - 9)2 < 0.00492734!bf (4) (x)x49f ( x )23f (x )1 41 6内容提要n 等距节点的Newton 插值l 差分与均差l 等距 Newton 插值n Hermite 插值l 重节点差商与 Taylor 插值l 三点三次 Hermite 插值l 两点三次 Hermite 插值n 分段低次插值l 为什么要分段插值l 分段线性插值l 分段三次 Hermi

19、te 插值28分段低次插值为什么分段低次插值l多项式插值的性质：出现震荡数值不稳定n® ¥ 时 Ln(x) 不一定收敛于 f(x)l 理论上：插值多项式的次数并非越高越好！例：Runge 函数的等距节点插值多项式x= -5 + 10kÎ-5, 5f (knex22.m29Runge现象L10 ( x)11+ x2ex21.m30分段低次插值l 分段低次插值 用分段低次多项式函数来逼近原函数 f(x)l 常见的分段低次插值l 分段线性插值 每个小区间上用线性多项式来逼近 f(x)l 分段三次 Hermite 插值 每个小区间上用三次Hermite多项式来逼近 f(x

20、)31分段线性插值：折线法1。 Ih ( x) Î C a, b2。 Ih ( xk ) = fk(k = 0,1,L, n)称 Ih ( x) 为分段线性插值函数323。 Ih ( x) 在每个区间xk , xk +1 上是线性函数分段线性插值由以上条件直接可得 Ih(x) 在小区间 xk, xk+1 上的表达式- xkI ( x) = yhk- xk +1kx Î xk, xk+1，k = 0, 1, , n-133误差估计l 误差估计在小区间 xk, xk+1 上有( k )h2Mf ( x) - Ih (k )( x - xk +1 ) £ 2 k 24M

21、2 = maxf "( x)a£ x£bM=f ( x) - Ih (k )( x - xk +1 ) £2R( x)2h8当 h® 0 时，R( x) =f ( x) - Ih ( x) ® 0Ih(x) 在 a, b 上 一致收敛 到 f(x)分段线性插值的缺点： Ih(x) 在节点不可导34( k )k分段三次Hermite插值分段三次 Hermite 插值设 a £ x0 < x1 < ··· < xn £ b 为a, b 上的互异节点yk f(xk) ,mk f'(xk) ， k = 0, 1, , n求分段函数 Ih(x) 满足I h ( x ) Î C a , b 1I h ( xk ) =I h '( xk ) = mk ,k = 0,1, ¼y