高等代数中的问题大学毕业论文

1、 毕 业 论 文 论文题目： 高等代数中的问题 系 别 数学系 专 业 数学教育 班 级 10数教（1）班 学 号 131002005 姓 名 镡小弛 指导教师 连玉平 2013年5月15 日定西师范高等专科10级学校数学系毕业论文开题报告专业班级: 数学教育一班 姓名:镡小弛 指导教师:连玉平一 论文题目: 高等代数中的问题二 选题依据:高等代数是代数学发展到高级阶段的总称，它包括许多分支。现在大学里开设的高等代数，一般包括两部分：线性代数初步 、多项式代数。三 相关理论研究综述:高等代数在初等代数的基础上研究对象进一步的扩充，引进了许多新的概念以及与通常很不相同的量，比如最基本的有集合、向

2、量和向量空间等。这些量具有和数相类似的运算的特点，不过研究的方法和运算的方法都更加繁复。四 研究方法:本文尝试在对高等代数基础知识的掌握，高等代数中一些常见的问题，对矩阵的探讨这三个方面作一些较深入的整理和研究以加深对代数的工具性作用的认识五 论文结构: 一、摘要 二、化二次型为标准型 三、小结 四、参考文献六 撰写计划: 充分运用有关数学思想，寻求矩阵灵活多样的运算思路，深入挖掘题目中的隐含条件，寻找简捷的运算途径。在矩阵运算中，学生思维受阻的一个重要原因往往是对矩阵的基本知识及其算法缺少整体的把握，所以在运算求解时应引导学生实现矩阵运算形式相互间的有效转换。运用转化方程的数学思想，去解决高

3、等代数中一些常见的问题。目 录摘要：3关键词：3一、消元法3（一）、n维向量及其性质的引入51n维向量的引入52n维向量运算的引入5（二）、线性相关性的引入61线性组合的引入62线性相关与线性无关的引入7（三）、极大线性无关组与秩的引入81极大线性无关组的引入82秩的引入9（四）、矩阵的引入91矩阵与矩阵的秩92矩阵的运算10（五）消元法的回归11二、化二次型为标准型12三、小结14四、参考文献14摘要：在学习高等代数的过程中，如果采用这样的方式，即提出问题，然后引出解决该问题的工具、引理、定理、推论来解决问题，并举一反三，就能更加深刻地理解高等代数相关知识、定理的内涵，并能够灵活运用。下面举

4、两个简单的例子。关键词：高等代数 推论 运用 一、消元法在线性方程组这一章中，我们讨论了一般线性方程组求解的问题。所谓一般线性方程组是指形式为 （1.1）的方程组，其中代表n个未知量，s是方程的个数，(i=1,2,s,j=1,2,n)称为方程组的系数，（j=1,2,s）称为常数项。我们解方程组（1.1）一般采用消元法。在中学里我们学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组，分析一下不难看出，它是通过对方程的不断变换，达到化简消元的目的。而所作的变换无非由以下三种基本变换组成：1 用一非零的数乘某一方程2 把一个方程的倍数加到另一个方程3 互换两个方程的位置这样的三个变换我们称之为线性方

5、程组的初等变换。事实上，消元法求解线性方程组比用行列式解方程组更具有普遍性。下面就先来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组。对于方程组（1.1），我们首先要讨论的系数。如果的系数,全为零，那么方程组（1.1）对没有任何限制，也就是说，可以取任意值。这样，方程组（1.1）就可以看作的方程组来解。如果的系数不全为零，不妨设，为了消元化简，分别地把第一个方程的倍加到第i个方程（i=2,s）。于是方程组（1.1）就变成了 （1.2）其中，i=2,s, j=2,n再对（1.2）中的第二个方程作如上初等变换，并一步一步地作下去，最后就得到一个阶梯形方程组。为了讨论方便，不妨设方程组为（1.3）其中, i=

6、1,2,r可见，消元的过程的就是反复进行初等变换的过程，实际上，初等变换总是把方程组变成同解的方程组。因此，我们通过一系列初等变换所得到的阶梯型方程组（1.3），与方程组（1.1）的解相同。所以我们得到：消元法是利用同解方程组的原理，把线性方程组化简成阶梯形方程组，再进行求解的方法。现考察（1.3）的解的情况 (1.3)中有方程, 而，这时不管取任何值都不能使它成为等式，因此（1.3）无解。 当是零或(1.3)中根本没有“”的方程时，分两种情况：1）。这时阶梯形方程组为（1.4）其中，i=1,2,n. 由最后一个方程开始，的值就可以逐个地唯一地确定了。此时，方程组（1.4）也就是方程组（1.1

7、）有唯一的解。2）. 这时阶梯形方程组为其中，i=1,2,r. 把它改写成（1.5）由此可见，任给一组值，就唯一地定出的值，也就是定出方程组（1.5）的一个解。由（1.5）我们可以把通过表示出来，这样一组表达式称为方程组（1.1）的一般解，而称为一组自由未知量。以上就是用一般消元法解线性方程组的整个过程，总体来说分两步，第一步是通过一系列初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，第二步则是对方程组解的讨论。在了解并掌握了消元法之后，进一步分析消元法的步骤和原理发现，线性方程组这一章当中许多内容都可以由消元法的每一步来引入。（一）、n维向量及其性质的引入1n维向量的引入消元法用于解线性方程组，线性方程

8、组是由多个方程组成。对于一个n元方程（2.1）为了方便研究，我们可以用一个n+1元有序数组来表示，这样的有序数组我们称之为向量，所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组。那么对于n元方程（2.2）我们可以用n+1维向量来表示。如果方程（2.1） 和方程（2.2）中的未知量系数和常数项都对应相等，此时它们表示同一个方程，那么向量和是相等的。因为我们得到：如果两个n维向量的对应分量都相等，就称这两个向量是相等的。2n维向量运算的引入之前我们已经介绍了初等变换，对一般线性方程组进行初等变换的过程，实际上体现的是方程之间的关系，研究方程之间的关系可以借助n维向量。因此，由初等变换我们

9、对应引入向量的运算。1） 用一非零的数乘某一方程向量的数乘运算设k为数域P中的数，用k乘以方程（2,1），得到新方程 （2.3）其对应的n+1维向量为，我们称之为向量=与数k的数量乘积，记为。2） 把一个方程的倍数加到另一个方程向量加法如果将方程（2.1）和方程（2.2）相加，就得到新方程（2.4）对应的向量为，我们称之为向量=，=的和，记为+。这样，通过引入向量的加法和数量乘法，我们可以得到有关向量的一些其它的概念和性质。=称为的负向量；+（）=称为零向量+=+(交换律)+=(结合律)消元法解线性方程组实际上体现的是方程组之间的关系，我们已经给出了向量的定义和运算法则，并知道方程组可以由向量

10、组来表示，因此，我们需要进一步来研究向量之间的关系。（二）、线性相关性的引入1线性组合的引入在消元法中，对线性方程组进行初等变换，即一次次将某一方程的倍数加到其它方程的过程，最终结果是化成阶梯形方程组。换言之，阶梯形方程组中的每一个n元方程，都是由原方程组中的方程变换得到的。设在方程组（1.1）中，每一个n元方程分别用,来表示， 在阶梯形方程组（1.3）中，每一个n元方程分别用,.,来表示，则有（3.1）在方程中，我们可以看到，每一个（i=2,3,n）都可以由以及对应的表示出来，而都可以表示通过代换表示成关于,的一个组合，因此（i=2,3,n）也可以表示成,的组合。我们得到：如果有数域P中的数

11、,使+（3.2）则向量称为向量组,的一个线性组合，我们也说可以经向量组,线性表出。进一步，如果向量组,每一个向量（i=1,2,t）都可以经向量组,线性表出，那么向量组,就称为可以经向量组,线性表出。对于线性方程组（1.1），引入向量, ,于是线性方程组（1.1）可以改写成向量方程（3.3）显然，线性方程组（1.1）有解的充分必要条件为向量可以表示成向量组, 的线性组合。最后，消元法是利用同解方程组的原理，对应向量而言，我们之前已经说明了每一个(i=1,2,n)，都可以由,线性表出，而由方程组（3.1）我们可以看出，每一个向量(i=1,2,n)，同样可以由线性表出，于是我们规定，如果两个向量组互

12、相可以线性表出，它们就称为等价。由等价的定义我们可以得出，等价有以下的性质：1）反身性：每一个向量组都与它自身等价。2）对称性：如果向量组, 与,等价，那么向量组,也与, 等价3）传递性：如果向量组, 与,等价，,与等价，那么向量组, 与等价。2线性相关与线性无关的引入对方程组（3.1），当时，我们得到在对应的阶梯形方程组中，存在“”的方程。这说明存在一组不全为零的数,，使得=,+=0（3.3）我们称向量组,是线性相关的。由于,不全为零，不妨设，由（3.3）我们可以得到= （3.4）于是得到线性相关的另一种定义方法，即如果向量组,(n)中有一个向量可以由其余向量线性表出，那么向量组,称为线性相

13、关的。在阶梯形方程组中，如果不存在“”的方程，那即不存在不全为零的数,，使得,+=0于是我们称向量组,线性无关。于是我们可以推出，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关，换个说法，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关。（三）、极大线性无关组与秩的引入1极大线性无关组的引入之前我们已经引入了向量组线性相关与线性无关的概念，当一个向量组中含有零向量时，这个向量组显然是线性相关的。对于阶梯形方程组（1.3），每一个n元方程分别用,.,来表示。1） 当方程组中不存在“”的方程时，向量组,.,线性无关，此时方程组中每一个方程都决定方程组的解，这样的方程称为有效方程

14、。2） 当方程组中存在“”的方程时，则向量组,.,线性相关，对于方程组的解而言，所有“”的方程是没有意义的，只需研究非“”的方程，也即研究有效方程。所以在表示阶梯形方程组的向量组,.,中，我们应该重点考察研究非零向量。不妨设向量组,.,中非零向量为,.,，则 ,.,为零向量。我们不难发现，向量组,.,有这样的特点：,.,线性无关从这个向量组中任意添加,.,中的一个向量，所得的部分向量组都线性相关。这样，我们便得到了极大线性无关组的定义：一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关。换句话说

15、，向量组的极大线性无关组等价于方程个数最少的有效方程组。对于情况1），向量组,.,线性无关，它的极大线性无关组就是这个向量组自身。2秩的引入用消元法解一般线性方程组，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“”（如果出现的话）去掉。如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解。在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解。可见，在有解的情况下，阶梯形方程组中有效方程的个数决定了线性方程组有唯一解还是无穷解。若将阶梯形方程组以向量的

16、形式表示，那么有效方程的个数就相当于极大线性无关组中所含向量的个数，我们称其为这个向量组的秩。因此，若向量组的秩r等于未知量的个数，那么方程组有唯一解；若向量组的秩r小于未知量的个数，那么方程组有无穷解。（四）、矩阵的引入1矩阵与矩阵的秩我们知道，一个n元方程可以由一个n+1维向量表示，一个线性方程组可以由多个向量表示出来，为了研究方便，我们把多个向量写成紧凑的形式，这样的形式称为矩阵。如果知道了一个线性方程组的全部系数，我们就得到了它的系数矩阵；如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，我们就得到了它的增广矩阵。例如方程组（1.1），其系数矩阵为增广矩阵为对于一个矩阵，我们可以把矩阵的每一

17、行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些行向量组成的。同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的。我们把矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩，把的列向量组的秩称为矩阵的列秩。对于方程组(1.3)，如果有方程, 而，那么对应增广矩阵的秩为r+1，系数矩阵的秩为r，方程组无解。如果是零或(1.3)中根本没有“”的方程，对应增广矩阵的秩和系数矩阵的秩都为r。r=n时，方程有唯一解，rn时，方程有无穷多个解2矩阵的运算我们已经引入了矩阵，现在来讨论矩阵之间的关系矩阵的运算。设A=B=1）矩阵的加法当两个矩阵的行数、列数分别相等时，我们可以定义矩阵的加法。它的法则是将对应元素相加，

18、即：C=A+B=显然，矩阵的加法满足结合律：A+(B+C)=(A+B)+C交换律：A+B=B+A-A=称为A的负矩阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。2）矩阵的数量乘法如果用数k乘矩阵A，我们得到kA=我们称之为矩阵A=与数k的数量乘积，它满足如下性质： 3)矩阵的乘法已知两个矩阵，当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，我们可以定义矩阵的乘法。设A=，B=，那么矩阵C=其中=称为A与B的乘积，记为C=AB，矩阵的乘法不适合交换律。4）转置矩阵设矩阵则矩阵称为矩阵A的转置矩阵。一个矩阵的转置矩阵的转置矩阵还是它本身，即。可见，一个矩阵与它的转置矩阵互为转置矩阵。转置矩阵满足：这样，我们就把线性方

19、程组与矩阵完全对应起来，消元法的每一步也可以由矩阵的形式来进行。（五）消元法的回归1） 化阶梯形方程组化阶梯形矩阵将一般线性方程组（1.1）用它的增广矩阵表示出来，即由于线性方程组对应矩阵，因此线性方程组的初等变换对应矩阵的行初等变换。即：1用一非零的数乘矩阵的某一行2把某一行的倍数加到另一行3互换两行的位置对增广矩阵进行一系列的初等变换之后，便得到了一个阶梯形矩阵2）利用阶梯形矩阵对方程组的解进行讨论： ，显然增广矩阵的秩为r+1，系数矩阵的秩为r，增广矩阵与系数矩阵的秩不同，线性方程组无解。 ，这时，增广矩阵与系数矩阵的秩都为r，方程有解。当r=n时，方程组有唯一解；当rn时，方程组有无穷

20、多个解。这样，我们由消元法的步骤和原理，引入了n维向量、线性相关性和矩阵得相关概念，最后又利用矩阵的形式重现了消元法的过程，对消元法解一般线性方程组有了较深刻的认识。二、化二次型为标准型在二次型这一章中，化二次型为标准形是一个基础问题，对这个问题我们一般采用配方法、初等变换法以及正交变换法。然而我们很少有人去了解，为什么要掌握二次型化标准型的方法。事实上，二次型理论起源于解析几何中的化二次曲线和二次曲面方程为标准形的问题。二次曲面的一般方程为： （1）其中都是实数。我们记 其中，利用二次型的表示方法，方程（1）可表示成下列形式：（2）为研究一般二次曲面的形态，我们需将二次曲面的一般方程转化为标

21、准方程，为此分两步进行。第一步，利用正交变换x = Py 将方程（2）左边的二次型xAx的部分化成标准形：其中P为正交矩阵，y =(x, y, z), 相应地有于是方程（2）可化为（3）第二步，作平移变换将方程（3）化为标准方程，其中这里只要用配方法就能找到所用的平移变换。以下对是否为零进行讨论：1 当 用配方法将方程（3）化为标准方程：（4）根据与d的正负号，可具体确定方程（4）表示什么曲面。例如当与d同号，则方程（4）表示椭球面。2 当中有一个为0，设，方程（3）可化为：（5）（6）根据与d的正负号，可具体确定方程（5）、（6）表示什么曲面。例如当同号时，方程（5）表示椭圆抛物面。当异号时，方程（5）表示双曲抛物面，（6）表示柱面3 当中有两个为0，不妨设方程（3）可化为下列情况之一：（a）此时，再作新的坐标变换：（实际上是绕轴的旋转变换），方程可化为：表示抛物柱面表示抛物柱面表示抛物柱面 若与d异号，表示两个平行平面；若与d同号，图形无实点；若d=0，表示yoz坐标面。以上便是二次型在二次曲面研究中的应用，通过学习知识，使我们了解到了掌握将二次型化为标准型的方法和目的。二次型讨论的对象是多元二次齐次函数，这种函