解直角三角形应用专题带答案

1、解直角三角形应用专题练习一解答题（共21 小题）1在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30。，再往雕塑方向前进4米至 B 处，测得仰角为45°问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）2 .如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东30°方向上的B 处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：结果取整数）.3 2018 年 4 月 12 日，菏泽国际牡丹花会拉开帷幕，菏泽电视台用直升机航拍技术全程直播.如图，在直升机的镜

2、头下，观测曹州牡丹园 A处的俯角为30。， B处的俯角为45° ,如果此时直升机镜头 C处的高度CD为200米，点A、B、D 在同一条直线上，则A、 B 两点间的距离为多少米？（结果保留根号）4 .小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度 AD小亮通 过操控器指令无人机测得桥头 B, C的俯角分别为/ EAB=60 , /EAC=30 ,且 D, B, C在同一水平线上.已知桥 BC=30米，求无人机飞行的高度 AD.（精确到 米.参考数据：2，2）5我市304 国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A C两地海拔高度约为1000米，山顶B处

3、的海拔高度约为1400米，由B处望山脚A处的俯角为30° ,由B处望山脚C处的俯角为45° ,若在A、C两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据）6随着航母编队的成立，我国海军日益强大2018 年 4 月 12 日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图， 我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测 点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于 观测点P的北偏东30°方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多 少海里？（参考数据：结果

4、精确到1海里）.7 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年 5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 A处时，测得小岛C位于它的 北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达 B处，测得小 岛C位于它的北偏东370方向.如果航母继续航行至小岛 C的正南方向的D处, 求还需航行的距离BD的长.（参考数据：sin70 ° ,cos70° ,tan70° ,sin37° ,cos37° ,tan37°8 .如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又 开发

5、了风景优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60。的方向上，C位于B 的北偏东30°的方向上，且AB=10km（ 1）求景点B 与 C 的距离；（ 2）为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长（结果保留根号）9为了计算湖中小岛上凉亭P 到岸边公路l 的距离，某数学兴趣小组在公路l上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200米，到达公路l 上的点 B 处，再次测得凉亭P 在北偏东45°的方向上，如图所示.求凉亭P到公路l的距离.（结果保留整数，参考数据：-）1

6、0 .如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC为78ml从甲白顶部A处测得乙的 顶部D处的俯角为48° ,测得底部C处的俯角为58° ,求甲、乙建筑物的高度AB和DC （结果取整数）.参考数据：tan48°弋l . ll , tan58 °11 .小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国-南亚博览会”的竖直标 语牌CD她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42。，测得隧道底端B处的俯 角为30° （B, C, D在同一条直线上），AB=10m隧道高（即BC=65m,求标语 牌CD的长（结果保留小数点后一位）.（参考数据：sin42 °

7、,cos420弋，tan42 °12 .如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45° , 然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了 200米达到D处，此时在D处测得山顶B的 仰角为60。，求山高BC （结果保留根号）.13 .如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD坡角/ DCE=30 ,楼高AB=60米，在 斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60。，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角为 45°，其中点A， C， E 在同一直线上(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度.14某次台风袭击了我国西南部海域如图，台风来临前，我国海上搜救中心A

8、接到一渔船遇险的报警，于是令位于 A的正南方向180海里的救援队B立即施 救.已知渔船所处位置 C在A的南偏东34°方向，在B的南偏东63°方向，止匕 时离台风来到C 处还有12 小时， 如果救援船每小时行驶20海里， 试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？15.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B,点A到航线l的距离为2km点 B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km现有一艘轮船从位于点 B南偏西 76°方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方 向的 D 处( 1)求观测点B 到航线 l 的距离；(2)求该轮船航行的速

9、度(结果精确到h)参考数据：sin76 °cos76° 2，tan76 ° 2)16 .如图，在一笔直的海岸线上有 A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km有 一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏 东45°的方向.（1）求点P到海岸线的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点 C处，此时，从B 测得小船在北偏西15。的方向.求点C与点B之间的距离.（上述两小题的结果 都保留根号）17 .为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库.如图是停车库坡道入口的设计图，其中

10、 MN水平线，MN/ AD, AEU DE CF，AB,垂 足分别为D, F,坡道AB的坡度=1: 3, AD=9，点C在DE上，CD米，CD是限 高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）.如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到米，参考数据：18 .如图所示，在坡角为30°的山坡上有一竖立的旗杆 AB,其正前方矗立一墙， 当阳光与水平线成450角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落 在墙上的影子CD的长为6米，求旗杆AB的高（结果保留根号）.19 .为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所 示（图中地面A

11、D与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，/BCD=135 ,通 道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1 :.（1）求通道斜面AB的长为 米；（2）为增加市民行走的舒适度，拟将设计图中的通道斜面CD的坡度变缓，修改 后的通道斜面DE的坡角为30° ,求此时BE的长.（结果保留根号）20 .如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD当光线与地面的夹角是220时办 公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE而当光线与地面夹角是45°时，办 公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有20米的距离（B, F, C在一条直线上）.（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A, E之间挂一些彩旗

12、，请你求出 A, E之间的距离.（精确到1米）（参考数据：sin22 ° cos22° tan22 ° =）21 .如图，我市某中学数学兴趣小组决定测量一下本校教学楼 AB的高度，他们 在楼梯底部 C处测得/ ACB=60 , / DCE=30 ;沿楼梯向上走到 D处测得/ADF=45 , D到地面BE的距离DE为3米.求教学楼AB的高度.（站果精确列1米，参考数据：，2)解直角三角形应用答案一解答题（共21 小题）1在数学实践活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度.用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30。，再往雕塑方向前进4米至 B 处，

13、测得仰角为45°问：该雕塑有多高？（测角仪高度忽略不计，结果不取近似值）【解答】解：如图，过点C作CD!AB,交AB延长线于点D,设CD二燎， / CBD=45 , / BDC=90 , BD=CD=米，./A=30° , AD=AB+BD=4+x .tanA二,即二，解得：x=2+2，答：该雕塑的高度为（2+2）米2.如图，一艘海轮位于灯塔C的北偏东45方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 的南偏东30°方向上的B 处，求此时船距灯塔的距离（参考数据：结果取整数）.【解答】解：过C作CD! AB,在 RtzXACD, /A=

14、45 ,. ACM等腰直角三角形,. AD=CD=AC=50 里，在 RtBCD, / B=30° , BC=2CD=10j6 里，根据勾股定理得：BD=50S里，贝U AB=AD+BD=50+5O193 海里，则此时船锯灯塔的距离为193海里.3. 2018年4月12日，荷泽国际牡丹花会拉开帷幕，荷泽电视台用直升机航拍 技术全程直播.如图，在直升机的镜头下，观测曹州牡丹园A处的俯角为30。，B处的俯角为45° ,如果此时直升机镜头 C处的高度CD为200米，点A、B、D 在同一条直线上，则A、B两点间的距离为多少米？（结果保留根号）【解答】解：= EC/ AD/ A=30

15、° , / CBD=45 , CD=200 . CDLAB于点 D.在 RtACD, /CDA=90, tanA=, AD=在 RtBCD, /CDB=90, / CBD=45 DB=CD=2Q0 . AB=AD DB=200- 200,答：A、B两点间的距离为200- 200米.4.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度 AD小亮通 过操控器指令无人机测得桥头 B, C的俯角分别为/ EAB=60 , /EAC=30 ,且 D, B, C在同一水平线上.已知桥 BC=30米，求无人机飞行的高度 AD.（精确到 米.参考数据：2，2）【解答】解：EAB=60 , /

16、 EAC=30 ,/ CAD=60 , / BAD=30 , . CD=AD tan / CAD=AD BD=AD tan / BAD=AD BC=CD BD=AD=30AD=15.5我市304 国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚A C两地海拔高度约为1000米，山顶B处的海拔高度约为1400米，由 B处望山脚A处的俯角为30° ,由B处望山脚C处的俯角为45° ,若在A、C两 地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据）【解答】解：如图，作BD.LAC于D,由题意可得：BD=1400- 1000=400 （米）,/ BAC300

17、 , / BCA=45 ,在RQABD中，即， . AD=400（米）,在 RtABCDt,即， . CD=400（米）, . AC=AD+CD=400+400« 1093 （米），答：隧道最短为1093 米6随着航母编队的成立，我国海军日益强大2018 年 4 月 12 日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，在阅兵之前我军加强了海上巡逻，如图， 我军巡逻舰在某海域航行到A处时，该舰在观测点P的南偏东45°的方向上，且与观测 点P的距离PA为400海里；巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后，到达位于 观测点P的北偏东300方向上的B处，问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多

18、少海里？（参考数据：结果精确到 1海里）.【解答】 解：在APC, /ACP=90 , /APC=45 ,则 AC=PC. AP=400W 里， 由勾股定理知，AP=AC+PC=2PC,即 4002=2PC,故 PC=200W里.又.在直角 BPCt, /PCB=90 , /BPC=60 , . PB=2PC=4000 （海里）.答：此时巡逻舰与观测点P的距离PB约为海里.7 由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年 5月成功完成第一次海上试验任务.如图，航母由西向东航行，到达 A处时，测得小岛C位于它的 北偏东70°方向，且与航母相距80海里，再航行一段时间后到达 B

19、处，测得小 岛C位于它的北偏东370方向.如果航母继续航行至小岛 C的正南方向的D处, 求还需航行的距离BD的长.（参考数据：sin70 ° ,cos70° ,tan70° ,sin37° ,cos37° ,tan37°）【解答】解：由题意得：/ ACD=70, / BCD=37, AC=80®里，在直角三角形ACD中，CD=AC cos/ACD海里， 在直角三角形BCD中，BD=CD tan/BCD海里.答：还需航行的距离BD的长为海里.8 .如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又 开发了风景

20、优美的景点C.经测量，C位于A的北偏东60。的方向上，C位于B 的北偏东30°的方向上，且AB=10km（ 1）求景点B 与 C 的距离；（ 2）为了方便游客到景点C 游玩，景区管委会准备由景点C 向公路 l 修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长（结果保留根号）【解答】解：（1）如图，由题意得/ CAB=30 , /ABC=90 +30° =120° ,/ C=180 - / CA& / ABC=30 , / CABW C=30 , BC=AB=10k m即景点B C相距的路程为10km（2）过点C作CH AB于点E,BC=10km

21、C位于B的北偏东300的方向上， ./CBE=60 ,在 RtCBE中，CE=km9 .为了计算湖中小岛上凉亭 P到岸边公路l的距离，某数学兴趣小组在公路l 上的点A处，测得凉亭P在北偏东60°的方向上；从A处向正东方向行走200 米，到达公路l上的点B处，再次测得凉亭P在北偏东45。的方向上，如图所 示.求凉亭P到公路l的距离.（结果保留整数，参考数据：-）【解答】解：作PDLAB于D.设 BD=k 则 AD=x+200 /EAP=60 , ./PAB=90 - 60° =30° .在 RtBPD中， /FBP=45 , ./ PBDW BPD=45 , . P

22、D=DB= x在 RtAPD中， /PAB=30 , .CD=tan30° ? AD即 DB=CD=tan30 ? AD=x= （200+x）,解得：x, . CD=273答：凉亭P到公路l的距离为273m10.如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC为78m从甲白顶部A处测得乙的 顶部D处的俯角为48° ,测得底部C处的俯角为58° ,求甲、乙建筑物的高度AB和DC （结果取整数）.参考数据：tan48 0弋l . ll , tan58 °【解答】解：如图作A已CD交CD的延长线于E.则四边形ABC段矩形, .AE=BC=78 AB=CE在 RtzXAC

23、E中，EC=AE tan58 ° 弋 125 (mj)在 RtAED中，DE=AE tan48 ° , . CD=EC DE=A? tan58 ° - AE? tan48 ° =78X - 78X38 (mj),答：甲、乙建筑物的高度 AB为125ml DC为38m11 .小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国-南亚博览会”的竖直标 语牌CD她在A点测得标语牌顶端D处的仰角为42。，测得隧道底端B处的俯 角为300 (B, C, D在同一条直线上)，AB=10m隧道高(即BC=65m,求标语 牌CD的长(结果保留小数点后一位).(参考数据：sin4

24、2 ° ,cos420弋，tan42 °【解答】解：如图作AE±BD于E.在 RtAEB中，v Z EAB=30 , AB=10rmBE=AB=5 m), AE=5 (mj),在 RtADE中，DE=AE tan42 0 = ( m), BD=DE+BE=m), . CD=BD BC=-弋(mj),答：标语牌CD的长为.12.如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在地面A处测得山顶B的仰角45° , 然后沿着坡度为=1：的坡面AD走了 200米达到D处，此时在D处测得山顶B的 仰角为60。，求山高BC (结果保留根号).【解答】解：作DF,AC于F. .

25、 DF: AF=1:, AD=20冰， tan / DAF= ./DAF=30 ,DF=AD =200=100,vZ DEC= BCA= DFC=90 , 四边形DECF1矩形，EC=BF=100米),vZ BAC=45 , BCL AC ./ABC=45 , /BDE=60, DEL BQ/ DBE=90 - / BDE=90 - 60° =30° ,/ ABD=Z ABC- / DBE=45 - 30° =15° , / BAD=/ BAC- / 1=45° - 30° =15° ,/ ABD= BAD . AD=BD=

26、20 米，在 RtBDE中，sin Z BDE=BE=BD sin / BDE=200=100, BC=BE+EC=100+100<).13.如图，在大楼AB正前方有一斜坡CD坡角/ DCE=30 ,楼高AB=60米，在 斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60。，在斜坡上的D处测得楼顶B的仰角 为45° ,其中点A, C, E在同一直线上.(1)求坡底C点到大楼距离AC的值；(2)求斜坡CD的长度.【解答】解：(1)在直角 ABC中，/BAC=90 , Z BCA=60 , AB=60米，贝U AC=20 (米)答：坡底C点到大楼距离AC的值是20米.（2）设 CD=2x 贝U

27、DE=x CE=k在 RtzXABC中，/ABC=30 ,贝U BC=60（米），在 RtzXBDF中，./ BDF=45 ,BF=DF .60-x=20+x,.x=40- 60,CD=2x=80- 120,CD的长为（ 80- 120）米.14某次台风袭击了我国西南部海域如图，台风来临前，我国海上搜救中心A接到一渔船遇险的报警，于是令位于 A的正南方向180海里的救援队B立即施 救.已知渔船所处位置 C在A的南偏东340方向，在B的南偏东63°方向，止匕 时离台风来到C 处还有12 小时， 如果救援船每小时行驶20海里， 试问能否在台风来到之前赶到C处对其施救？【解答】解：过点C作

28、CD! AB延长线于点D, / DAC=34 , / DBC=63 ,.设 BD=x WJ tan63° =,故 CD=BDtan63 =xtan63 ° , tan34° =, 解得：x, 故 cos63° =，解得：BO,+ 20勺（小时），答：如果救援船每小时行驶20海里，能在台风来到之前赶到 C处对其施救.15.如图，在航线l的两侧分别有观测点A和B,点A到航线l的距离为2km点B位于点A北偏东60°方向且与A相距10km现有一艘轮船从位于点 B南偏西 760方向的C处，正沿该航线自西向东航行，5分钟后该轮船行至点A的正北方 向的D处.

29、(1)求观测点B到航线I的距离；(2)求该轮船航行的速度(结果精确到h)参考数据：勺，sin76 0弋，cos76°2，tan76 ° 2)【解答】解：(1)设AB与I交于点0.在 RtAAOEF,v Z OAD=60 , AD=2(km),0A=4(km).v AB=10(km), .OB=AB 0A=6 (krrj).在 RtABOB, Z OBEWOAD=60 ,BE=OB cos60° =3 (km).答：观测点B到航线I的距离为3km.(2)在 RtAOE, 0D=A2) tan60 ° =2 ( knj),在 RtBOB, OE=BE tan

30、60 ° =3 (km),DE=OD+OE=(acrri).在 RtzXCBE中，Z CBE=76 , BE=3(km),CE=BE tan Z CBE=3tan76 .CD=CE DE=3tan76° - 5弋(krrj).5 (min) =h,v=12CD=12( km/h).答：该轮船航行的速度约为h.16.如图，在一笔直的海岸线上有 A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB=4km有 一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60。的方向，从B测得小船在北偏 东45°的方向.（1）求点P到海岸线的距离；（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到达点

31、C处，此时，从B 测得小船在北偏西15。的方向.求点C与点B之间的距离.（上述两小题的结果 都保留根号）【解答】解：（1）如图，过点P作PD±AB于点D.设PD=xkm在 RtPBD中，/ BDP=90 , / PBD=90 45° =45 , BD=PD=xk m在 RtPAD中，/ADP=90 , / PAD=90 60° =30° , AD=PD=xk mv BD+AD=AB x+x=4, x=2 -2,.二点P到海岸线l的距离为（2 -2） km；（2）如图，过点B作BF, AC于点F.根据题意得：/ ABC=105 ,在 RtABF中，/AFB

32、=90 , / BAF=30 , BF=AB=2km在ABC, /C=180 - Z BAO / ABC=45 .在 RtBCF中，/ BFC=90 , / C=45 , BC=BF=2 km点C与点B之间的距离大约为2km17.为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库.如图是停车库坡道入口的设计图，其中 MN水平线，MN/ AD, ADL DE CF± AB,垂 足分别为D, F,坡道AB的坡度=1: 3, AD=S#，点C在DE上，CD米，CD是限 高标志牌的高度（标志牌上写有：限高 米）.如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（

33、结果精确到米，参考数据：-【解答】解：据题意得tanB=,v MM/ AD,Z A=Z B,tanA=,v DHAD,.在 RtADE中，tanA=,. AD=9DE=3又 = DC=CE=vCFXAB,Z FCEV2=90° ,v DHAD,Z A+Z CEF=90 ,Z A=Z FCEtan Z FCE=在 RtzXCEF中，CeF+cF设 EF=x, CF=3x(x>0), CE=代入得()=x2+ (3x) 2解得x=(如果前面没有“设x>0”，则此处应“ x=±,舍负")，CF=3x=,该停车库限高米.故答案为.18 .如图所示，在坡角为30

34、°的山坡上有一竖立的旗杆 AB,其正前方矗立一墙, 当阳光与水平线成45。角时，测得旗杆AB落在坡上的影子BD的长为8米，落 在墙上的影子CD的长为6米，求旗杆AB的高（结果保留根号）.【解答】解：过点C作CHAB于E,过点B作BF1CDT F,在 RtzXBFD中，/ DBF=30 , sin / DBF= cos / DBF=v BD=8mDF=4m BF=4m. AB/ CD CEL AB, BF± CD一四边形BFC助矩形,BF=CE=4 mCF=BE=C DDF=2m在 RtzXACE中，/ ACE=45 ,AE=CE=4 mAB=4+2答：旗杆AB的高为（4+2） m.19 .为缓解交通拥堵，某区拟计划修建一地下通道，该通道一部分的截面如图所 示（图中地面AD与通道BC平行），通道水平宽度BC为8米，/BCD=135 ,通 道斜面CD的长为6米，通道斜面AB的坡度i=1