几何光学选讲

1、几何光学选讲几何光学选讲几何光学 几何光学是基于光的直线传播现象来研究光在透明媒质中传播、在两种媒质的交界面上反射、折射和成像规律及其应用的科学。 几何光学不考虑光的本性，其基本定律是实验现象的总结，再运用几何定理的推证方法，导出不同条件下的应用公式。几何光学是光学仪器设计的理论基础。几何光学选讲本章内容Contentschapter 22几何光学的基本定律reflection and refraction of light at plane boundary 光在平面上的反射和折射basic law of geometric optics光在球面上的反射和折射薄透镜成像几种常见的光学仪器si

2、mple optical instrument formation of image with thin lensreflection and refraction of light at spherical boundary 几何光学选讲第一节basic law of geometric optics几何光学选讲光线与光束光束光线表示光的能量传播方向的几何线。由许多光线组合在一起的集合。几何光学的三条最基本的实验定律：1. 光的直线传播定律3. 光的反射和折射定律2. 光的独立传播定律几何光学选讲直线传播定律1. 光的直线传播定律光在均匀媒质中沿直线传播。分层均匀媒质，每层中的各段光线为连续

3、不均匀媒质，视为无限多层无限薄直线。各层光线的连接可形成一条折线。的均匀媒质层构成，折线可演变成某种曲线。小孔屏物像小孔成像实验极小的点状光源不透明物屏几何投影实物阴影实验几何光学选讲独立传播定律 两束光或多束光相遇时，并不因其它光束的存在而改变原来的方向。2. 光的独立传播定律S1S2AB观察者 A 和 B 分别不会因为看到光源 S2 和 S1 ，这两个光源发出的光线或光束相交而受到影响。几何光学选讲反、折射定律3. 光的反射和折射定律设媒质 1 和媒质 2 都是均匀的透明媒质，而且都是各向同性媒质。 两媒质的分界面为平面。一入射光线（入射线）从媒质1射到分界面的O点。各向光学同性媒质，是指

4、沿各个方向其光学性质都相同的媒质，例如，空气、水、玻璃等非晶体物质。法线入射线与法线构成的平面反射线入射线与法线的夹角折射线从O点作垂直于分界面的直线入射面入射角 i1反射线与法线的夹角 从O点反射回原媒质的光线反射角 i1从O点折入媒质 2 的光线折射角 i2折射线与法线的夹角几何光学选讲续（1）光的反射定律反射线在入射面内；反射角等于入射角，（2）光的折射定律 折射线在入射面内；入射角的正弦与折射角的正弦之比是一个取决于两媒质的光学性质和光的波长的常量，而与入射角和折射角的大小无关。折射媒质的折射率入射媒质的折射率真空中光速入射媒质中光速真空中光速折射媒质中光速几何光学选讲折射率表常 见

5、透 明 媒 质 的 折 射 率 真空的折射率等于1 右 表 中 给 出一些最常见透明媒 质 对 钠 黄 光 ( 波长为 589.3 nm ) 的折射率常用值。 两种媒质的折射率之比称为相对折射率。其中，折射率相对较大的媒质称为光密媒质；折射率相对较小的媒质称为光疏媒质。例如，水相对与空气是光密媒质，而相对于玻璃则为光疏媒质。几何光学选讲可逆性原理 在几何光学的光路中，当光线的方向返转时，它将逆着同一路径传播。 这个原理其实是从几何光学的基本实验定律中总结出来的。 它是我们在几何光学中分析具体光路和论证具体问题时经常需要用到的一个基本原理。几何光学选讲成像问题 在一般情况下，对于任意光束结构和任

6、意曲面形状的成像问题是非常复杂的。 即：将一个发光点看成是几何学上的点，而且它到成像系统光轴的垂直距离比较近，由它发出的光束都与该点同心；并假设媒质的分界面可以看成是理想的平面或球面。我们就讨论这种同心光束经平面、球面、或平面和球面系统的反射或折射后的成像规律。 下面我们在结合几何光学基本实验定律应用的同时, 介绍有关同心光束近轴成像方面的基础知识。几何光学选讲第二节reflection and refraction of lightat plane boundary 几何光学选讲平面反射 1. 平面反射镜成像平面反射镜成象 若一反射面为理想平面，只考虑 发光点P（物）所发出的同心光束中的每一

7、条光线，在镜面反射时都服从反射定律，反射光束中的每一条光线的延长线必交于同一点 P ，该点到镜面的距离s= s 且同在一直线上。其反射成像的几何特性, 称为平面反射镜成像。 眼睛看到镜中的像 P ，不是光线真正由此发出，称为 虚像。平面镜成像中的物与虚像，具有 镜面对称性。几何光学选讲镜面对称性镜 面 对 称 性 的 空 间 概 念 用 x y z 直角坐标系代表一个三维物体，若 z 轴垂直并指向镜面，则原点 o 的镜像 o在同一轴线上与 o 到镜面的距离相等， z 轴亦垂直并指向镜面。x和 y轴分别与 x 和 y轴同向，轴上个点到镜面的距离相等，像中的各线段亦与物的对应线段相等。镜面对称性几

8、何光学选讲例试证明，某人欲从直立的平面镜中看到自己站立的全身像，该镜子的长度至少要等于他身高的一半。 人 - 镜距 S ，要看到自己镜像中的头顶 T 到脚尖 G ，只需用到镜子的 AC 段。此关系式与人- 镜距离 S 无关。若用一个长度等于某人身高一半的直立平面镜，只要将镜子的下缘安放在眼-地距离一半的高度上，无论此人走近或远离镜子，他都能看到自己的全身像。 根据镜像对称性质，和相似三角形原理得及则几何光学选讲全反射 因 n2 n1 ，则 i1 大于某个值时，在界面上光的能量全部反射回原媒质 n1中 ，这种现象称为 全反射 或 内反射。当 i1大到刚好开始发生全反射时的入射角称为 全反射临界角

9、，用 ic 表示， ic 满足下述关系（ n2 n1 ）这时的折射角 i2 = 90ic 2. 全反射 当光线从光密媒质（设其折射率为 n1 ）射向光疏媒质（设其折射率为 n2，且 n2 n1 ）时，由折射定律 得几何光学选讲例全反射概念可帮助我们理解某些在水中所观察到的奇异现象。下面的例题是其中之一。时的全反射临界角（1）看到整个天空视场所张的平面角2 ic = 97.6 （2）场视在水面上所对圆面的直径2 r = 2 d tan ic = 2. 24 m 某人在游泳池水面下方 d =1.0 m 处仰视天空，求（1）他在水中看到整个天空视场所张的平面角； （2）他的视场在水面上所对圆面的直径

10、。（水的折射率为1.33） 。 从水向空气入射若水面分别有两浮球A 和B，则此水下观察者所看到的这两个浮球将分别在E A和 E B 的方向上。他看到整个天空的景象，都缩影在一个直径不大的圆面之中。几何光学选讲全反射棱镜 全反射原理在光学技术中有许多重要的应用，下面举两个典型的例子。（1）全反射棱镜 利用光在棱镜的一个表面上发生全反射，而改变光的传播方向或改变象的方向的棱镜，称为全反射棱镜。等腰直角在一个表面（AB）在两个表面（AC ） 和 （CB）全反射棱镜上发生全反射 制造全反射棱镜的玻璃折射率，一般为 1.5 1.7，光从玻璃到与空气的界面上反射时的全反射临界角 ic 约为 41.8 36

11、.0 ，因图中棱镜内的各条光线在空气界面的入射角i1均为45，大于全反射临界角 ic ，都能发生全反射。上发生全反射几何光学选讲角反射镜角反射镜 或 后向反射镜 现代红外光或激光测距作业中常用的一种全反射棱镜，称为角反射镜或向后反射镜。它是一个玻璃四面体，其中顶角C是三个直角棱面的交点，第四个棱面ABD 与顶角C的中线垂直。入射光对着棱面ABD入射，经三个相互垂直的棱面相继全反射后沿入射相反的方向返回。用单个或一组角反射镜作为合作目标放置在预定地点（甚至月球上），就可以将测站射来的光束沿路反射回测站，只要角反射镜的加工满足设计要求，即使入射光并不绝对严格垂直于棱面 ABD 入射，射光信号。全反

12、射棱镜的另一种形式也能收到一定能量的反几何光学选讲光学纤维（2）光学纤维n2n1n0i0玻璃丝芯线介媒质质层包入射端n2 n1n2n0n1i0ici1 光线在光学纤维内发生全反射的临界条件是（ n2 n1 ） 入射角小于 i0 的入射光线，在光学纤维内都能满足全反射条件而不断向前传播, 从光学纤维的一端传到另一端。因则得cos i1iciccos2几何光学选讲平面折射 对n1和n2媒质的分界面应用折射定律得 1. 光通过平行媒质层时的折射 对n2和n3媒质的分界面应用折射定律得联立解得结果表明:(2) 若 n3 = n1 ，则 i3 = i1 。例如当光线以某一入射角i1入射于处在空气中的平板

13、玻璃时,则从平板玻璃出射的光线的折射角 i3 = i1 , 即出射光线与入射光线平行。至于出射光的位置则与平行媒质层的厚度和折射率有关,需要根据光路的具体条件进行计算。间媒质的折射率 n1 和 n3 , 其间的平行媒质层并没有改变出射光线的折射方向 。(1) 从平行媒质层出射光线的折射角 i3 , 只取决于入射光线的入射角i1以及入射和出射空几何光学选讲棱镜主截面 2. 光在棱镜主截面内的折射与棱镜各棱正交的横截面称为棱镜的主截面。三棱镜主截面的形状是三角形。 棱镜折射后从C 点出射，出射光线 CD 的方向与入射光线 A B 的方向之间的夹角 称为偏向角。 设某三棱镜的折射率为 n ，其周围是

14、空气 ，设棱镜的主截面中一个顶角的大小为 ，入射光线 A B 在主截面以任一入射角 i1 入射于棱镜，经偏 向 角几何光学选讲最小偏向角 实验和数学理论计算表明,当入射线和出射线的位置对于棱镜成对称时, 即偏 向 角最小M时, 偏向角 具有最小值, 称为最小偏向角, 用 m 表示。应用折射定律得 和m通常可用分光计进行测量,由于在最小偏向角时,偏向角的变化最小, 测量的准确度较高,折射率可以测定到六位有效数字。几何光学选讲平面折射成像 3. 平面折射成像 由P发出的某一条光线以入射角 i 射向分界面并折射到媒质n中, 假定 n n , 其折射角为 i 。则折射线的延长线与轴线的交点 P即为物点

15、 P 的像。 假设有两种折射率分别为 n 和 n 的透明媒质,其分界面(折射面)为平面,如图中的AB 所示。若取一垂直于分界面的直线为轴, 轴上有一点状物体P处在媒质n中, P到分界面的垂直距离为 p , 我们要讨论的是,由于光的折射, 物点P 的像的位置将会在哪里?由图中的几何关系不难看出, u = i 及 u = i 应用折射定律得几何光学选讲近轴成像 3. 平面折射成像又因及则这是单平面近轴光线折射成像时, 像点位置 s的近似计算公式。 此时，可用近似关系式 tan i sin i 及 tan i sin i , 则上述计算可简化为的情况下, 则 u 因此 , 在一般情况下, 计算P点的

16、位置 s 的表达式是比较复杂的,它与 n、 n、 s 和 u ( 或i ) 都有关。只有当 u ( 或 i ) 很小成像。( 或 i ) 也很小, 称为近轴 (或旁轴) 光线折射几何光学选讲计算公式 3. 平面折射成像单平面近轴光线折射成像时, 像点位置 s的近似计算公式应用此公式时应注意: ( 1 ) 它只适用于小入射角情况下折射成像位置的近似计算 ; ( 2 ) 式中规定 n 是入射光线所在媒质的折射率, n是折射光线所 在媒质的折射率 ; ( 3 ) 像点P 的位置是折射光线的逆向延长线与轴线的交点,光线实际并非由P 发出, 像的性质为虚像。公式中的物和象到折射面的距离分别为 s 和 s

17、, 这里我们只用此公式计算其大小 。几何光学选讲例 如下图中(a) 所示 , 在水深为 s 处有一物体P, 若在空气中近轴方向观察水中的该物体, 求其视觉深度 s。如下图中(b)所示, 离水面高度为s 处有一物体P, 若在水中近轴方向观察空气中的该物体, 求其视觉高度 s 。(a)(b)(a) (b) 两种情况都可应用近轴光线折射成像式 求像点位置 s。(a): 入射在 n = 1.33 , 折射在 n =1.00物体的视觉深度(b): 入射在 n =1.00 , 折射在 n= 1.33物体的视觉高度几何光学选讲第三节reflection and refraction of lightat s

18、pherical boundary 几何光学选讲球面反射成像球面镜 镜的反射面是球面的一部分。凹镜反射面为球面的凹面。凸镜反射面为球面的凸面。顶点镜面上的中心点 O。曲率中心球面的球心 C。曲率半径球面的半径 R。主轴通过顶点和曲率中心的直线 CO。副轴只通过曲率中心 C 而不通过顶点 O 的直线。主轴副轴凹镜主轴副轴凸镜几何光学选讲凹镜反射成像 1. 凹镜反射成像CFfRAOB焦点到顶点的距离 f 称为 焦距 。 平行于主轴并且接近主轴的入射光线,经凹镜反射后交于镜前主轴上的一点 F , 称为实主焦点, 简称 实焦点。 因入射光线 AB CO , 而且 CB 为 B 点的法线 ,BF 为反射

19、光线, 故 ABC BCF CBF , CF FB 。当 AB 接近主轴时, FO FB , 此时可以认为FO CF CO 21即几何光学选讲凹镜公式 如果将一点状物体放在主轴的某点 P 上, OCFpBfPPpR为了求出该物点的像在主轴上位置,可通过 P 向凹镜作一条入射光线 PB , 其反射光线与主轴的交点 P即为像的位置。图中 CB 是镜面上 B 点处的法线,也就是三角形PBP中PB P的平分线, 则 当BPO 很小时, 也就是说,当入射光线满足近轴条件时, 上式可写成即展开得=p + pp pR2B=PBPPCPCO=POPPCPCpp=p RR p改写成：称为 凹镜公式。=ppf1+

20、11几何光学选讲共轭点 实像取正值, 虚像取负值。f 为焦距, 因凹镜的焦点是实焦点, 其焦距 f 取正值。公式中p称为物距,是物体到镜面顶点的距离 ,当实物在镜面前时,或者在镜面前存在一个由其它镜产生的实像时, p 总取正 根据光路的可逆性原理可知, 若将P 点处的物体改放在其像的 P 点处,则这时的像必在P点 。存在P与P 这种关系的两个点, 称为 共 轭点。OCFpBfPPpR凹 镜 公 式=ppf1+11值。 p称为像距, 是象到镜面顶点的距离 ,几何光学选讲作图法 下面介绍使用 作图法 直观地表示凹镜反射成像的性质、位置和放大率 。在近轴条件下, 可灵活运用下述三条原则进行作图求解:

21、 ( 1 ) 平行于主轴的入射线 , 其反射线必通过焦点 ; ( 2 ) 通过焦点的入射线 , 其反射线与主轴平行 ; ( 3 ) 通过曲率中心的入射线 , 其反射线与入射线共线而反向。 例如图 (a) , 已知一垂轴物体 AP 位于曲率中心 C 之外, 可对A点应用作图原则 ( 1 ) 和 ( 2 ) 所得到的交点 A即为 A点的像, 对应于轴上点P 的像为P, 于是获得一个倒立的 实像P A 又如图 (b) , 已知一垂轴物体 AP 位于焦点 F 内, 可对 A 点应用作图原则 ( 1 ) 和 ( 3 ) 它们在镜面后方的延长线的交点 A 即为 A 点的像, 对应于轴上点 P 的像为 P,

22、 于是获得一个正立的 虚像 AP 。A PPA(b)ppCFBO(a)PPAAppCFBO几何光学选讲放大率 为了证明这个式子， 我们只要从 A 向镜面顶点O 作一入射光线,其反射线(或反射线的逆向延长线)必通过 A 点, AOP = A OP ,则 AOP 与 A OP 相似, 对应边成比例。 作图法和计算法的原理及所得的结果是一样的,而且都是在近轴条件下才成立的。平行于主轴的远轴和近轴入射光经球面镜反射后并不会聚于同一焦点, 这是球面镜的一个天然的缺陷。除非不用球面镜而改用抛物面镜。但由于工艺上的原因,球面比抛物面容易加工,因此通常球面光学器件用得较多,在设计和使用时,都要尽量考虑满足近轴

23、条件。A PPA(b)ppCFBO(a)PPAAppCFBO我们还可以进一步证明, 对于 (a) (b) 两种情况,像的长度与物的长度之比 ,等于像距与物距之比,这一比值称为凹镜成像的放大率,用 M 表示, 即M =P AP App=(a) (b)几何光学选讲凸镜成像 2. 凸镜反射成像 平行于主轴并且接近主轴的入射光线,经凸镜反射后是发散的，但其逆向延长线与主轴可交于一点 F ,称为凸镜的主焦点 , 因 CBF BCF , BF FC ，在近轴条件下, BF OF , OF FC OC 21可得CfRBFO凸镜的主焦点是 虚焦点。即几何光学选讲原理 若在凸镜前方位于主轴上有一个物点 P ,

24、如下图所示, 通过 P 可作入射光线 PB , 其反射线的逆向延长线与主轴的交点 P是物点 P 在主轴上的虚像。从图中的几何关系可以看出, BC 既是法线又是 PBP的外角 EBP的平分线, 可得PBPB=PCPC 当BPO 很小时, 也就是说, 当入射光线满足近轴条件时, 上式可写成=POPOPCPC即pp=p + RR p上式可改写成pp-11=f1展开得=p - pppR2=f1OCFRPBPppEf几何光学选讲凸镜公式此式是 球面镜反射公式的普遍表达形式 , 应用此公式时, 对于实像, p为正值; 对于虚像, p为负; 对于实焦点, f 和 R 为正, 对于虚焦点, f 和 R 为负,

25、 或者说, 如果从反射面到曲率中心的方向, 与反射光的方向相同时, R 为正, 否则为负。这样就可同时包容凸镜和凹镜两种情况了。称为 凸镜公式式pp-11=f1 应用此式进行运算时, p 、p、和 f 都应以绝对值代入。但在几何光学中, 为了将球面镜(包括凸镜和凹镜)公式使用同一种表示形式, 都表示为OCFRPBPppEfpp+11f1R2几何光学选讲特点与应用几何光学选讲例 已知一球面凹镜的曲率半径为60cm , 一高度为2cm的物体在镜前40cm处, 求 (1) 此物的像距与象高, 此象是实像还是虚像? 并用作图法画出光路草图。 (2) 如果物体在镜前15cm处,其它条件不变,结果又如何?

26、若 p= 15cm , 则像距为 p= = 30 (cm)2 s RR s像距 p为负值, 则象为虚像。负值表示虚像。 得放大的正立虚像。hPAOBACFphpP(1)APphhPOBACFp(2)R = 60 cm , p = 40 cm , 则像距为 M = = = = 32R=ppf1+11=p= = 120 (cm)2 s RR s放大率pphh12040则h= 2 h = 6 (cm)得放大的倒立实像。(1)由(2)M = = = = 2pphh3015放大率几何光学选讲例如果将上题的凹镜改成凸镜, 其它条件不变, 果如何?得缩小正立虚像hPAhOBACFppP(1)APphPOBA

27、CFph(2)得缩小正立虚像p= 17.1 (cm) 虚像解得(1) 凸镜的曲率半径为负值, 40p260=+112R=ppf1+11=由用 R = 60 cm 代入计算M = = = = 0.43 缩小虚像pphh17.140(2)260=+1115sp= 10.0 (cm) 虚像M = = = = 0.67 缩小虚像pphh10.015几何光学选讲球面折射成像 假设有两种折射率分别为 n 和 n 的透明媒质,其分界面(折射面)为球面,球面的曲率为C , 曲率半径为 R , 如图所示。我们将要讨论, 在媒质 n 中, 物距为 p的轴上点状物体P, 由于光的折射, 在媒质 n 中的成像规律。

28、由P点作入射光线PB ,其折射光线与轴线的交点P则为P点的像。由图中的 i 和 f 分别作为i = u + ff = u+ in sin i = nsin i n i = n i n u + n u = ( n- n ) f由折射定律有 在近轴条件下, i、i 都很小,可用角量(弧度)代替正弦将 i = u + f 和 i= f - u 代入得PBC和P BC 的外角可知OCRPBPppnniuhfDiu，几何光学选讲原理n u + n u= ( n - n ) f h f =R h u =p, h u=p,在近轴条件下, 很小,可以忽略, u、 u 、 也都很小,可用角量(弧度)代替正切,

29、得OCRPBPppnniuhfDiu 另一方面, 在PBD、P BD 和 CBD 中, 设 BD = h , OD = , 则R - tan u = h p +tan u= h p- tan f = h ,将上述结果代入式 n u + n= ( n- n ) f 后消去 h 得n n n p+np=R几何光学选讲球面折射成像公式 这是球面折射的普遍公式。无论 nn 还是 n n ,公式都有同样的形式。但在应用此 ( 1 ) 若从折射面到曲率中心的方向与折射光的方向相同, 则R为正,否则为负。 ( 2 ) 若像P 位于从球面折射光线行进方向的那一侧 , 像距 p为正, 否则为负。 ( 3 ) 若

30、物P 位于入射到球面的光线的那一侧, 物距 p 为正, 否则为负。COPPpnnp( a )iiRAAyy( b )CRPPnnppyAAyii( a ) : R为正, p 为正, p为正。 ( b ) : R为负, p 为负, p 为正。 例如,图中n n n p+np=R公式时, 必须注意根据成像的虚实和球面曲率中心的方位去取像距 p和曲率半径 R 的正负。球面折射公式的符号规则为几何光学选讲放大率 前面我们讨论过平面折射成像问题, 其实, 平面折射成像可看成是球面折射成像 R = 时的一种特例, 这时有 n p+np= 0或p =pnn 下面, 我们进一步推导球面折射成像的放大率表达式。

31、以上页图 ( a )为例, 从垂轴物体 y 的端电点 A 发出的光线, 在通过曲率中心 C 的方向上为一直线, 在顶 O 处入射的光线, 其折射光线的方向服从折射定律,此两条光线的交点 A即为像 y 的端点。在近轴条件下有tan i = sin i yp,tan i = sin i yp再由折射定律n sin i = sin i n联立解得nn yp= yp则 球面折射成像的横向放大率表达式 为M =nn yp yp=COPPpnnp( a )iiRAAyy几何光学选讲例将已知数据代入得p为负故象为虚像, 像点 P是折射光线的逆向延长线与轴线的交点 。 已知折射率为 n = 1.00 与 n

32、= 1.50 两种媒质的分界面为球面, 球面曲率半径为 R = + 4 0cm , 在媒质 n 中有一物距为 p = + 2 0cm 的轴上物点P, 求其像距 p, 此像是实像还是虚像? 并画出光路草图。 因已知条件为: 物在媒质 n 中, 且物 距 p 为正, 以及R为正。可判定球面曲率中心C 在从球面折射光线行进方向的那一侧, 如图所示。由球面折射公式可得CRPPpn = 1.00n= 1.50pn - n n p+np=Rn - n n pnp=R-=4 00.50 1.00 2 0p= 1.50 4 00.50 2.00 =4 0 1.50 p = - 4 0 (cm)则几何光学选讲例

33、 由于 R 为负值, 故球面曲率中心 C 在从球面折射光线行进方向的那一侧, 如图所示。由球面折射公式得则CRPPpn =1.50n= 1.00p 1.50 + 40p= 1.00- 10 1.00 1.50 0.5=4010 1.5=400.5p = 8 0 (cm)p为负表明像的性质为实像, 像点 P是折射光线与轴线的交点 。 已知折射率为 n = 1.50 与 n = 1.00 两种媒质的分界面为球面, 球面曲率半径为 R = - 10cm , 在媒质 n 中有一物距为 p = + 40cm 的轴上物点 P, 求其象距 p, 此象是实像还是虚像? 并画出光路草图。注: 如果本题的一切数据

34、都不变,仅仅是将折射率的标识符 n 换成 n , 及 n 换成 n , 如右图所示 , 在应用球面折射公式对该图解题时, 也只需相应地将 n 换成 n, 及 n 换成 n, 其它的一切都不变, 即换成CRPPpn =1.50n = 1.00pnn n p+np=R得nn n p+np=Rnn n pnp=R几何光学选讲第四节 formation of image with thin lens几何光学选讲凸透镜 一个透明物体的两个界面如果都是球面, 或者一个界面是球面, 另一个界面是平面, 称为 透镜。中央部分比边缘部分厚的透镜称为 凸透镜, 凸透镜具有会聚光线的性能, 又称为会聚透镜, 如图所

35、示。按截面形状可分为 ( a ) 双凸、( b ) 平凸和 ( c ) 凹凸三种类型。凸 透 镜( a )R1C1R2C2F双凸( b )R1C1R2 平凸( c )R1C1C2R2凹凸几何光学选讲凹透镜 设透镜前后两个球面的曲率半径分别为 R1 和 R2 , 球面曲率中心分别为 C1 和 C2 , 通过两球面曲率中心的直线称为透镜的 主光轴 简称 主轴。如果透镜的厚度远小于两球面的曲率半径, 这种透镜就称为 薄透镜。下面我们将要讨论在近轴条件下, 薄透镜成像的基本规律。 中央部分比边缘部分薄的透镜称为 凹透镜, 凹透镜具有发散光线的性能, 又称为发散透镜, 如图所示, 按截面形状可分为 (

36、a ) 双凹、( b ) 平凹和 ( c )凸凹三种类型。( a )( b )( c )R1 R2C2FR2R1C1C2C1R1C2R2凹 透 镜双凹平凹凸凹几何光学选讲基本原理O1C1PP pp1nnC2O2np2P1pdB1B2R1R2 如图所示, 设透镜的折射率为 n (例如玻璃等) , 其两个折射面曲率半径的大小别为 R1 和 R2 , 相应的曲率中心分别在 C1 和 C2 。若透镜处在折射率为 n 的媒质(例如水或空气等)中, 轴上一点状P 到第一折射面的顶点 O1 的距离为 p , 从 P 发出的一条近轴光线 PB1 入射于第一折射面, 进入透镜时沿某一方向产生折射, 折射光线为

37、B1B2 , 再从第二折射面折射出透镜，出射光线与轴线的交点P 即为透镜对物点P 所生成的像。几何光学选讲第一步 为了定量求出像距 p与物距 p、曲率半径 R1、R2 和折射率 n 、n 的关系式, 可将上述全过程分成两个步骤: 第一步, 分析第一个折射面所成的像, 如下图所示。 第一折射面所成的像是在折射光线 B1B2 逆向延长线与轴线的交点 P1处 , 它是一个虚像, 像距的大小为 p1。O1C1Ppp1nnP1B1R1应用球面折射公式得 n p+n=n - nR1p1几何光学选讲第二步P p1nC2O2np2P1pdB2R2 第二步, 将第一折射面所成的虚像 P1作为第二折射面的物, 物

38、距大小为 p2 , 它所成的像位于P , 像距为 p , 如下图所示。图中的入射和折射空间的折射率为n和 n , 应用球面折射公式 得 因P1对第一折射面为虚像, 像距 p1为负; 而对第二折射面是物, 它位于入射到球面的光线的那一侧, 物距 p2 为正。 此外对于薄透镜, 透镜厚度 d 远小于 R1 和 R2 , 也远小于 p2 和 p1, 可取 p2 = - p1, 代入上式得pp1 n +n=nnR2np2nn n +=R2p几何光学选讲联立R1 p将上面两式相加, 得即是含透镜结构参数R1、R2 和n的薄透镜成象的普遍表达式, 其中p 和p分别为物距和像距, n 为薄透镜周围空间媒质的

39、折射率, 如果处在空气中, n 1 则有pR2pnn n +n=R1p1p1 n +n=pnnR2( )pp+( ) n n=R11n nR21R11( )p1p+1=( )R21nn111+1( )=( )1n1几何光学选讲透镜制造者方程 上式给出了薄透镜的焦距 f 与结构参数 R1、R2 和 n的定量关系, 这是设计和制造薄透镜的理论依据, 因此, 该式通常又称为透镜制造者方程。该方程对于各种类型的凸、凹薄透镜都成立, 但应注意基本的符号法则: 假设光从透镜左方入射, 对于曲率中心C 在透镜右側的球面,其曲率半径 R 取正值; 对曲率中心 C 在透镜左側的球面,其曲率半径R 取负值。同学们

40、可根据这一法则, 结合各种类型的凸、凹玻璃薄透镜 ( n 1 ) 可以验证, 计算结果,所有凸透镜的焦距 f 都是正的, 所有凹透镜的焦距 f 都是负的。因此, 通常又将凸透镜称为正透镜, 凹透镜称为负透镜。 薄透镜有一个重要的参量称为焦 距 f , 薄透镜焦 距 f 被定义为: 当轴上点物的物距 p = 时点像的像距s ; 或者, 当轴上点像的像 距 p = 时点物的物距 p 。因此 , 又可表示为透镜制造者方程( )=f1( )R11R21n1几何光学选讲高斯公式 将上面两式联立, 可解得( )=f1n1( )p+=p11n1( )R11R21( )R11R21上式称为 薄透镜公式 ,又称

41、为薄透镜方程的高斯形式。该公式对凸、凹透镜都成立。对于凸透镜, f 为正 ; 对于凹透镜, f 为负。对于实像 , p为正 ; 对于虚像, p为负。 对于实物 , p 为正; 对于虚物, p 为负。有关虚物的概念,将在薄透镜组合中介绍。薄透镜公式（高斯形式）f1p+=p11几何光学选讲焦距Ff( a )( b )fF 在几何光学中, 通常将像在无穷远处时的轴上物点称为透镜的第一主焦点; 称无穷远处的轴上点物所成的像点为第二主焦点,如下图中的F 点和F点所示。对应的焦距分别用 f 和 f 表示。在同一媒质中,薄透镜的 f = f 。 如果物体与第一主焦点F 之间的距离为 x, 像与第二主焦点F之

42、间的距离为 x, 。应用透镜公式不难得出f 1x + f 1+x + f 1=几何光学选讲牛顿公式F1F2ffPPxxpp 透镜制造者方程、透镜公式的高斯形式和 牛顿形式， 是薄透镜近轴成像的三个常用公式。它们都是基于近轴条件下的球面折射原理而导出的, 但各以不同的形式描述薄透镜近轴成像的基本规律, 可用于解决不同情况下单透镜近轴成像的问题。在应用每个公式时, 都应注意它们的符号规则。通分并约简后得将上式f 1x + f 1+x + f 1=x x =f 2（牛顿形式）上式称为透镜方程的牛顿形式 。若物处在第一焦点外, x为正; 在第一焦点外，x 为负。若像落在第二焦点外, x为正; 在第二焦

43、点内 x为负。几何光学选讲光焦度 薄透镜焦距的倒数 1 / f 称为薄透镜的 光焦度 , 即 =f1 光焦度 表示透镜会聚或发散光线的本领, 光焦度的单位为屈光度, 用 D 表示。1D = 1m -1 。日常生活中所谓眼镜的度数 , 等于屈光度 D 乘以 100 。 例如, 200 度的眼镜,其透镜的焦距为0.5m , 光焦度 = 2D 。与焦距的正负值相对应,凸透镜的光焦度为正值, 凹透镜的光焦度为负值。几何光学选讲作图法图 2222 薄透镜成象作图法 透镜的主轴、主焦点和光心是透镜的主要特征线和点。 所谓光心是主轴上的一个特殊点, 通过这一点的光线射出透镜时与射入透镜时的方向 (1) 平行

44、于主轴的光线,折射后通过主焦点 ; (2) 通过主焦点的光线,折射后与主轴平行; (3) 通过光心的光线,按原方向无偏折行进。平行, 薄透镜光心可认为就是透镜的中心 O 。薄透镜成像的作图法,可遵循下述三条原则:几何光学选讲续 下图 (a) 、(b) 分别为凸透镜和凹透镜成像作图法的一个例子,图中光线的编号对应于作图法三原则的序号。垂轴物体 PQ 的长度为 y, 像 P Q的长度为 y , 通过物的轴外点Q 按作图法三条原则中的任意两条,可 作图法与透镜公式是一致的。以凸透镜为例, 图(a)中POQ与 PO Q 相似, 得到两对应光线的交点, 此交点就是Q 的像点Q 。 y y=pp两式联立解

45、得 f ( p + p ) = p p, 即MOF2 与 PQF2 相似, 以及 MO = y , 则 y y=pffpf1=1+p1几何光学选讲放大率 此外,我们还可以得到, 薄透镜成像的放大率 ( 像长与物长之比 )等于像距与物距之比, 即应用牛顿公式可得或 y y=f=M=上述两式是薄透镜横向放大率的常用表达式。 y y=pp=Mx fp f=M=x fxf几何光学选讲物像变化关系图解凸透镜成像的物像变化关系图解F1F2OF1F2O2 fyF1F2OyyF1F2OyyF1F2OyF1F2Oyyy2 f2 f2 f2 f2 f2 f2 f2 f 以凸透镜为例,说明作图法可直观地表示像的性质

46、和像距 p 随物距 p 的变化规律。 当 p = 时, 在 p= f 处得一点像; 当 p 2 f 时, 在 f p 2 f 处得一缩小的倒立实像; 当 p = 2 f 时, 在 p= 2 f 处得一等大的倒立实像; 当 f p 2 f 时, 在 p 2 f 处得一放大的倒立实像; 当 p = f 时不成像; 当 p f 时, 像与物在透镜同侧, 得一放大的正立虚像。几何光学选讲物平面F2O焦平面副轴主轴F1OP焦平面副轴主轴PF2OP物平面像平面( a )( b )( c )主轴P 我们已经知道,透镜的主轴是通过光心垂直于透镜的直线。除主轴外,其它通过光心的直线都称为副轴。通过主焦点垂直于主

47、轴的平面称为焦平面。在近轴条件下, 一束平行光沿某一方向入射于透镜时,其会聚点应在该方向的副轴与焦平面的焦点P 上, 如图 ( a ) 所示。这一性质能够帮助我们找到沿任一方向入射的光线(例如图a中的任一条虚线)通过透镜后的偏折方向,方法就是作出一条平行于该入射方向的副轴,找出该副轴与焦平面的 交点P , 则待求入射光通过透镜后的偏折光线必通过 P 点。焦平面、物平面与像平面几何光学选讲像平面焦平面、物平面与像平面F2O焦平面副轴主轴F1OP焦平面副轴主轴PF2OP物平面像平面( a )( b )( c )主轴P 根据光的可逆性原理, 我们还可以知道, 在近轴条件下, 焦平面上任一点 P 发出

48、的任一条光线,通过透镜后必然都平行于通过 P 点的副轴, 如图( b ) 所示。这些基本方法,在分析光学的许多具体的近轴问题时常会用到。 近轴成像时, 物体所在的垂直于主轴的平面称为物平面, 对应的像所在的垂直与主轴的平面称为像平面, 如图 ( c ) 所示。用作图法(图中实线)可求出物点 P 的像点 P , 则从P 发出的其它光线(虚线)折射后也通过 P 点。几何光学选讲像差 简单的球面薄透镜有许多缺点, 实际上它所成的像往往不能反映原物的真实面貌, 这种现象称为像差。例如, 主轴上的一个物点通过透镜中央部分与通过透镜边缘部分所成的像并不在主轴的同一点上, 这种现象称为球差。主轴外的一个物点

49、通过透镜中央部分与通过透镜边缘部分所成的像, 在同一象平面上得不到同一个像点, 而是得到一个类似慧星形状的亮斑,此现象称为慧差。一束平行白光垂直通过透镜而聚焦时, 白光中各种颜色的光的焦距并不相等,紫光的焦距最短, 此现象称为色差。等等。像差的限制或消除有专门的方法, 这里不作详细介绍。几何光学选讲例 一薄透镜的玻璃折射率为 n= 1.50 , 其两个折射面的曲率半径分别为不是 R1= + 40cm , R2= - 10cm , 求 (1) 在空气中该透镜的焦距 f 值,凹透镜还是凸透镜? (2) 物距为+20cm的轴上点物的像距; (3) 如果该透镜是浸没在折射率 n = 1.33 的水中,

50、则上述两问的答案又如何? (1) 应用透镜制造者方程， 得(2) 应用薄透镜方程的高斯形式，得=p80 (cm)解得实像( )f( )=1n 1R11R21=( 1.5 1 )( )1+ 401- 10=0.5 405=402.5f=402.5=16 (cm)结果为正, 是凸透镜111fp+=pf1=pp11=161201=801几何光学选讲续(3) 当透镜处在折射率为 n 的媒质中时, 焦距 f n 为1( )4051.50R1R21( )=f n1n- 1n=( 1 )=400.6462.5 (cm)f n=,1.33f1=pp11=62.5120129.41,p=29.4 (cm) 虚像

51、n= 讨论: 如果已知一透镜在空气中的焦距为 f , 可以不必知道其曲率半径 R1 和 R2 , 但必须知道透镜材料的折射率 n , 才能求出它在折射率为n 媒质中的焦距 f n , 这是因为将两式1( )=f n( )R11-R21n- 1n( )=f1R11R21( )n 1和相除得f n( )n- 1nf( )n- 1,=f nf=( )n- 1n -nn几何光学选讲透镜组合 应用这种方法时, 同样要遵守单透镜成像时凹透镜的焦距为负值、虚像的像距为负值的符号规则, 并且要注意下述有关实物和虚物的含义及物距的符号规则: 若前一个透镜所成的像在后一个透镜的前方, 则将这个像作为后一个透镜的

52、实物 , 它到后一个透镜的距离(物距)取正值。若前一个透镜所成的像在后一个透镜的后方, 则称这个像为后一个透镜的 虚物 , 它到后一个透镜的距离 (物距) 取负值。 本课程只从薄透镜近轴成像的基本原理出发, 介绍分析光具组成像的一种最基本的方法: 逐步分析法 , 即前一个薄透镜所成的像作为后一个薄透镜的物, 如此逐个透镜进行求解, 最后求得透镜组合所成的像。 薄透镜的组合通常是指两个或两个以上的薄透镜的主光轴重合在一条直线上的光学系统, 又称为光具组。详细研究光具组成像的性质和规律在应用光学中有一套专门的研究方法。几何光学选讲作图法LBLAyAdpBfAfBpBpApAyAyB以该像作为透镜

53、LB 的物, 在本例中由于 yA 在 LB 的前方, 被看作 LB 的实物, 再用作图法求它的像 yB , 这个像就是该透镜组合所成的像。 设某透镜组合由两个薄凸透镜 LA 和 LB 组成 ,它们相距为 d, 焦距分别为 fA 和 fB , 在 LA 的前方距离为 pA 处有一长度为 yA 的垂轴物体, 如图所示, 可应用作图法, 先求出 LA 所成的像 yA, 然后， 几何光学选讲像距计算LBLAyAdpBfAfBpBpApAyAyBLA单独成相时有LB 以 为实物成像时有yA两式联立解得透镜组合所成的像到末端透镜 LB 的距离为=pA1+pA11fApB1=1fB+pB1=pB1+1( d

54、 pA )d ( pA fA ) fA pA pBfBfBpBpB=fB( d pA )fB( d pA )=fB( d fB ) ( pA fA ) fA pA 几何光学选讲放大率计算从图中的有关三角形相似关系不难看出,透镜的成像放大率为LA透镜LB的成像放大率为透镜组合的的成像放大率为yByAM = = MA MB此式表明, 透镜组合的放大率, 是各透镜放大率的乘积。yAyAMA =yByAMB =LBLAyAdpBfAfBpBpApAyAyB几何光学选讲组合光焦度 在实际应用中为了改善像质,还常需要用到两个或多个透镜紧贴在一起的透镜组合, 这种透镜组合的等效焦距, 很容易根据各透镜的焦距

55、算出。例如, 将焦距为 fA 和 fB 的两个薄透镜紧贴在一起所构成的组合的等效焦距为 f , 令中的 d =0 , 所推导出结果，正好是透镜组合的等效焦距 f 的 1 / f 表达式, 即 将其表成光焦度, 得=A+ B 此式表明, 两个相距为零的薄透镜组合的光焦度等于各透镜的 上述讨论表明, 透镜组合系统成像的位置、相的性质和放大率与各透镜的焦距、透镜间的距离、最前端物体的位置等因素有关, 设计不同的参数可得到不同需要的像, 构成不同用途的简单光学仪器。在实际应用中为了改善像质,还常需要用到两个或多个透镜紧贴在一起的透镜组合。光焦度之和。1fA+1f+1fB=pA1pB1=几何光学选讲例

56、一凸透镜 LA 将一垂轴物体 yA 生成一倒像 yA 位于焦距大小为 3.00cm 的凹透镜 LB 的后方 2.00cm 处, 求 (1) 该透镜组合最后所成的像 yB 的位置; (2) 凹透镜 LB 的成象放大率。fBpBLBLAyAyAyBpB (1) 对凹透镜LB 应用透镜公式pB1=+13.001 2.00pB= 6.00 (cm)解得凹透镜焦距取负值, fB = 3.00cm , 是 LA 生成的像,位于LB 的后方, yA是LB 的虚物, 其物距 pB 应取负值, pB = 2.00cm , pB1=+pB11fB几何光学选讲例 一凸透镜 LA 将一垂轴物体 yA 生成一倒像 yA

57、 位于焦距大小为 3.00cm 的凹透镜 LB 的后方 2.00cm 处, 求 (1) 该透镜组合最后所成的像 yB 的位置; (2) 凹透镜 LB 的成象放大率。fBpBLBLAyAyAyBpB用本题原理可测量凹透镜的焦距,先用一个凸透镜成像 yA, 再插入凹透镜得一放大的像yB , 设法测得数据处 pB 和 pB , 用透镜公式求出 fB 。 (2) 对凹透镜LB 的成象放大率yAMB =yBpBpB=6.002.00=3.00=几何光学选讲第五节simple optical instrument 几何光学选讲简单光学仪器 前房液和后房液的折射率约为1.336 , 晶状体的平均折射率约为1

58、.437 。通常可粗略地将眼睛看成是一个平均焦距为1.5cm 凸透镜的成像系统。眼球结构简图如下。 眼球直径约 2.3 cm 。光轴视轴视网膜（含视觉神经）角膜前房（液体区） 瞳孔巩膜 （控制瞳孔大小）晶状体睫状肌（控制晶状体曲率）后房（液体区） 黄斑（视觉最敏锐）几何光学选讲眼睛与眼镜 在明亮条件下, 眼睛的调节作用所能看清楚最远和最近的两点, 分别称为 远点 和 近点。正常眼的远点在无限远处,近点因年龄的不同有较大差异, 一般青壮年正常眼的近点约在 10cm 到 15cm 处。物体离开眼睛 25 cm 处成像在视网膜上最清晰, 而且视觉不易疲劳,此距离称为 明视距离。 在视网膜上能生成一缩

59、小的倒立实相, 然而, 我们感觉到的却是正像,这是由于我们对环境的长期感受习惯所养成的一种识别本能的原因。光轴视轴视网膜（含视觉神经）角膜前房（液体区） 瞳孔巩膜 （控制瞳孔大小）晶状体睫状肌（控制晶状体曲率）后房（液体区） 黄斑（视觉最敏锐）几何光学选讲近视眼( a )( b )( c )p远点p远 远点变近的眼睛称为近视眼。这是由于眼轴过长或角膜曲率过大等原因造成的, 在眼内肌肉放松时,无限远的物体不能成像于视网膜上,而是成像于视网膜前方, 如下图 ( a ) 所示, 只有将物体从无穷远向眼睛移近到某一距离时, 才能成像于视网膜上, 如图 (b ) 所示。1. 近视眼 设某近视眼的远点到眼

60、睛的距离为 p远 , 此时远点上的物体才能成像在视网膜上, 其象距为 p, 眼睛的焦距为 f 眼 , 则 1p1=+f眼1p远 为了将近视眼的远点矫正到无限远处, 借助一透镜与眼睛构成一透镜组合,设透镜组合的焦距为 f 合 , 如图( c )所示 , 得 p11=+f合18几何光学选讲近视眼镜此式表明, (1) 近视眼镜的焦距和光焦度为负值, 应选用凹透镜; (2) 近视眼的光焦度可通过测试近视眼的远点来进行配置。 例如, 远点距离 = 1.25m, 则 f镜= -1.25m , 镜 = - 0.8 屈光度, 凹透眼镜片的度数为 - 80度。 若要进行更精确的计算则需考虑透镜与眼睛的距离。p远