高等数学下复习题20166有答案

1、 高数（下）复习题（2016.6）1、已知两点，求向量与x，y，z轴三个方向的方向余弦。（，）2、设三角形两邻边为，求该三角形的面积。（）3、在空间直角坐标系中，方程组代表怎样的图形。（平面上以点（0，0，4）为圆心，2为半径的圆周）4、设两平面与相互垂直，求k的值。（k =10）5、求两直线与的夹角。（）6、（1）设，求；（2）设，求。解：（1），；，所以，从而。（2），；，；，。7、（1）已知方程，求，；（2）求由方程所确定的隐函数的全微分。解：（1）两边对求导，得，所以，同理。（2）设，则，所以，于是8、设，其中具有二阶连续偏导数，求，。解：；9、求曲面在点（1，2，0）处的切平面和法线

2、方程。解：设，则，于是，所以切平面方程为即；法线方程为。10、求函数在点P（1，-1，2）处沿什么方向的方向导数最大，并求方向导数的最大值。解：，所以，在P点的梯度为，沿梯度方向的方向导数最大，最大值为。11、求在条件下的极小值。解：设，分别令 ，得到，再由，可得，这是唯一驻点，由问题的性质可知，当时，取得极小值，极小值为。12、欲造一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米元，侧面造价为每平方米元，现用元造一个容积最大的水池，求它的尺寸。（条件极值法计算）(练习册P42，Ex40)解：设长方体的长、宽、高分别为、，则问题为在条件下求的最大值。令，由，得，这是唯一驻点，由问题的性质可知，即当

3、长方体的长、宽为，高为时，长方体的体积最大。13、计算二重积分：，。解：。14、（1）交换二重积分的次序：；（2）计算。答：（1）；（2）15、计算二重积分，其中为所围成的闭区域。解：=。16、指出二重积分的几何意义，其中，并求出其值。答：以（0，0）为球心，为半径的上半个球球体的体积，。16、计算由曲面及所围成的立体的体积。（二重积分、三重积分两法都要会）(练习册P48，Ex21)解：方法一（用二重积分计算），其中为曲面及所围成的空间在平面上的投影，容易求得，用极坐标可表示为，所以。方法二（用三重积分计算），其中为曲面及所围成的空间，在平面上的投影，可表示为，用柱坐标表示为，。18、计算三重

4、积分，其中是由曲面及所围成的闭区域。解：用柱坐标计算，在平面上的投影，可表示为，于是。练习册P47，Ex1719、求出当满足什么条件时，收敛，并指出何时绝对收敛，何时条件收敛。答：，。20、求幂级数的收敛半径和收敛域。练习册P57，Ex6(4)解：，收敛半径。当，即时，级数为，是交错级数，收敛；当，即时，级数为，是的级数，发散，所以原级数的收敛域为。21、求幂级数的收敛区间与和函数。解：由，得，所以收敛半径为1；当时，有。即（）。22、将函数展开成的幂级数。解：，所以。其中，即，。即，。23、将函数展开成的幂级数。解：，因为，所以，。24、求微分方程的通解。练习册P59，Ex1（3）解：原方程

5、可转化为，两边积分得，即，所以原方程的通解为。25、求微分方程满足的特解。解：原方程为齐次方程，设，则原方程可转化为，即，解之得，即，由得，所以原方程满足初始条件的特解为。26、求微分方程满足的特解。解：原方程可转化为，这是一阶线性微分方程。由得；设，代入原方程得，即原方程的通解为，又由得，所以微分方程满足的特解为。27、求微分方程的通解。解：，即，（）；由，得，所以；显然不是的根，所以可设，代入原方程比较系数得，即，所以原方程的通解为。28、写出微分方程的一个特解形式。练习册P62，Ex10(5)解：由得，即，所以；又，即，显然是特征方程的根，可设，代入原方程，比较系数得，即。29、 已知，是（、是常数）的两个特解。 （1）求、。（2）求方程的通解，并求满足，的特解。解：（1）因为，是方程的两个特解，所以是其对应的特征议程的二个根，从而，；（2）方程通解为，由，得，即，所以方程满足初始条件的特解为。30、设函数连续，且满足，求。解：由于连续，所以和可导，从而可导，并且；对两边求导得：，即，并且；两边继续求导，可得，设，就有，