高中数学联赛四川预赛试题及答案

1、2011年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）（5月15日下午14：3016：30）题 目一二三总成绩13141516得 分评卷人复核人考生注意：1、本试卷共三大题（16个小题），全卷满分140分. 2、用黑（蓝）色圆珠笔或钢笔作答. 3、计算器、通讯工具不准带入考场. 4、解题书写不要超过密封线.本题共有6小题，每题均给出（A）、（B）、（C）、（D）四个结论，其中有且仅有一个是正确的. 请将正确答案的代表字母填在题后的括号内. 每小题选对得5分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.一、选择题（本题满分30分，每小题5分）得 分评卷人 1、双曲线的左、右准线l1

2、、l2将线段F1F2三等分（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率等于A、 B、 C、 D、 【答】( )2、已知三次函数，), 命题：是上的单调函数；命题：的图像与轴恰有一个交点则是的（ ）A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 【答】( ) 3、甲、乙、丙三人一起玩“剪刀、石头、布”的游戏每一局甲、乙、丙同时出“剪刀、石头、布”中的一种手势，且是相互独立的设在一局中甲赢的人数为，则随机变量的数学期望的值为（ ）A、 B、 C、 D、1 【答】( )4、函数的最大值为（ ）A、 B、3 C、 D、 【答】( )5、如图，边长为2的正方

3、形ABCD和正方形ABEF所在的面成60角，M、N分别是线段AC和BF上的点，且，则线段MN的长的取值范围是A、 B、 C、 D、 【答】( ) 6、设数列为等差数列，数列满足：，若 ，则数列的公差为（ ）A、 B、1 C、2 D、4 【答】( )二、填空题（本题满分30分，每小题5分） 得 分本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上. 评卷人 7、已知实数满足，则的取值范围是 8、设平面内的两个非零向量与相互垂直，且，则使得向量与互相垂直的所有实数之和为 9、记实数等比数列的前项和为，若，则 10、设为实数，定义为不小于的最小整数，例如，关于实数的方程的全部实根之和等于 11、已知，其中为整

4、数，则 12、已知三棱锥S-ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且SA=SB=SC=AB=2,设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 三、解答题（本题满分80分，每小题20分）得 分评卷人 13、已知，若函数的最大值为，求的最小值得 分评卷人 14、已知函数在有最大值5，求实数的值得 分评卷人 15、抛物线与过点的直线交于、两点（I）求直线的斜率的取值范围；(II) 求在线段上满足条件的点的轨迹方程得 分评卷人 16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立求证：当取到最大值时，对任何正整数都有2011年高中数学联赛四川区初赛试题参

5、考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)1、B 2、A 3、C 4、C 5、B 6、D 二、填空题（本大题满分30分，每小题5分） 7、 8、1 9、150 10、 11、 12、 三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13、已知，若函数的最大值为，求的最小值解：令，则， （5分）

6、，当时，有最大值，即 （10分）， （15分）等号当且仅当时成立，当时，有最小值10 （20分）14、已知函数在有最大值5，求实数的值 解： （5分）令，则，从而 （10分）令，由题意知在有最大值5.当时，在时有最大值5，故符合条件； （15分）当时，矛盾！当时，矛盾！综上所述，所求的实数 （20分）15、抛物线与过点的直线交于、两点（I）求直线的斜率的取值范围；(II) 求在线段上满足条件的点的轨迹方程解：（I）直线的方程为，与抛物线方程联立得，消去得，即，由，解得或 （5分）（II）设点坐标为，点坐标为，点坐标为，则，又、都在直线上，所以有，由得化简得 （10分）又，点在线段上，所以同号则因此 ， ，由得代入得,即， （15分）又因为或，所以的取值范围是且，因此点的轨迹方程是（且） （20分）16、已知为实数，数列的前项和为，满足：，且对任何的正整数恒成立求证：当取到最大值时，对任何正整数