选修21空间向量及其运算知识点

1、3.1空间向量及其运算知识点1 空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量(2)单位向量：模为1的向量称为单位向量(3)相等向量：方向相同且模相等的向量(4)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(5)共面向量：平行于同一个平面的向量2.空间向量的加法、减法与数乘运算向量的加减法满足平行四边形法则和三角形法则向量加法的多边形法则：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.运算律：加法交换律：abba 加法结合律：(ab)ca(bc) 数乘分配律：(ab)ab.3共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线

2、向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使得ab.推论：点P在直线AB上的充要条件是：存在实数，使得 或对空间任意一点O,有 或对空间任意一点O，有其中xy1 【推论推导过程：】(2)共面向量定理如果两个向量a，b不共线，那么p与a，b共面的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y）使pxayb推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在唯一有序实数对（x,y）使，或对空间任意一点O，有或对空间任意一点O，有，其中xyz1 【推论推导过程：】(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得pxaybzc基底：把

3、a，b，c叫做空间的一个基底，空间任何三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底4 空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作a，b，其范围是0a，b，若a，b，则称a与b互相垂直，记作ab.两向量的数量积：已知空间两个非零向量a，b，向量a，b的数量积记作a·b，且a·b|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的运算律： 结合律：(a)·b(a·b)； 交换律：a·bb·a； 分配律：a·(bc)a·ba

4、83;c.5 空间向量的坐标表示及应用设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)(1)数量积的坐标运算：a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共线与垂直的坐标表示：ababa1b1，a2b2，a3b3 (R)， aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均为非零向量)(3)模、夹角和距离公式：|a|， cosa，b . 设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则dAB|.6. 用空间向量解决几何问题的一般步骤：(1)适当的选取基底a，b，c；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题题型一空间向量的线性运算用已知向量来表示未知向量，

5、应结合图形，将已知向量和未知向量转化至三角形或平行四边形中，表示为其他向量的和与差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系例1：三棱锥OABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是ABC的重心，用基向量，表示， .解析：()(). .例2：如图所示，ABCDA1B1C1D1中，ABCD是平行四边形若，2，且,试求x、y、z的值.解连接AF，. （）（） 题型二共线定理应用向量共线问题：充分利用空间向量运算法则，用空间中的向量表示a与b，化简得出ab，从而得出ab，即a与b共线点共线问题：证明点共线问题可转化为证明向量共线问题，如证明A、B、C三点共线，即证明与共线例3：如图所示，四边形ABCD，

6、ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？2，即与共线例4：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E在A1D1上，且2ED1，F在对角线A1C上，且.求证：E，F，B三点共线证明：设a，b，c.2=b，=()()abcEabc， bcaabc，.所以E，F，B三点共线题型三共面定理应用点共面问题：证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P、A、B、C四点共面，只要能证明xy，或对空间任一点O，有xy或xyz(xyz1)即可例5：已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外一点O，若 ，则点P是否与A、B、C一定共面？试说明理由解析： ，故A、B

7、、C、P四点共面.例6：如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结PA、PB、PC、PD，点E、F、G、H分别为PAB、PBC、PCD、PDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、H四点共面证明：分别延长PE、PF、PG、PH交对边于M、N、Q、R. E、F、G、H分别是所在三角形的重心，M、N、Q、R为所在边的中点顺次连结M、N、Q、R，所得四边形为平行四边形，且有，.()()()()(). 由共面向量定理得E、F、G、H四点共面.例7：正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1和A1D1的中点，求证向量，是共面向量证明：如图所示，().由向量共面的充要条件知，是

8、共面向量题型四空间向量数量积的应用例8：如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC1的长； (2)求BD1与AC夹角的余弦值解析：(1)记a，b，c，则|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，a·bb·cc·a.|2(abc)2a2b2c22(a·bb·cc·a)1112×6，|，即AC1的长为.(2)bca，ab，|，|，·(bca)·(ab)b2a2a·cb·c1.cos，.AC与BD1夹

9、角的余弦值为.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E、F分别是BC、AD的中点，则·的值为() Aa2 B.a2 C.a2 D.a2解析：设a，b，c，则|a|b|c|a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.(ab)，c，·(ab)·c(a·cb·c)(a2cos60°a2cos60°)a2.题型五 空间向量坐标运算例9：如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB2，E为PB的中点，cos，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为 ()A(1,1,1)

10、 B. C. D(1,1,2)设PDa (a>0)，则A(2,0,0)，B(2,2,0)，P(0,0，a)，E，(0,0，a)，cos，a·，a2.E的坐标为(1,1,1)例10：已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)若a，b，c三向量共面，则实数=_解析：由题意得ctab(2t，t4，3t2)，例11：已知ABC的顶点A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，试求ABC的面积(1,1,1)，(2,1,3)，|，|，·2136，cosAcos，.sinA.SABC|·|·sinA×××.例1

11、2：已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值可以是()A2， B， C3,2 D2,2解析由题意知：解得或例13：已知空间中三点A(2,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.，若kab与ka2b互相垂直，求实数k的值方法一kab(k1，k,2)ka2b(k2，k，4)，且kab与ka2b互相垂直， (k1，k,2)·(k2，k，4)(k1)(k2)k280，k2或，方法二由(2)知|a|，|b|，a·b1，(kab)·(ka2b)k2a2ka·b2b22k2k100，得k2或.例14：已知空间三点A(0,2,3)，B(

12、2,1,6)，C(1，1,5)(1)求以，为边的平行四边形的面积；(2)若|a|，且a分别与，垂直，求向量a的坐标解(1)cos，.sin，以，为边的平行四边形的面积为S2×|·|·sin，14×7.（2） 设a(x，y，z)，由题意得，解得或，例15：如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别在A1D、AC上，且A1EA1D，AFAC，则 ()AEF至多与A1D、AC之一垂直 BEF与A1D、AC都垂直 CEF与BD1相交 DEF与BD1异面 解析：设AB1，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间

13、直角坐标系，则A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1,0，1)，(1,1,0)，(1，1，1)，··0，从而EFBD1，EFA1D，EFAC.例16：已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当·取最小值时，点Q的坐标是_解析：设(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)·(1)(2)(2)(1)(32)(22)6216106()2.当时，·取最小值为.此时，(，)，综合练习1、 选择题1、下列命题：

14、其中不正确的所有命题的序号为_若A、B、C、D是空间任意四点，则有0； |a|b|ab|是a、b共线的充要条件；若a、b共线，则a与b所在直线平行； 对空间任意一点O与不共线的三点A、B、C，若xyz (x、y、zR)，则P、A、B、C四点共面设命题p：a，b，c是三个非零向量；命题q：a，b，c为空间的一个基底，则命题p是命题q的充要条件解析：选，中四点恰好围成一封闭图形，正确；中当a、b同向时，应有|a|b|ab|；中a、b所在直线可能重合；中需满足xyz1，才有P、A、B、C四点共面；只有不共面的三个非零向量才能作为空间的一个基底，应改为必要不充分条件2、有下列命题：其中真命题的个数是(

15、)若pxayb，则p与a，b共面； 若p与a，b共面，则pxayb；若xy，则P，M，A、B共面； 若P，M，A，B共面，则xy.A1 B2 C3 D4解析其中为真命题中，若a，b共线，则pxayb；3、已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，与的夹角为120°，则的值为()A± B. C D±解析：(1，)，cos120°，得±.经检验不合题意，舍去，.4、 如图所示，已知PA平面ABC，ABC120°，PAABBC6，则PC等于()A6 B6 C12 D144解析2()2=2222·3636362×36cos

16、60°144|12证明设a，b，c，则a(abc)abc，()abc. ，即B、G、N三点共线5、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且，N为B1B的中点，则|为 ()A.a B.a C.a D.a解析以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)点M在AC1上且，(xa，y，z)(x，ay，az)xa，y，z.M，|a.6、如图所示，已知空间四边形OABC，OBOC，且AOBAOC，则cos，的值为 ()A0 B. C. D.解析设a，b，c，由已知条件a，ba，c，且|b|c|， ·a&

17、#183;(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.7、如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是 ()A abc B.abc Cabc D.abc解析()c(ba)abc.8、 8、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量，两两的夹角均为60°，且|1，|2，|3，则|等于() A5 B6 C4 D8设a，b，c，则abc，2a2b2c22a·b2b·c2c·a25，|5.9、在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.32 B0 C 0

18、 D解析：C中.故M、A、B、C四点共面2、 填空题10、同时垂直于a(2,2,1)和b(4,5,3)的单位向量是_解析设与a(2,2,1)和b(4,5,3)同时垂直b单位向量是c(p，q，r)，则解得或所求向量为或.11 若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则_.解析由已知得，83(6)，解得2或.12 在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9)、B(10，1,6)、C(x,4,3)为顶点的ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，则实数x的值为_解析由题意知·0，|，可解得x2.13 已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.解析由条件知(a3b)·(7a5b)7|a|216a·b15|b|20，及(a4b)·(7a2b)7|a|28|b|230a·b0.两式相减，得46a·b23|b|2，a·b|b|2.代入上面两个式子中的任意一个，即可得到|a|b|.cosa，b.a，b60°.14. 如图所示，已知二面角l的平面角为 ，ABBC，BCCD，AB在平