高等数学教案微分中值定理与导数应用

1、授课章节第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理目的要求方程根的存在及不等式证明重点难点1 罗尔及拉格朗日中值定理2 方程根的存在及不等式证明复习3分钟第三章 微分中值定理与导数应用 第一节微分中值定理一、 罗尔定理例1 费马定理：在内可导，且，有则有注：称使的点为驻点。例2 罗尔定理：如果函数满足（1） 在闭区间a, b上连续；（2） 在开区间（a, b）上可导；（3） .则在（a, b）内至少有一点, 使.几何解释:二、 拉格朗日中值定理1. 拉格朗日中值定理: 如果函数满足（1） 在闭区间a, b上连续；（2） 在开区间（a, b）上可导.则在（a, b）内至少有一点, 使等式

2、成立.几何解释:注:1)当时, 上式也成立. 2)“”的记法:,(这里,则介于a,b之间.) 3)2. 定理:若函数在开区间（a, b）上满足, 则在闭区间a, b上(c为常数).42分钟3. 举例例1 证明当时,不等式成立.(用拉格朗日中值法证明不等式的步骤:1确定函数的形式;2确定区间端点.)例2 证明当时,不等式成立.例3 证明不等式成立.(分别讨论等号与不等号成立时的情况)例4 证明当时,不等式成立.例5 证明当时,不等式成立.例6 证明方程只有正根.(讨论根的存在性和根的唯一性)三、 柯西中值定理柯西中值定理:如果函数满足（1） 在闭区间a, b上连续；（2） 在开区间（a, b）上

3、可导().则在（a, b）内至少有一点, 使等式.42分钟内容小结：方程根的存在及不等式证明思考题：几个中值定理的关系.作业：P132 3,5,6,10,11,12备注：分钟授课章节第三章 微分中值定理与导数应用 第二节 洛必达法则目的要求掌握未定式极限的求法重点难点未定式极限的求法复习3分钟第二节 洛必达法则一、 未定式称为未定式.二、 洛必达法则1. 关于型未定式定理1:满足下列条件(1) ;(2) 在某个(或无穷远点的某个邻域)内存在,且;(3) 存在,或为,则有例1.求注:1) “”可用“”来代替; 2)类似的可用二阶导数比的极限来求一阶导数比(未定式)的极限,即(未定式)= (未定式

4、)= 例2.求2. 关于型未定式与型未定式类似,可得型未定式求极限的定理.定理2:满足下列条件(1) ;(2) 在某个内(或无穷远点的某个邻域)存在;(3) 存在,或为,则有例3.求(n>0)注:利用上述洛必达法则必须先确定是未定式,否则将导致错误.如42分钟3. 型未定式,也可通过型或型未定式来计算.例4.(型未定式)例5.(型未定式)注:对于型未定式,是幂指函数型未定式,有其特殊的计算方法.所谓幂指函数,即函数的形式为的称为幂指函数. 对于幂指函数型未定式采取的是取对数法.以下列例题为例给出取对数法.例6.(型未定式)当然,罗必达法则可与其它的方法结合起来用,对有些问题会更简单(先化

5、简).例7.(先进行无穷小等价代换)有些未定式,洛必达法则是无效的,但并不能说明极限不存在,可用其它方法来求.例8. 42分钟内容小结：洛比达法则;掌握未定式极限的求法思考题：能使用洛比达法则吗?作业：P137 1(1)(3)(5)(7)(9)(11)(13),3备注：分钟授课章节第三章 微分中值定理与导数应用 第三节 泰勒公式目的要求了解泰勒展开公式重点难点1几个特殊函数的泰勒展开2函数的泰勒展开复习3分钟第三节 泰勒公式泰勒公式即是用多项式近似代替函数一种方法.一、 泰勒中值定理分析：对于函数，求一个n次多项式 （*）使其在点处函数值及一阶、二阶直至n阶导数与函数对应相等，使得曲线与在点附

6、近拟合的好一些（画图），即； （*）由上述两式可解得令，则得泰勒中值定理。泰勒中值定理: 如果函数在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶导数,则对,有称它为泰勒公式，其中介于x与x0之间的数。（称为拉格朗日余项）二、 麦克劳林公式在的泰勒公式称为麦克劳林公式，即其中介于x与x0之间的数。注：的选取可类似于前面讲的中值定理的选法，即。42分钟三、 几个重要函数的麦克劳林公式例1例2 （给出）例3 （给出）四、 举例例4 按的幂展开多项式例5 应用麦克劳林公式，按x的幂展开函数例6 求函数按的幂展开的带有拉格朗日余项的3阶泰勒公式。42分钟内容小结：泰勒展开;迈克劳林展开;几个特殊函数

7、的迈克劳林展开.思考题：迈克劳林展开公式与迈克劳林展开级数的关系作业：P143 1,4,6备注：分钟授课章节第三章 微分中值定理与导数应用 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性目的要求掌握函数导数与函数本身性质的关系重点难点1函数单调性、凹凸性及拐点的判断法；2不等式的证明。复习分钟第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性一、 函数的单调性的判断画图分析：定理1：设函数在闭区间a, b上连续，在开区间（a, b）上可导，则（1） 如果，则在a, b上单调增；（2） 如果，则在a, b上单调降。注：闭区间a, b可换成无穷区间，上述定理仍然成立。例1 判断在0，2上的单调性。例2 判断的单调性。例3 判

8、断的单调性。注：单调区间的分界点：1导数为零的点； 2导数不存在的点。例4 判断的单调区间。二、 利用函数的单调性证明不等式分析：证明步骤：1设的形式； 2； 3当x>a时，所以是单调增函数； 4=0例5 证明当时，成立例6 证明当时，成立例7 证明当时，成立提示：设例8 证明当时，成立例9 证明当时，成立（不讲）提示：两边取对数，即设，则注：注意在何时利用拉格朗日定理或单调性证明不等式42分钟三、 曲线的凹凸与拐点 凹凸函数定义：（画图说明）凸函数：；凹函数： 判断法则定理：设函数在闭区间a, b上连续，在开区间（a, b）上具有一阶和二阶可导，那么（） 如果，则在a, b上图形是凸的

9、；（） 如果，则在a, b上图形是凹的注：闭区间a, b可换成无穷区间，上述定理仍然成立。例10 判断的凹凸性例11 判断的凹凸性 拐点拐点定义（画图说明，注意拐点是连续点）：凹凸区间的分界点称为拐点拐点的判断：二阶导数为零的点；二阶导数不存在的点例12 求曲线的拐点例13 求曲线的凹凸区间与拐点例14 指出是否有拐点例15 指出的拐点42分钟内容小结：函数单调性、凹凸性及拐点的判断法；不等式的证明。思考题：证明不等式时,若怎么办?作业：P151 1,3(1)(3),4(1)(3)(5),6备注：分钟授课章节第三章 微分中值定理与导数应用 第五节 函数的极值与最大值最小值目的要求1极值的判断；

10、2最值的求法。重点难点极值的判断法则复习分钟第五节 函数的极值与最大值最小值一、 函数的极值及其求法 极值定义：设函数在点的某个邻域内有定义，如果对于去心邻域内的任意一点x都有（）则称点是函数的极大值点（极小值点），为极大值（极小值）。（画图说明）由前面讲的费马定理（若存在，且（），则。 定理定理（极值存在的必要条件）：若存在，且在点处取到极值，则（画图说明）定理（第一充要条件）：若函数在某个去心邻域内可导，且在该去心邻域内的任意点x满足（1） 时，而时，则点是极大值点；（2） 时，而时，则点是极小值点；（3） 符号不变化，则点不是极值点。（画图说明）注：由上述定理可得，极值点一定是驻点或一阶

11、导数不存在的点。例1 求函数的极值。例2 求函数的极值例3 球函数在-3,4上的最大值与最小值42分钟定理（第二充要条件）：若函数在点有二阶导数，且，那么（1） 若，则点是极大值点；（2） 若，则点是极小值点。（由凹凸性分析。）求极值的步骤：（） 求出一阶导数；（） 求出一阶导数为零或不存在的点；（） 判断上述可疑点处的二阶导数或其左右邻域的符号；（） 判断出极值点并求出极值。例3 求函数的极值。例4 求函数的极值。二、 最值问题最大值和最小值定义：注：极值是函数局部的性质，最值是函数全局性质。（画图说明）最值点的可疑点：极值点（一阶导数为零或不存在的点），端点。例3 铁路线上AB段的距离为1

12、00km。C距A处为20km，AC垂直于AB。为了运输需要，要在AB线上选定一点D降工厂修筑一条公路。已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比为3:5。为了使货物从供应站B运到工厂C的运费最省，问D点应选在何处？ 例4 A B D 100km 20km C(,其中铁路每公里货运的运费为k，公路上每公里货运的运费为k)例5 某车间靠墙要盖一间长方形小屋，现有砖只够砌20m长的墙壁。问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？42分钟内容小结：极值的判断；最值的求法。思考题：最值点与极值点的区别与联系作业：P160 1(1)(3),4(1)(3)(5),9,10备注：分钟授课章节第三章 微分中值定理与导数应用 第六节 函数图形的描绘 第七节 曲率目的要求1会利用极值点、拐点，以及函数的单调性、凸凹性等画图；2函数的曲率及曲率半径重点难点曲率及曲率半径的计算公式复习分钟第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘的列表法：找出函数的特殊点以及各特殊点之间的函数性质。（1） 特殊点：极值点、拐点、函数及导数不存在的点。（2） 特性：点调性、凹凸性。（求出一、二阶导数）（3） 水平和铅直渐进线。例1 描绘函数的图形。例2 描