高数下考试知识点A4

1、20092010学年第二学期高等数学（下）总复习考试范围：第七章第九章考试时间：2小时试题类型： 1）选择题 （共5题，每题3分，共15分） 2）填空题 （共5题，每题3分，共15分）3）计算题 （共7题，每题6分，共42分）4）综合题 （共4题，每题7分，共28分）友情提示：本总复习资料仅供参考，复习应以教材为主， 全面掌握本学期所学内容。例题、课后习题及章节复习题务必掌握！主要知识点第七章 多元函数微分学1、空间两点间的距离设、，则两点之间的距离为：特别地，空间点到原点的距离为：例1、 在z轴上求与两点M(-1,2,3)和N(2,6,-2)等距离的点P.例2、 在轴上与点和等距离的点P.例

2、3、 试证以三点A(4，1，9)、B（10，1,6）、C（2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形.例4、与定点及距离相等的点的轨迹的方程.2、空间曲面和空间曲线球心为，半径为的球面方程： 特别地，球心为原点的方程：例1、 以点为球心，且过原点的球面方程.例2、 到定点的距离等于4的动点的轨迹方程.平面的一般式方程： 平面的截距式方程：例3、某平面过空间的三个点、，试写出平面的方程.例4、一平面过点，且在三条坐标轴上截距之比，求该平面的方程.3、会求多元函数的定义域例1、求的定义域.例2、求函数的定义域.例3、求函数的定义域.例4、设，则的定义域为例5、设，则的定义域为4、会求简单多元函数的

3、极限.例1、求. 例2、求. 例3、求. 例4、求例5、 求. 例6、.例7、 求. 例8、.例9、 证明不存在 例10、 证明不存在5、会求多元函数的偏导数，掌握偏导数的应用.函数在点关于的偏导数： 函数在点关于的偏导数：例1、求函数的偏导数.例2、求函数的偏导数.例3、求函数的偏导数.例4、求函数的偏导数.例5、求三元函数的偏导数.例6、求函数的偏导数.例7、求函数的偏导数.例8、求函数的偏导数.例9、判断函数在是否连续？是否存在偏导数？ 偏导数存在未必连续！6、会求多元函数的高阶导数 、 、 定理 若二阶混合偏导，连续，则，即混合偏导数连续时，与求偏导的顺序无关.例1、设，求二阶偏导数、

4、. 例2、设，求二阶偏导数、.例3、求函数的、及.例4、验证函数满足方程.例5、设，证明：函数满足方程.例6、验证函数满足方程7、会求多元函数的全微分定理1：设在点可微，则在点处必连续，且其偏导数都存在，并有反之不一定成立.例如：函数 显然，在点处两个偏导数均存在，但在处不连续，所以在处不可微.偏导存在连续则可微！定理2：设函数在点的一阶偏导数存在且一阶偏导数连续，则函数在点可微.例1、 求函数的全微分.例2、求函数的全微分.例3、 求函数的全微分.例4、求函数的全微分.8、全微分在近似计算中的应用计算公式：例1、 计算的近似值.例2、 计算的近似值.9、多元复合函数的求导1）复合函数的中间变

5、量均为一元函数的情形例1、设，而,，求全导数.例2、设，求全导数.2）复合函数的中间变量均为二元函数的情形例3、设，而， 求 和.例4、设，而，求和.3）复合函数的中间变量既有一元函数又有二元函数的情形例5、设，求 和.例6、设，求 和.10、隐函数的求导法则1）由方程所确定的隐函数的求导公式：例1、设方程所确定的隐函数，求.例2、已知，求.2）由方程所确定的隐函数的求导公式： ， .例1、 设方程确定的隐函数，求,.例2、设方程确定的隐函数,求,.11、理解驻点的概念，会求多元函数的极值及最值 1）驻点的概念. 2）极值的判定：设在二阶偏导数连续，且，记，若，则函数有极值；且当时，有极小值；

6、当时，有极大值；若，则函数无极值；例1、求函数的极值.例2、求函数的极值.例3、要做一个体积为8立方米的无盖长方体箱子，问当长、宽、高各取多少时, 才能使所用料最省？例4、要做一个体积为8立方米的有盖长方体箱子，问当长、宽、高各取多少时, 才能使所用料最省？第八章 多元函数积分学1、理解二重积分的概念及性质1)、2)、几何意义: 若,二重积分表示以为顶,以为底的曲顶柱体的体积. 3)、若在上, ,为区域的面积,则几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.4）、若在上, ,则有不等式 5）、设与分别是在闭区域上最大值和最小值, 是的面积,则有例1、 比较积分的大小，其中例2、

7、比较积分的大小, 其中D是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).例3、估计二重积分的值, 是圆域.例4、估计二重积分 的值, 是矩形闭区域：2、在直角坐标系下计算二重积分X型积分区域： Y型积分区域： 例1、求，其中D是以所围成的区域.例2、求, 其中是由抛物线及直线所围成的区域.例3、计算二重积分，其中积分区域是由所围成的有界闭区域.例4、计算二重积分，其中积分区域是由抛物线所围成的有界闭区域.3、在极坐标下计算二重积分 例1、 利用极坐标计算，其中积分区域是由圆周所围成的有界闭区域.例2、用极坐标计算二重积分，其中积分区域是由圆周所围成的有界闭区域.第九章 级数1、

8、会判断正项级数收敛性.1）几何级数 . 如：.2）级数. 3）（比较审敛法）设、为正项级数，则 若（），且收敛，则也收敛.若（），且发散，则也发散.4）(比值审敛法)设是正项级数， 时，级数收敛；（或）时，级数发散.例1、利用级数的敛散性以及比较审敛法，判别下列级数的敛散性.1） 2） 3） 4）例3、判别级数和的收敛性.2、会判断级数的绝对收敛与条件收敛1）（莱布尼兹准则) 如果交错级数满足条件：(1)、 ； (2)、 ，则级数收敛，且收敛和，余项的绝对值.例1、 证明交错级数是收敛的.例 2、判定交错级数的收敛性.2）设为任意项级数，则(1)、如果正项级数收敛，则称级数为绝对收敛；(2)、如果正项级数发散，但级数本身收敛则称级数为条件收敛.例3、讨论是否绝对收敛.例4、讨论是否绝对收敛3、会求幂级数的收敛区间定理： 若幂级数，且，则幂级数的收敛半径例1、 求幂级数的收敛区间.例2、 求幂级数 的收敛区间.例3、求幂级数的收敛区间.例4、求幂级数的收敛区间.例5、求幂级数的收敛区间.例6、求幂级数的收敛域.例7、求幂级数的收敛域.例8、求幂级数的收敛域