高等代数习题

1、高等代数习题第一章 基本概念 §1.1 集合1、设Z是一切整数的集合，X是一切不等于零的有理数的集合Z是不是X的子集？2、设a是集A的一个元素。记号a表示什么？ a A是否正确？3、设写出和 . 4、写出含有四个元素的集合 的一切子集5、设A是含有n个元素的集合A中含有k个元素的子集共有多少个？6、下列论断那些是对的，那些是错的？错的举出反例，并且进行改正(i)(ii)(iii)(iv)7证明下列等式：(i)(ii)(iii)§1.2映射1、设A是前100个正整数所成的集合找一个A到自身的映射，但不是满射2、找一个全体实数集到全体正实数集的双射3、是不是全体实数集到自身的映

2、射？4设f定义如下：f是不是R到R的映射？是不是单射？是不是满射？5、令A=1,2,3.写出A到自身的一切映射.在这些映射中那些是双射？6、设a,b是任意两个实数且a<b.试找出一个0,1到a,b的双射. 7、举例说明，对于一个集合A到自身的两个映射f和g来说，fg与gf一般不相等。8、设A是全体正实数所成的集合。令(i)g是不是A到A的双射？(ii)g是不是f的逆映射？(iii)如果g有逆映射，g的逆映射是什么？9、设是映射，又令，证明(i)如果是单射，那么也是单射；(ii)如果是满射，那么也是满射；(iii)如果都是双射，那么也是双射，并且10判断下列规则是不是所给的集合A的代数运算

3、:   集合 A 规则1 2 3 4 全体整数全体整数全体有理数全体实数§1.3数学归纳法1、证明:2、设是一个正整数.证明 ,是任意自然数. 3、证明二项式定理:这里， 是个元素中取个的组合数. 4、证明第二数学归纳法原理. 5、证明,含有个元素的集合的一切子集的个数等于。§1.4整数的一些整除性质1、对于下列的整数 ,分别求出以除所得的商和余数: ; ;. 2、设是整数且不全为0,而 , , .证明,的一个最大公因数必要且只要 . 3、设是不等于零的整数.满足下列两个条件的正整数叫做与的最小公倍数:;如果且 ,则 .证明: 任意两个不等于零的整数都有唯一的最小

4、公倍数; 令是与的最小公倍数而 ,则 . 4、设是一个大于1的整数且具有以下性质:对于任意整数 ,如果 ,则或 .证明,是一个素数(定理的逆命题). 5、设是两两不相同的素数,而 . 证明 ; 利用证明,素数有无限多个§1.5数环和数域1证明,如果一个数环那么含有无限多个数2证明,是数域3证明,是一个数环,是不是数域? 4证明,两个数环的交还是一个数环;两个数域的交还是一个数域.两个数环的并是不是数环? 5设是一整数,令由例1,是一个数环.设 ,记证明: 是一个数环,这里是与的最大公因数第二章多项式§2.1一元多项式的定义和运算1设和是实数域上的多项式证明：若是(6) ，那

5、么2求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式和3证明：§2.2 多项式的整除性 1求被除所得的商式和余式：( i ) (ii) 2证明：必要且只要3令都是数域F上的多项式，其中且证明：4实数满足什么条件时，多项式能够整除多项式5设F是一个数域，证明：整除6考虑有理数域上多项式这里和都是非负整数证明：7证明：整除必要且只要整除§2.3 多项式的最大公因式1.      计算以下各组多项式的最大公因式：( i ) (ii) 2.      设证明：若且和不全为零，则反之，若则是

6、与的一个最大公因式3.      令与是的多项式，而是中的数，并且证明：4证明：（i）是和的最大公因式；（ii）此处等都是的多项式。5设都是有理数域Q上的多项式。求使得6设令是任意正整数，证明：由此进一步证明，对于任意正整数，都有7设证明：   8证明：对于任意正整数都有9证明：若是与互素，并且与的次数都大于0，那么定理里的与可以如此选取，使得的次数低于的次数，的次数低于的次数，并且这样的与是唯一的。10决定，使与的最大公因式是一次的。11证明：如果那么对于任意正整数，12设是数域F上的多项式。与的最小公倍式指的是Fx中满足

7、以下条件的一个多项式：且；如果Fx且，那么证明：Fx中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式的差别外，是唯一的。设都是最高次项系数是1的多项式，令表示和的最高次项系数是1的那个最小公倍式。证明13设并且证明：14设证明：互素的充要条件是存在多项式使得15设令比照定理，证明：有最大公因式提示：如果不全为零，取是I中次数最低的一个多项式，则就是的一个最大公因式 §2.4 多项式的分解 1.      在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：2.      分别在复数域

8、，实数域，有理数域上分解多项式为不可约因式的乘积. 3.      证明：当且仅当4.      求在内的典型分解式；求在内的典型分解式5.证明：数域F上一个次数大于零的多项式是中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意或者或者存在一个正整数使得6设是中一个次数大于零的多项式.如果对于任意只要就有或那么不可约. §2.5 重因式 1.      证明下列关于多项式的导数的公式：2.    &

9、#160; 设是的导数的重因式.证明：未必是的重因式；是的重因式的充分且必要条件是3. 证明有理系数多项式没有重因式. 4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？5. 证明：数域F上的一个次多项式能被它的导数整除的充分且必要条件是，这里的是F中的数。§2.6 多项式函数多项式的根1设 ,求 . 2数环R的一个数说是的一个重根,如果可以被整除,但不能被整除.判断5是不是多项式的根.如果是的话,是几重根? 3设求 提示:应用综合除法 4将下列多项式表成的多项式. ; . 5求一个次数小于4的多项式 ,使6求一个2次多项式,使它在处与函数有相同的值. 7令是两个多项式,并且

10、可以被整除. 证明8令是一个复数,并且是中一个非零多项式的根,令证明:在J中存在唯一的最高次项系数是1的多项式 ,使得中每一多项式都可以写成的形式,这里 .在中不可约. 如果 ,求上述的提示:取是J中次数最低的、最高次项系数是1的多项式. 9设中多项式且 ,是一个大于1的整数. 证明:的根只能是零或单位根. 提示:如果是的根,那么都是的根. §2.7 复数和实数域上多项式1设次多项式的根是 .求以为根的多项式,这里是一个数。（ii）以,(假定都不等于零)为根的多项式.2设是一个多项式,用表示把的系数分别换成它们的共轭数后所得多项式.证明: 若是g,那么 ; 若是是和的一个最大公因式,

11、并且的最高次项系数是1,那么是一个实系数多项式). 3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式. 4在复数和实数域上,分解为不可约因式的乘积. 5证明:数域F上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根. §2.8 有理数域上多项式1证明以下多项式在有理数域上不可约: ; ; . 2利用艾森斯坦判断法,证明:若是是个不相同的素数而是一个大于1的整数,那么是一个无理数. 3设是一个整系数多项式.证明:若是和都是奇数,那么不能有整数根.4求以下多项式的有理根: ; ; .  §3. 线性方程组和行列式 1计算下列排列的反序数：523146879；2假设n个数

12、码的排列的反序数是k,那么排列的反序数是多少？3写出4个数码的一切排列§3.3 阶行列式 1确定六阶行列式 D=中以下各乘积的符号：2写出下列四阶行列式中一切带有负号且含元素的项。3证明：阶行列式4考察下列行列式：，其中是这个数码的一个排列。这两个行列式间有什么关系？5计算阶行列式6计算行列式7证明：行列式8设在阶行列式中，§3.4 子式和代数余式 行列式的依行依列展开 1把行列式依第三行展开，然后加以计算 2计算以下行列式:   提示：把第一列的元素看成两项的和，然后把行列式拆成两个行列式的和。3令计算行列式。§3.5 克拉默规则 1解以下线

13、性方程组：2设是个不同的数, 是任意个数,而多项式有以下性质: , .用线性方程组的理论证明, 的系数是唯一确定的,并且对的情形导出拉格朗日插值公式. 3设 .用线性方程组的理论证明,若是有个不同的根,那么是零多项式. §4.1 消元法 1解以下线性方程组：2证明：对矩阵施行第一种行初等变换相当于对它连续施行若干次第二和第三种行初等变换。3设阶行列式0. 证明：用行初等变换能把行列矩阵化为。4证明：在前一题的假设下，可以通过若干次第三种初等变换把化为§4.2 矩阵的秩线性方程组可解的判别法1对第一和第二种行初等变换证明定理2利用初等变换求下列矩阵的秩：3证明：一个线性方程组

14、的增广矩阵的秩比系数矩阵的秩最多大14证明：含有个未知量个方程的线性方程组有解的必要条件是行列式这个条件不是充分的，试举一反例5有解？6取怎样的数值时，线性方程组有唯一解，没有解，有无穷多解？§4.3 线性方程组的公式解 1考虑线性方程组：这里23设线性方程组：（9）有解，并且添加一个方程：于方程组（9）所得的方程组与（9）同解证明：添加的方程是（9）中个方程的结果4设齐次线性方程组的系数行列式，而中某一元素的代数余子式证明：这个方程组的解都可以写成的形式,此处k是任意数. 5设行列式令是元素的代数余子式.证明:矩阵的秩第五章 矩 阵 §5.1 矩阵的运算 1计算；2证明，

15、两个矩阵A与B的乘积AB的第i行等于A的第i行右乘以B，第j列等于B的第j列左乘以A3可以按下列步骤证明矩阵的乘法满足结合律：(i) 设B=()是一个np矩阵令=是B的第j列，j=1,2,p又设是任意一个p1矩阵证明：B=(ii)设A是一个mn矩阵利用(i)及习题2的结果，证明：A(B)=(AB)(iii)设C是一个pxq矩阵利用(ii)，证明： A(BC)=(AB)C4设A=证明：当且仅当B=时，AB=BA。5令是第i 行第j列的元素是1而其余元素都是零的n阶矩阵求6求满足以下条件的所有n阶矩阵A (i)i,j=1,2,n, (ii)AB=BA ；这里B是任意n阶矩阵。7举例证明，当AB=A

16、C时，未必B=C8证明，对任意n阶矩阵A和B，都有AB-BAI提示，考虑AB-BA的主对角线上的元素的和 9令A是任意n阶矩阵，而I是n阶单位矩阵，证明：()()=10.对任意n阶矩阵A，必有n阶矩阵B和C，使A=B+C，并且§5.2 可逆矩阵矩阵乘积的行列式 1设对5阶矩阵实行以下两个初等变换：把第二行的3倍加到第三行，把第二列的3倍加到第三列，相当于这两个初等变换的初等矩阵是什么？2证明：一个可逆矩阵可以通过列初等变换化为单位矩阵3求下列矩阵的逆矩阵：4设 A是一个n阶矩阵，并且存在一个正整数m使得(i) 证明可逆，并且(ii)求下列矩阵的逆矩阵。5设证明，总可以表成和型初等矩阵

17、的乘积6令是n阶矩阵的伴随矩阵，证明(区别detA0和detA=0两种情形) 7设A和B都是n阶矩阵证明，若AB可逆,则A和B都可逆8设A和B都是n阶矩阵证明，若AB=I,则A和B互为逆矩阵9证明，一个n阶矩阵A的秩1必要且只要A可以表为一个n1矩阵和一个1n矩阵的乘积 10.证明：一个秩为r的矩阵总可以表为r个秩为1的矩阵的和 11设A是一个nn矩阵，都是n1矩阵用记号表示以代替A的第i列后所得到的矩阵 (i)线性方程组可以改写成I是n阶单位矩阵(ii)当detA0时，对(i)中的矩阵等式两端取行列式，证明克拉默规则§5.3 矩阵的分块 *1求下面矩阵的逆矩阵2设A，B都是n阶矩阵

18、，I是n阶单位矩阵，证明3设都是n=r+s阶矩阵，而是一个n阶矩阵，并且与S,T有相同的分法求SA,AS,TA和AT.由此能得出什么规律？4证明，2n阶矩阵总可以写成几个形如的矩阵的乘积5设是一个对角线分块矩阵证明: 6证明，n阶矩阵的行列式等于(detA)(detB) 7设A,B,C,D都是n阶矩阵，其中detA0并且AC=CA，证明第六章 向量空间 §6.1 定义和例子 1令F是一个数域，在F3里计算（i）（2，0，-1）+（-1，-1，2）+（0，1，-1）；（ii）5（0，1，-1）-3（1，2）+（1，-3，1）2证明：如果a（2，1，3）+ b（0,1,2）+ c（1，-

19、1，4）=（0，0，0），那么a = b = c = 03找出不全为零的三个有理数a，b，c（即a，b，c中至少有一个不是0），使得a (1，2，2) + b（3，0，4）+ c (5，-2，6) = （0，0，0）4令1 = （1，0，0），2 = （0，1，0），3 =（0，0，1）证明，R3中每个向量可以唯一地表示为 = a11 + a22 + a33 的形式，这里a1，a2，a3 R5证明，在数域F上向量空间V里，以下算律成立：（i）a () = a- a； (ii) (a- b) = a- b, 这里a，bF ，,V6证明：数域F上一个向量空间如果含有一个非零向量，那么它一定含有无限

20、多个向量7证明，对于任意正整数n 和任意向量，都有 n=+8证明，向量空间定义中条件3º，8）不能由其余条件推出9验证本节最后的等式：（1，n）(AB) =（1，n）A）B    §6.2子空间 1判断R n中下列子集哪些是子空间：(i)                  （a1，0，0，an）| a1，anR；(ii)     

21、0;          （a1 ，a2 ，an ）| ai =0；(iii)               （a1 ，a2 ，an ）| ai =1；(iv)              （a1 ，a2 ，an ）| ai Z，i = 1，n.

22、 2Mn (F)表示数域F上一切n阶矩阵所组成的向量空间（参看6.1，例2）令S= AMn (F) |A= A，T= AMn (F) |A= A证明，S和T都是 Mn (F)的子空间，并且Mn(F) = S + T，S T=03设W1，W2是向量空间V的子空间，证明：如果V的一个子空间既包含W1又包含W2，那么它一定包W1 +W2在这个意义下，W1+W2是V的既含W1又含W2的最小子空间4设V是一个向量空间，且V0证明：V不可能表成它的两个真子空间的并集5设W，W1，W2都是向量空间V的子空间，其中W1W2且WW1=WW2，W + W1=W + W2.证明：W1=W26设W1，W 2是数域F上

23、向量空间V的两个子空间，,是V的两个向量，其中W2，但W1，又W2，证明：（i）                   对于任意kF,+kW2；（ii）                 至多有一个kF，使得+kW1 7设W1，W2，Wr 是向量空间V的子空间，且

24、Wi V，i=1，r.证明：存在一个向量V，使得Wi， i=1，r提示：对r作数学归纳法并且利用第6题的结果 §6.3 向量的线性相关性 1.下列向量组是否线性相关: (i)（3，1，4），（2，5，-1），（4，-3，7）；(ii) （2，0，1），（0，1，-2），（1，-1，1）；(iii) （2，-1，3，2），（-1，2，2，3），（3，-1，2，2），（2，-1，3，2）2证明，在一个向量组里，如果有两个向量与成比例，即=k，那么线性相关3令。证明线性相关必要且只要行列式 = 04设，线性无关对每一个任意添上p个数，得到的m个向量证明1，2 ，m也线性无关5设线性无关，证

25、明也线性无关6设向量组 (线性无关，任取证明，向量组线性无关7下列论断哪些是对的，哪些是错的，如果是对的，证明；如果是错的，举出反例：(i) 如果当，那么线性无关(ii) 如果线性无关，而不能由线性表示，那么，也线性无关(iii) 如果线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合(iv) 如果线性相关，那么其中每一个向量都是其余向量的线性组合8设向量可以由表示，但不能由线性表示证明，向量组与向量组，等价9设向量组中并且每一都不能表成它的前个向量的线性组合证明线性无关10设向量线性无关，而，线性相关，证明，或者与中至少有一个可以由线性表示，或者向量组，与，等价§6.4 基和维数

26、 1令Fn x表示数域F上一切次数n的多项式连同零多项式所组成的向量空间这个向量空间的维数是几？下列向量组是不是F3x的基： (i)x3+1，x+1，x2+x，x3+x2+2x+2； (ii)x-1，1-x2，x2+2x-2，x3. 2求下列子空间的维数：（i）L ( (2，-3，1)，（1，4，2），（5，-2，4）)R3 (ii) L(x-1，1-x2，x2-x)Fx；(iii) L(ex，e2x，e3x)C a，b. 3把向量组（2，1，-1，3），（-1，0，1，2）扩充为R4的一个基4令S是数域F上一切满足条件A=A的n阶矩阵A所成的向量空间，求S的维数5证明，复数域C作为实数域R上

27、向量空间，维数是2如果C看成它本身上的向量空间的话，维数是几？6证明定理的逆定理：如果向量空间V的每一个向量都可以唯一地表成V中向量的线性组合，那么dimV = n. 7设W是R n 的一个非零子空间，而对于W的每一个向量（a1，a2，an）来说，要么a1 = a2= = an = 0，要么每一个ai都不等于零，证明dimW = 18设W是n维向量空间V的一个子空间，且0< dimW < n证明：W在V中有不只一个余子空间9证明本书最后的论断§6.5坐标 1设1 ，2，n是V的一个基求由这个基到2 ，n，1的过渡矩阵2证明，x3，x3+x，x2+1，x+1是F3 x（数域

28、F上一切次数3的多项式及零）的一个基求下列多项式关于这个基的坐标：（i）x2+2x+3；（ii）x3；（iii）4；（iv）x2-x3设1 =(2，1，-1，1)，2=（0，3，1，0），3=（5，3，2，1），4=（6，6，1，3）证明1 ，2，3，4 作成R4的一个基在R4中求一个非零向量，使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同4设1 =(1，2，-1)，2=（0，-1，3），3=（1，-1，0）；1=（2，1，5），2=（-2，3，1），3=（1，3，2）证明1 ，2，3 和1，2 ，3都是R3的基求前者到后者的过渡矩阵5设1 ，2，n是F上n维向量空间V的一个基A是F上一个ns矩阵

29、令 (1，2 ，s)=(1 ，2，n)A证明 dimL(1，2 ，s)=秩A §6.6 向量空间的同构 1证明,复数域C作为实数域R上向量空间,与V2同构2设是向量空间V到W的一个同构映射,V1是V的一个子空间.证明是W的一个子空间3证明:向量空间可以与它的一个真子空间同构§6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 1证明：行列式等于零的充分且必要条件是它的行（或列）线性相关2证明，秩（A+B）秩A+秩B3设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B证明，秩Br+s m4设A是一个mn矩阵，秩A=r从A中任意划去ms行与nt列，其余元素按原

30、来位置排成一个st矩阵C，证明，秩Cr+s+tmn5求齐次线性方程组x1 + x2 + x3 + x4 + x5=0，3x1 +2x2 + x3 +x4 3x5=0，5x1 + 4 x2 + 3x3 +3x4x5=0，x2 + 2x3 + 2x4+ x5=0的一个基础解系6证明定理的逆命题：Fn的任意一个子空间都是某一含n个未知量的齐次线性方程组的解空间7证明，Fn的任意一个Fn的子空间都是若干n1维子空间的交第七章 线性变换 §7.1 线性映射 1令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量下列映射哪些是R3到自身的线性映射？（1）() =+ ，是R3的一个固定向量（2）() = (2

31、x1x2 + x3，x2 + x3，x3) （3）() =（x12，x22，x32）（4）() =（cosx1，sinx2，0）2设V是数域F上一个一维向量空间证明V到自身的一个映射是线性映射的充要条件是：对于任意V，都有() = a，这里a是F中一个定数3令Mn (F) 表示数域F上一切n阶矩阵所成的向量空间取定AMn(F).对任意XMn (F)，定义(X) = AXXA(i)                  证明：是Mn

32、 (F)是自身的线性映射。(ii)                证明：对于任意X，YMn (F)，(XY) = (X)Y+X(Y) 4令F4表示数域F上四元列空间，取A=对于F4，令() = A求线性映射的核和像的维数5设V和W都是数域F上向量空间，且dimV = n令是V到W的一个线性映射我们如此选取V的一个基：1，s，s+1，n，使得1，s，是Ker()的一个基证明：（i）(s+1)，(n)组成Im()的一个基；（ii）dim Ker()

33、+ dim Im() = n.。6设是数域F上n维向量空间V到自身的一个线性映射W1，W2是V的子空间，并且V = W1W2证明：有逆映射的充要条件是V = (W1)(W1) §7.2 线性变换的运算 1举例说明，线性变换的乘法不满足交换律2在Fx中，定义：f (x) f(x) ，：f (x) xf (x) ，这里f(x)表示f(x)的导数证明, ,都是Fx的线性变换，并且对于任意正整数n都有nn = nn-13设V是数域F上的一个有限维向量空间证明，对于V的线性变换来说，下列三个条件是等价的：（i）是满射； (ii)Ker() = 0; (iii) 非奇异当V不是有限维时，(i)，

34、(ii)是否等价？4设L (V)，V，并且，()，k-1()都不等于零，但k() = 0证明：，()，k-1() 线性无关5L (V) 证明(1) Im()Ker()当且仅当2 = ；(2)   Ker()Ker(2)Ker(3)；(3)   Im()Im(2)Im(3)6设Fn = (x1，x2，xn ) | xiF 是数域F上n 维行空间定义(x1，x2，xn ) = (0，x1，xn-1 ) (i) 证明：是Fn的一个线性变换，且n = ；(ii) 求Ker()和Im() 的维数§7.3 线性变换和矩阵 1令Fnx表示一切次数不大于n的多

35、项式连同零多项式所成的向量空间，：f (x) f(x) ，求关于以下两个基的矩阵：(1) 1，x ，x2，xn，(2) 1，xc，cF2设F上三维向量空间的线性变换关于基 1，2，3的矩阵是求关于基1 = 21 +32 +3，2 = 31 +42 +3，3 = 1 +22 +23，的矩阵设= 21 +23求()关于基1，2，3的坐标3设1，2，n是n维向量空间V的一个基j = ，= ，j = 1，2，n，并且1，2，n线性无关又设是V的一个线性变换，使得(j) = ，j = 1，2，n，求关于基，的矩阵4设A，B是n阶矩阵，且A可逆，证明，AB与BA相似5设A是数域F上一个n阶矩阵，证明，存在

36、F上一个非零多项式f (x)使得f (A) = 06证明，数域F上n维向量空间V的一个线性变换是一个位似（即单位变换的一个标量倍）必要且只要关于V的任意基的矩阵都相等7令Mn (F)是数域F上全休n阶矩阵所成的向量空间取定一个矩阵AMn(F) 对任意XMn (F)，定义(X) = AXXA由7.1习题3知是Mn (F)的一个线性变换，设A =是一个对角形矩阵证明，关于Mn (F)的标准基Eij |1(见6.4，例5)的矩阵也是对角形矩阵，它的主对角线上的元素是一切aiaj(1).建议先具体计算一下n = 3的情形 8设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换证明，总可以如此选取V的两个基1，2，

37、n和1，2，n，使得对于V的任意向量来说，如果=，则() =，这里0是一个定数。提示：利用7.1，习题5选取基1，2，n §7.4 不变子空间 1设是有限维向量空间V的一个线性变换，而W是的一个不变子空间，证明，如果有逆变换，那么W也在-1之下不变2设是向量空间V的线性变换，且证明Im()和Ker()都在之下不变3是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件2 =证明：(i) Ker() = ；(ii)V = Ker()Im()；(iii)如果是V的一个线性变换，那么Ker()和Im()都在之下不变的充要条件是4设是向量空间V的一个位似（即单位变换的一个标量倍）证明，V的每一个子

38、空间都在之下不变5令S是数域F上向量空间V的一些线性变换所成的集合V的一个子空间W如果在S中每一线性变换之下不变，那么就说W是S的一个不变子空间S说是不可约的，如果S在V中没有非平凡的不变子空间，设S不可约，而是V的一个线性变换，它与S中每一线性变换可交换。证明或者是零变换，或者是可逆变换提示：令W = Ker .证明W是要的一个不变子空间 §7.5 本征值和本征向量 1求下列矩阵在实数域内的特征根和相应的特征向量：(i) ； (ii) ；(iii) 2证明：对角形矩阵与相似必要且只要b1，b2，bn是a1，a2，an的一个排列3设 A = 是一个实矩阵且adbc = 1 证明：(i

39、) 如果| trA |>2，那么存在可逆实矩阵T，使得T-1AT = 这里且，1，-1(ii) 如果| trA | = 2且A，那么存在可逆实矩阵T，使得T-1AT = 或 .(iii) 如果| trA | < 2则存在可逆实矩阵T及，使得T-1AT = 提示 在(iii)，A有非实共轭复特征根 =1.将写成三角形式令是A的属于的一个特征向量，计算A和A4设a，b，c令A=，B=，C=(i) 证明，A，B，C彼此相似；(ii) 如果BC=CB，那么A，B，C的特征根至少有两个等于零5设A是复数域C上一个n阶矩阵 (i) 证明：存在C上n阶可逆矩阵T使得T-1AT =(ii) 对n作

40、数学归纳法证明，复数域C上任意一个n阶矩阵都与一个“上三角形”矩阵相似，这里主对角线以下的元素都是零6设A是复数域C上一个n阶矩阵，是A的全部特征根（重根按重数计算）(i) 如果f (x)是C上任意一个次数大于零的多项式，那么f (是f(A)的全部特征根(ii) 如果A可逆，那么，并且是A-1的全部特征根7令A = 是一个n阶矩阵。(i) 计算(ii) 求A的全部特征根8是任意复数，行列式D = 叫做一个循环行列式，证明： D = ，这里，而是全部n次单位根提示：利用6.7两题的结果 9设A，B是复数域上n阶矩阵证明，AB与BA有相同的特征根，并且对应的特征根的重数也相同提示：参看5.3习题2

41、 §7.6 可以对角化的矩阵 1检验7.5习题1中的矩阵哪些可以对角化如果可以对角化，求出过渡矩阵T2设，求A103设是数域F上n维向量空间V的一个线性变换令是的两两不同的本征值，是属于本征值的本征子空间证明，子空间的和是直和，并在之下不变4数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做一个对合变换，如果2 =,是单位变换，设是V的一个对合变换，证明: (i) 的本征值只能是；(ii) V = V1，这里V1是的属于本征值1的本征子空间，V是的属于本征值 1 的本征子空间提示：设 5数域F上一个n 阶矩阵A叫做一个幂等矩阵，如果 ,设A是一个幂等矩阵.证明：(i)I + A 可逆，并且求

42、(ii)秩A + 秩 提示：利用7.4，习题3 (ii) 6数域F上n维向量空间V的一个线性变换叫做幂零的，如果存在一个自然数m使m = 0.证明：(i) 是幂零变换当且仅当它的特征多项式的根都是零；(ii) 如果一个幂零变换可以对角化，那么一定是零变换7设V是复数域上一个n维向量空间，S是V的某些线性变换所成的集合，而是V的一个线性变换，并且与S中每一线性变换可交换，证明，如果S不可约 (参看7.4，习题5)，那么一定是一个位似 提示：令是的一个本征值，考虑的属于的本征子空间，并且利用7.4，习题5的结果 8设是数域F上n维向量空间V的一个可以对角化的线性变换，令是的全部本征值证明，存在V的

43、线性变换，使得(i) ；(ii) (iii) (iv) (v) 的属于本征值的本征子空间，9令V是复数域C上一个n维向量空间，是V的线性变换，且(i) 证明，的每一本征子空间都在之下不变；(ii) 与在V中有一公共本征向量第八章 欧氏空间和酉空间 §8.1向量的内积1证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量 ,以下等式成立: (1)；(2)在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2在区氏空间里,求向量与每一向量,的夹角. 3在欧氏空间里找出两个单位向量,使它们同时与向量中每一个正交. 4利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形5设是一

44、个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: (勾股定理) 6设都是一个欧氏空间的向量,且是的线性组合.证明,如果与正交, ,那么 . 7设是欧氏空间的个向量.行列式叫做的格拉姆(Gram)行列式.证明 =0,必要且只要线性相关. 8设是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: 和都是的整数. 证明:的夹角只可能是 . 9.证明:对于任意实数 , ). §8.2 正交基1已知,，,是的一个基.对这个基施行正交化方法,求出的一个规范正交基2在欧氏空间里,对于线性无关的向量级1, , , 施行正交化方法,求出一个规范正交组3令是欧氏空间V的一组线性无关的向量,是由这组向量通过正交化方法所得的正交

45、组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即4令是维欧氏空间V的一个规范正交基,又令K叫做一个 -方体.如果每一都等于0或1,就叫做K的一个项点.K的顶点间一切可能的距离是多少? 5设是欧氏空间V的一个规范正交组.证明,对于任意 ,以下等式成立: . 6设V是一个维欧氏空间.证明如果W是V的一个子空间,那么 . 如果都是V的子空间,且 ,那么如果都是V的子空间,那么7证明,中向量到平面的最短距离等于8证明,实系数线性方程组有解的充分且必要条件是向量与齐次线性方程组的解空间正交. 9令是维欧氏空间V的一个非零向量令称为垂直于的超平面,它是V的一个维子空间.V中有两个向量 ,说是位于的同侧,如果同

46、时为正或同时为负.证明,V中一组位于超平面同侧,且两两夹角都的非零向量一定线性无关提示:设是满足题设条件的一组向量.则 ,并且不妨设 .如果 ,那么适当编号,可设 , ,令 ,证明 .由此推出. 10设U是一个正交矩阵.证明: U的行列式等于1或-1; U的特征根的模等于1; 如果是U的一个特征根,那么也是U的一个特征根; U的伴随矩阵也是正交矩阵. 11.设 ,且. 证明,可逆,并且12.证明:如果一个上三角形矩阵是正交矩阵,那么A一定是对角形矩阵,且主对角线上元素是1或-1. §8.3正交变换1证明:维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变

47、换. 2设是维欧氏空间V的一个正交变换.证明:如果V的一个子空间W在之下不变,那么W的正交补也在下不变. 3设V是一个欧氏空间,是一个非零向量.对于 ,规定. 证明,是V的一个正交变换,且 ,是单位变换. 线性变换叫做由向量所决定的一个镜面反射.当V是一个维欧氏空间时,证明,存在V的一个标准正交基,使得关于这个基的矩阵有形状: 在三维欧氏空间里说明线性变换的几何意义. 4设是欧氏空间V到自身的一个映射,对有证明是V的一个线性变换,因而是一个正交变换. 5设U是一个三阶正交矩阵,且 .证明: U有一个特征根等于1; U的特征多项式有形状，这里 . 6设和是维欧氏空间V的两个规范正交基. 证明:存在V的一个正交变换 ,使 . 如果V的一个正交变换使得 ,那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合. 7令V是一个维欧氏空间.证明: 对V中任意两不同单位向量 ,存在一个镜面反射 ,使得 . V中每一正交变换都可以表成若干个镜面反射的乘积. 提示:为了证明 ,利用和习题6. 8证明:每一个阶非奇异实矩阵A都可以唯一地表示成的形式,这里是一个正交矩阵,是一个上三角形实矩阵,且主对角线上元素都是正数. 提示:非奇异矩阵A的列向量作成维列空间的一个基.对这个基施行正交化,得出的一个规范正交基 ,以这个规范正交基为列的矩阵U是一个正交矩阵,写出由的表示式,就可以得出矩阵T.证明