等离子体高等i

1、第 2 章 理想磁流体平衡我们知道，自然界中的等离子体即使在大尺度、长时间的磁流体近似条件下，也有多种多样的运动形态。我们研究磁流体等离子体的运动，首先从其最简单的形态出发，即研究理想磁流体的平衡。当然，从物理上看，一个系统容易趋于其能量最低、运动形式最简单的状态。我们这里说的磁流体平衡（Equilibrium），其实是“力学平衡”（Force Balance），而不是热平衡（Thermal Equilibrium）。当然，对磁流体近似来说，局域热力学平衡是基本的假设。但是我们前面说到，通常我们在处理磁流体问题的时候往往“弱化”了这一假设。特别是自然界中存在的等离子体基本上都远离热力学平衡（最

2、典型的是电子温度与离子温度不相等）。所以这里说的“平衡”，除非特指“热力学平衡”（Thermodynamic Equilibrium），都仅仅是“力学平衡”状态。2.1 磁场位形与磁面从上一章中关于“位力”定理的讨论中我们知道，要保持等离子体的力学平< 0 来平衡其内部的力学和热力学衡，唯一可能就是外加一个很大的、负的Uext的“能量”。即或者加一个外部的势场（势阱），或者由外加磁场提供一个“约束”。我们这门课程主要关心磁约束等离子体，所以这里讨论的磁流体平衡问题都是在磁场约束条件下的力学平衡。为了讨论不同磁场位形提供的约束的性质，我们先讨论等离子体中的磁场本身的一些简单的拓扑性质（详细

3、的内容我们会在环形等离子体物理导论课程中讲述）。2.1.1 磁场的一般表示磁场的高斯定理Ñ× B = 0 告诉我们，磁场的三个分量不是相互的。所以磁场B 一般可以由两个变量来表示。借助矢量恒等式Ñ×(A ´ B) = (Ñ´ A) × B - A × (Ñ´ B) ，一种自然的选择是把磁场写成下面的形式B = Ña ´Ñb 。(2-01)不失一般性，在直角坐标系下磁力线可以写成dx = dy = dz BxByBz，对应两组dy = By dxBxdzBz

4、=。，dxBx其一般解a (x, y, z) = Ca ， b (x, y, z) = Cb的三曲面的交线（或者这两组曲面法线的叉乘积（即（2-01）式B = Ña ´Ñb ），就是我们求的磁力线（图 2.01）。但是，这两个任意函数的梯度可以不是相互垂直的，所以同一磁场一般可以对应多种选择。如果我们把磁场写成B = F (y )Ñz + Ñz ´Ñy(2-01)的形式，其中y ,z 都是单值的，则我们可以选择一个坐标系(y , c,z ) 来表示磁场图 2.01：三维曲面a (x, y, z) = Ca 与b (x, y,

5、 z) = Cb 的交线形成的磁力线（2-01）。在此坐标系下，磁力线可以写成dldyd cdz=。BB ×ÑyB ×ÑcB ×Ñz这里 dl 是沿磁力线的微分弧元。如果我们选取的是所谓“环坐标系”(y (r),q , z) ，则有= æ=ö dr = rdq = dz 。dydlBç B dy / dr÷ BBBè rø rqz2.1.2 磁约束等离子体的力学平衡力学平衡状态的必要条件是等离子体的运动状态不随时间变化，即¶ / ¶t = 0 。在此条件下

6、，如果u = u(x) ¹ 0 ，我们称这个平衡状态为“稳态平衡”（SteadyState Equilibrium）；如果同时也有 u = 0 ，则称其为“静态平衡”（Static StateEquilibrium）。前面说过，我们通常说的“等离子体平衡”指“力学平衡”：(u ×Ñu) = -Ñp + J ´ B 。r(2-02)mc而对于静态平衡，则有Ñp = J ´ B = (Ñ´ B)´ B 。(2-02)4pc利用矢量恒等式Ñ(A × B) = A ´ (&

7、#209;´ B) + B ´(Ñ´ A) + A ×ÑB + B ×ÑA ，我们得到Ñæ+ B ö = B ×ÑB =2æ B2 ö +B2Ñ(2-03)ç pb，8p ÷4pç÷|p4p8èøèø图 2.02：磁场主曲率 º b×Ñb = Ñ|b这里磁场矢量b º B / B ，“平行”梯度（parall

8、el gradient） Ñ| º b× Ñ （以后如果不加特殊说明。“平行”都是指平行磁场方向）。而磁场主曲率 º b× Ñb = Ñ|b 显然是垂直磁场方向的（参见图 2.02）。上式又可以写成分量的形式，即æö22BB(Ñp = Ñ p) 。Ñp +=Ñ p = 0(2-04)， ç8p ÷4p|èø2.1.3磁面和磁通函数在一个对任意变量都可以写成 f = f (x, y) 形式的平板模型（slab m）中，

9、我们可以利用磁场表示式（2-01），取z = -z ，y =y (x, y) ，来定义磁场：B = -F (y )z + z´ Ñy º Bz (y )z + z´ Ñy ，(2-05)这里y =y (x, y) 显然是磁矢势的-z 分量，我们称为磁通函数（Flux Function）。事实上，磁场在(x, y) « (y , c ) 平面内的分量只是沿Ñc 方向，即Bc ；且这条磁力线一定在(x, y) 平面内y (x, y) = 常数的曲线上。（在三里这条曲线沿着z 方向延伸成为一个曲面。）在曲线y =y1 ，y =y

10、2 上任意找两点连接起来，则穿过这条连线（沿着 z 方向延伸成为一个曲面）的磁力线的根数òòBc × dSy ,z= Yy ,cy1 ®y 2一定相等。我们称之为“极向磁通量”。因为这两点是任意的，我们可以在y =y1上选取 x1 ，在y =y 2 选取 x2 ，如图 2.03 所示。则，完成对 z 方向的后，有y 2x2x2 ¶yòòy1 ®y 2Bc × dSy ,z = Lz ò Bydx = Lz ò ¶x dx = Lz ò dy = Lz (y 2 -y

11、1) 。y1x1x1图 2.03：磁场在(x, y) « (y , c )平面内的分量与磁通量显然，磁通函数y (x, y) 是沿 z 方向长度上的“极向磁通量”。从（2-05），还可以得到c æ dFöcz´ Ñy + zÑ y，J =Ñ´ B =2(2-06)4p ç dy÷4pèødF ö ÑyJ ´ Bæ= - Ñ y + FÑp =2(2-07)。çdy ÷ 4pcèø

12、;（2-07）显然有形如 p = p(y ) 的解。那么，在 p =常数的“面”上，我们有磁通函数y =常数。所以我们称这个“表面”（在(x, y) 平面内是一条曲线）为“磁面”。利用 p = p(y ) ，（2-07）可以写成形式éùéù22dFdBÑ2y = -pê p += -4pê p +(2-08)4 z ú 。údy8p ûdy8p ûëë我们称这个为“磁面”。不仅适用与直角坐标，而且适用于正交直柱坐标系（如果写y =y (r,q ) ）。一般来说，从

13、F = F (y ) 和（2-08），我们得到 p = p(y ) 。即在y =常数的表面上，p =常数。这其实可以一班地得到。即从（2-04）可知，沿着一条磁力线有 p =常数。如果这条磁力线卷成一个表面，那么在这个表面上处处有 p =常数。这个表面的法线可以由Ñp = Ñ p 给出。我们从（2-02）知道，B Ñp ；并可以看出同时有J Ñp 。所以电流也在这个表面上。这个表面就是磁面本身。显然磁面可以由J ´ B ，或者由Ñp = Ñ p （都是磁面的法向）来定义（见图 2.04）。而该表面 p =常数（即y =常数）

14、可以由磁面（2-08）得到。图 2.04：磁面，压强梯度，与电流分布2.1.4 磁“冻结”问题¶ / ¶t = Ñ´(u ´ ) 可以证明，“涡旋” 是“冻在流体力学中，由“涡旋”结”（frozen in）在流体中的，即这个“涡旋”是随着流体一起运动的。我们发现在理想磁流体近似下，理想磁流体（MHD）的磁场B 满足与流体“涡磁感应（1-20）：¶B / ¶t = Ñ´ (u ´ B) 。对比流体力旋” 同样形式的学的“涡旋”，同样可以证明磁力线是“冻结”在等离子体中的。我们称之为“磁冻结”效应。

15、不失一般性，将磁场一般表示（2-01）带入磁感应（1-20），可以得到，左边：¶B = Ñ ¶a ´Ñb + Ña ´Ñ ¶b = Ñ´æ ¶a Ñb - ¶b Ña ö ，ç÷¶t¶t¶t¶t¶tèø右边：Ñ´(u ´ B) = Ñ´(Ña (u ×Ñb )

16、 - Ñb (u ×Ña ) ；于是有Ñ´æ da Ñb - ¶b Ña ö = 0 ，ç÷èdtdtø则da Ñb - d b Ña = ÑY 。dtdt可以不失一般性地适当选择度规，令ÑY = 0 。如果去掉两个梯度相互平行的部分，剩下的部分所确定的磁力线显然仍然是原来的磁力线，则必有：da = d b= 0 。dtdt所以可以确定磁力线的两组曲面a (x, y, z) = Ca ， b (x, y, z) =

17、Cb 都是随流体元运动的守恒量，则磁力线也随流体元运动不变（见图 2.05）。“磁冻结”的微观图像就是等离子体中电子、离子总是磁力线做回旋运动。当然，非均匀性使得等离子体中总是有各种物理量的梯度存在，这些梯度导致横越磁力线的漂移运动。那么带电粒子是怎么“冻结”在磁力线上的？从静态平衡（2-02）可以得到p = J ´ B ，Ñc或写成=- cÑ p ´ B ；JB2即等离子体电流正是静态平衡下的压强梯度漂移导致的。显然这个电生的磁场会减弱原有的磁场，所以也叫“抗磁漂移”（diamagnetic drift）。从前面讨论可以知道，这个电流是在磁面上的。所以

18、带电粒子实际上是“冻结”在磁面上。从磁面的定义可以看出，每个磁面都是一条磁力线“卷”成的。所以尽管有抗磁漂移，等离子体本质上还是“冻结”在同一条磁力线上。有意思的是，磁流体近似下电流的物理图像是压强梯度漂移，而各种漂移运动的本质都是 Larmor 半径效应引起的。所以磁流体电流的图像是 Larmor 半径效应的最低阶近似。【磁感应（1-20）是对理想磁流体欧姆定律（1-19）取得到的，所以上面讨论中的任意梯度函数ÑY 物理上对应等离子体中的“静电场”。一般地，图 2.05：“冻结”在等离子体中的磁力管在理想磁流体平衡状态，静电场为零， ÑY = 0 是一个“物理”的选择。同

19、样，因为磁矢势A(x) 也可以有一个任意梯度，由E = -ÑY - 1 ¶A ，c ¶t可以适当选择度规： A ® A¢ + ÑF ，使Y = - 1 ¶F ，c ¶t也可以消去电势梯度函数ÑY 。】2.2 Z-箍缩，q-箍缩我们先从简单几何下的磁约束平衡问题出发来研究理想磁流体平衡。可以考虑的简单磁约束位形首先应该是具有柱状几何的位形，比如类似单个直线导体中的电流或者螺线管线圈电生的磁场。这一节里我们就考虑简单的柱状几何位形下的沿着轴方向的电流和环绕轴向的电生的等离子体箍缩得到的平衡。2.2.1Z-箍缩

20、如果等离子体电流只是在具有柱对称几何位形的轴向，即 z 方向，我们有磁场B = qBq (r) ，如图 2.06 所示。在静态平衡下，由（2-02）我们得到力平衡方程æB2 öB2dç p + q ÷ = - q (2-09)，dr è8p ø4p r或dp =-1d()2 2(2-10)r B。qdr8p r 2 dr这个显然没有唯一解。一般我们是从所需要的等离子体压强分布来计算什么样的电流分布才能实现这一压强分布。但也可以从给定的电流分布来计算可能得到的压强分布。取决于实际情况。在这种位形下， Bz = 0 ，等离子体是非常不稳定

21、的（我们在后面讨论）。但是我们也可以利用 Z-箍缩位形的这种不稳定性质。在强电流回路中，由楞次定律（Lenz Law）可知，任何快速的电流变化都会激励这种变化的电动势，并产生一个对应的快速变化的磁通。所以大负载回路的开关或过载保护必须具有“自然”的快速响应性质。这种开关经常利用 Z-箍缩的不稳定性来设计。这方面的研究已经发展成为强电工程技术研究方面的一个专门的分支。在惯性约束聚变研究中，Z-箍缩也是方案之一：在非常细的丝状导线中通上非常强的电流使得导线融化形成等离子体；此时这个电生的非常强的J ´ B 的洛仑兹朝着中心轴来“箍缩”等离子体，进而产生高能量粒子和 X 射线聚变。也可以把

22、这些导体丝组成圆柱形丝阵，使得整个丝阵向中心箍缩，得到更强的 X 射线。Z-箍缩装置作为强 X 射线源和强脉冲聚变有着广泛的应用前景。2.2.2q-箍缩如果只有q 方向的角向电流，磁场 B = zBz (r) ，如图 2.07 所示。则力平衡（2-02）给出æ p + B ö =20 。d(2-11)dr ç8p ÷èø图 2.06：“Z-箍缩”位形这个我们可以得到下面的关系æö22= B (a)Bp +(2-12)，ç8p ÷8pèør <a 这里等离子体边界在r =

23、 a 。这个显然也没有唯一解。同样需要从电流分布计算压强分布，或者从压强分布计算电流分布。在这种位形下， Bq = 0 ，等离子体“非常安全”，或者说“绝对稳定”。其稳定性我们在讨论。但是这种位形存在的问题是：没有轴向约束。解决这一问题有两种方案：磁镜和环形约束。2.2.3 磁镜如果增强等离子体柱两端的磁场 Bz ，我们得到一个“磁镜”（magnetic mirror）位形（如图 2.08 所示）。这个位形通常被称为“线性装置”，曾经是磁约束等离子体研究的最重要的装置。在提出磁镜概念和设计磁镜装置时使用了“绝热不变量”的概念。磁镜等离子体的第一个“绝热不变量”是所谓“磁矩不变量”。即当带电粒子

24、磁力线做高频回旋运动时，对于长时间尺度，可以认为这个回旋运动产生的图 2.08：“磁镜”位形与“绝热不变量”图 2.07：“q-箍缩”位形磁矩mu 2m =2B是一个近似的“守恒量”。则沿着磁力线l ，粒子的动能可以写成1e = m B(l) + m2u 。2|显然，这可以看成带电粒子沿着磁力线在“磁势阱”mB(l) 中的运动。在磁场的极小值 Bmin 两侧如果有一个极大值 BMAX ，则e £ m BMAX 的粒子会被“磁势阱”捕获，在两个极大点之间做“弹跳”（bounce）。对更长时间行为，这个“弹跳”的周期运动给我们第二个“绝热不变量”：“弹跳不变量”。又因为磁场的曲率漂移和压

25、强梯度漂移，会导致做（“回旋”以及）“弹跳”运动的带电粒子在磁镜横截面内的“进动”（precession）。这个运动近似是一个环绕着磁镜圆形截面的周期运动。在非常长的时间尺度下，给我们第三个“绝热不变量”：“进动不变量”。但是这个绝热不变量效应的时间尺度太长，我们一般很少用到。这一概现在的磁约束装置中仍非常重要（“香蕉轨道”与“新经典效应”），在空间物理里也有重要应用（地球偶极场中捕获粒子的运动）。因为在等离子体物理导论的单粒子轨道理论里已经充分讨论过，我们这里就不再详述。我们知道在这种磁约束位形下，带电粒子在速度空间存在着“损失锥”不稳定性（loss cone instability）。这会

26、大大影响等离子体约束时间。2.2.4 环形约束与另外一个对“q -箍缩”位形加轴向约束的方案就是把直柱弯成一个环状。但是此时由 Bz 弯成的环向场在环内侧会比在环外侧强，形成一个指向环外的磁场梯度ÑB 。这个磁场梯度导致垂直方向的漂移运动。为了消除这个漂移，必须引入（原来直柱的q 方向的）极向场。显然“初始”引入的（由q -箍缩引入的）环向场应（图 2.09 为国际热核聚变实验堆该会比极向场强得多。这种装置被称为ITER 的设计图）。是目前最有前景的磁约束聚变装置。我们会在后面详细讨论其性质。在这里我们只是指出，因为极向场的引入，磁面拓扑呈环状。每条磁力线都会“历经”环的内侧和外侧。

27、而因为指向环外的磁场梯度ÑB ，会在一条磁力线上形成环外侧的弱磁场区和环内侧的强磁场区它们一个“磁镜”位形！而这种“磁镜”效应对粒子的“捕获”是等离子体的一个非常重要的性质。可以看出，无论磁镜还是环形装置都至少是二维平衡。下面我们就来研究二维平衡位形满足的条件。2.3 一维平衡，螺旋箍缩在讨论环形装置的二维平衡位形之前，我们先讨论简单的没有环效应的一维柱对称平衡。这里的“一维”是指平衡量的空间变化是一维的。2.3.1 一维圆柱等离子体的平衡对于一个轴对称的柱状等离子体，其物理量有 f = f (r) 的形式，且 Br = 0 。很明显，磁面可以写成r = r0 。我们得到静态平衡状态

28、下的力平衡图 2.09：国际热核聚变实验堆ITER 的设计图æB2 öB2B2dç p +÷ =k (r) = - q (2-13)。dr è8p ø4p4p r如果既有“环向”（ z ）场，又有“极向”（q）场：磁场B = qBq (r) + zBz (r) ，则æB2 öB2B2dç p + q+ z ÷ = - q 。(2-14)dr è8p8p ø4p r因为这种位形的磁力线和电流都是“螺旋形”，我们称此平衡为“螺旋箍缩”。在此平衡下，显然Ñ× B

29、 = 0 已经被满足。这样，对于这一平衡，我们只有一个（2-14）来定 3 个未知函数。所以有两个自由度要由边界条件来决定，包括在 z 方向和q 方向的周期条件。2.3.2 安全因子那么磁场的两个分量 Bq (r) 和 Bz (r) 是怎样来绕成磁面r = r0 的呢？利用周期条件 f (z) = f (z + 2pR0 ) ，从磁力线rdq / dz = Bq / Bz ，我们可以得到rBz dqº q(r) dq 。dz=2p R0R0 Bq 2p2p这里我们定义了“安全因子”（Safety Factor）rBz (r)q(r) º(2-15)。R0 Bq (r)由=

30、q(r)2p R0 ，(Dz)Dq =2p可知，安全因子q(r) 表征磁力线在q转一圈时在 z转过的“圈数”（即走过的周期数）。图 2.10：“有理磁面”上的磁力线后面我们会看到，这个“安全因子”与等离子体平衡的稳定性是有关系的。在Z-箍缩这种位形下， Bz = 0 ，安全因子q = 0 ，等离子体是“不安全”的，即非常不稳定的。而在q -箍缩这种位形下， Bq = 0 ，安全因子q ® ¥ 。等离子体“非常安全”，或者说“绝对稳定”。安全因子q(r) 影响等离子体平衡的稳定性的另一个重要性质是其导致的“有理磁面”的存在。由q(r) 的定义我们知道，随着 r 的连续变化，

31、q(r) 也是连续变化的。也就是说，在r 的任一区间， q(r) 可以取无穷多分段连续的无理数，也可以取无穷多个“分立”的有理数q(r) = m / n 。因为安全因子q(r) 表征磁力线在q转一转过的“圈数”，显然，在q(r) = m / n 的磁面上，磁力线环绕“大圈时在 z环”（ z ）方向m “圈”，绕小环方向n 圈；磁力线首尾相接，无法铺满整个磁面。所以从测度来说，“有理磁面”上磁力线所占的区域的测度为零。从物理上来说，就是这个磁面是“软”的，容易会出现“不稳定性”。而在q(r) 为无理数时，磁力线首尾相接，而是铺满整个磁面。所以“无理磁面”有很好的物理性质。2.4 Grad-Sha

32、franov现在我们来研究环形约束等离子体的二维平衡分布及其性质。为 Grad-Shafranov二维平衡满足的，主要用来研究等离子体。所以我们先引入坐标系。2.4.1（Tokamak）坐标系我们可以用柱坐标(R,z , Z ) 或者环坐标(r,q , z) 来描述位形。这两个坐标系之间的变换关系是R = R0 + r cosq ，z =- z ，R0(2-16)Z = r sinq 。这里 R0 是在r = 0 点的大环半径。显然，这一坐标系下的平衡是轴对称的，有¶ / ¶z= 0 。利用磁场表示式（2-01），取y =y (R, Z ) ，得到B = B - z

33、80;Ñy ，(2-17)zR这里Bz = F (y )Ñz = zF (y ) / R ，给出Bz = F (y ) / R ；而磁面函数y =y (R, Z ) º RAz 给出(2-18a)= - 1 ¶y= 1 ¶y(2-18b)B，B。RZR ¶ZR ¶R如果我们假设磁轴在 R = Ra ，Z = 0 ，且y (Ra , 0) = 0 ，如图 2.13；则被磁面y (R, 0)包围的极向磁通为2pé 1 ¶y ùRY p (y ) = òò dSBz =dFRdR&

34、#182;R úû = 2py 。òò(2-19)êëRZ =00Ra这样，我们可以使用此极向磁通来表征磁面函数。图 2.11：坐标系2.4.2Grad-Shafranov（2-02）有形式在柱坐标中，我们可以推导出力平衡dp dydFD*y = -4pR2- F，(2-20)dy¶æ 1 ¶y ö¶2y，且 F = F (y ) º RBz这里D*º R ¶R ç R ¶+（2-20）即 Grad-Shafranov÷

35、82;2èRøZ。在环坐标(r,q , z) 中，平衡状态下有¶ / ¶z = -¶ / R0¶z = 0 ，我们得到æ cosq ¶y - sinq 1 ¶y ö 。2D* = Ñ2y -(2-21)R + r cosq ç÷¶rr ¶qèø0不考虑“环效应”的正交直柱坐标(r,q , z ) 中的磁面有（2-08）的形式d+ F ù2。éÑ2y = -pê p(2-08)48p &#

36、250;dyëû其中y =y / R0 ， F = F / R0 。将（2-20）写成ö2ö2æ Ræ RdpdF dyD*y = -4p- ç 0 ÷(2-20)ç 0 ÷FdyRèøRèø的形式，与（2-08）相比，相差一个环效应因子(R / R )2 和（2-21）右边的第二0项（环效应项）。2.4.3的解与磁轴平衡计算利用（细环近似下）标度图 2.13：极向磁通的计算rR0 e << 1BpBq O(e ) ， q O(1)(2-22)

37、BzBzpb O(e 2 )B2z在多重尺度展开下我们可以得到（2-20）（或（2-21）在环坐标系下）的磁面的渐进解y = y 0 (r) + ey1(r,q ) + .，p(y ) = e 2 p (y ) = e 2 p (y) + e¢y )y + .，(2-23)3p (220201F (y ) = F + e F (y ) = B R + e F (y ) + e F (¢y )y +.223，020020201这里符号“”表示对y 求导。在O(1) 近似下，（2-21）有形式：éB2 ùBddê p + z ú + q(rBq ) = 0 ，(2-24)dr ë8p û4pr dr显然这是直柱螺旋箍缩位形的平衡。精确到O(e ) ，如果写y1(r,q ) = y1(r) cosq ，则可以得到éd æy1 öù2 dp(y 0 )dç÷ú = rBq - 8pr(2-25)22êrBq。dr ëdr è