高数 导数与微分

1、第二单元 导数与微分导数与微分是微积分的核心部分，深刻理解概念，熟练掌握方法，有利于后面学好积分，学好多元函数的导数。教学基本要求 微积分 理解导数的概念；熟悉导数定义的结构及等价形式；理解导数的几何意义、函数的连续性与可导性之间的关系；熟练掌握基本求导公式，运算法则；掌握复合函数求导的链式法则及隐函数、分段函数、抽象函数的求导法.了解高阶导数的概念；了解微分的概念，微分形式的不变性，导数与微分的关系；掌握可微函数的微分方法。了解微分在近似计算中的应用。掌握经济函数与导数有关的内容。 高等数学 增加理解参数方程所确定函数的导数；了解求高阶导数的规律。知识要点 1，等价形式，极限存在时，该极限就

2、是函数在点处的导数。极限存在的充要条件是左极限等于右极限，此时对应的是左导数等于右导数（注意：上一章求函数在点的极限，可以没有定义；现在求点处增量比的极限，必须有定义）。去掉的脚标，得到导函数的定义式，或（注意：对函数而言在所论区间中可以任意取值，但是求极限的过程中，是常量，和是变量）。应记住表示导数、导函数的几种符号形式。2对照曲线的切线，明了切线的斜率对应导数，描述函数的变化率；图中对应和的两条线段，说明微分是函数增量的线性主部（近似值）。虽然有：可导可微，求导公式与微分公式形式相近，可以在一起记忆，但是要区别求导、微分是两个不同的概念。增量比的极限存在，对应的曲线一定是连续、圆滑的；增量

3、比的极限不存在，（除间断点外）可能是左导数不等于右导数，则曲线在该点不圆滑；也可能是振荡型（切线不唯一的点不可导），或者是无穷大（切线唯一但垂直于X轴的点也不可导）。初等函数在其定义区间内是连续的，连续是可导的必要条件，所以可导函数必然连续；而连续函数不一定点点可导。不连续处必定不可导；反之，不可导不能判定该点的连续性。有一类问题是已知函数，判断其在某点的连续性，可导性。或者已知连续、可导，反过来确定函数中的未知常数。还有一类问题是利用平面解析几何的直线方程，求已知函数的切线。或者已知可导，反过来确定切线中的待定常数。3熟记基本初等函数的导数（与微分）公式和四则运算法则，它们都是由导数的定义直

4、接或间接推导出来的，所以对可导的函数求导数，可以直接套用公式与法则，求出导函数。若求某一点的导数，应先求导函数，后代入该点坐标。对可导条件不清楚的点，比如分段函数的分段点必须用导数定义求。4复合函数(包括抽象函数)的导数与微分，必须对复合关系心中有数，避免出现重复求导或遗漏复合层次的错误。隐函数的求导，综合了求导公式、运算法则和复合函数的求导，所求结果可以是隐函数的形式。对数法求导，主要是解决幂指函数的求导，也能用于多因子大乘大除、大开方的函数，可以简化步骤。5反函数的求导，参数式求导，高阶导数的求法，学习微积分可以有个基本的了解，比如参数方程的一阶导数，规律简单的高阶导数；学习高等数学应该准

5、确理解，基本掌握求解的方法，比如参数方程的二阶导数，高阶导数的莱布尼兹公式。 6掌握几个基本经济函数的导数，即边际函数。由相对变化率导出的关系叫做弹性，需求对价格的弹性，供给对价格的弹性，收益对价格的弹性。对计算出的边际函数和弹性应会作出准确的解释。典型例题补充 例1求 和 的导数。 注意：看清函数形式与结构，应使用哪个公式哪个法则。 是自变量，与无关的项的导数为零，初学者容易出错。 是幂指函数，必须用对数法求导，也可第一步写为再导。 例2已知，其中在的某邻域内有定义且在处连续，求。若用公式求，结果。过程中出现，而条件中只有连续，没有可导，此处随意放宽条件的做法是不对的。应该用定义来做：例3已

6、知，求分析：原式=，与前面导数定义式比较，分子分母相联系的关键之处：，原式为复合函数在点对的导数。故原式=。也可以做代换，原式=。 例4，求如果对复合函数求导公式理解不准确，可能出现这样的表示，同时列出每一层对的导数：，这是不对的。 正确做法。因为表示对求导，每求一层，只是对这层内中间变量求导，然后才出现下一层，直到最后一层对求导完毕。上面的错误也说明对右肩上一撇的求导符号理解不够，只有是等式，若为其他的函数形式，比如 与，就不能是等号了，前者表示对自变量求导，后者表示对这个整体求导。例5设，求；解，运算对否？分析：分解复合层次，可见上面的运算缺少第二层的求导。如果把函数变形， 只有两层，容易

7、求导，得到结果为：，所以上面运算不对。课堂练习一、 填空题 1若在处可导，且，则（ ）。 2若在点可导，则（ ）。 3若，则（ ）。 4已知，则（ ）。 5若需求函数，则当价格时的边际需求为（ ）， 此时需求量对价格的弹性（ ）。二、 选择题 1下列函数中，在点处可导的是（ ）A B C D 2下列函数中，在点处连续，但是不可导的是（ ）A BC D 3设连续,可微,且，则( )A 1 B C D 4设函数处处可导，且有，并对任何实数 与 ，恒有 ，则的表达式为（ ）A B C D 5设在点可导，当由增至时，（ ）A0 B1 C D不存在三、解答题 1设，判定在点处是否可导。 2分析， 各表示

8、何意义。 3设是由方程所确定，求； 4设，求； 设可导，求，； 5设，求； 设，求；答案与提示一、 填空题 18 提示： 2 提示：分子按，凑出导数定义式。 或：设，由导数定义，原式= 3 提示：，；先求导后代换，或先代换后求导都可以，但是注意，不等于。 4 注意：第二步代换为后，微分的最后一层是。 5，1；二、 选择题 1A 提示：B和D用图形定性地表示函数，结论直观。 2D 没有捷径，对求极限，导数定义要熟。 3C 提示：属于第二个重要极限 。 4A 两边同对 求导， 用已知得到 5A 相当于考察微分的定义。三、解答题1 先看这种解法：“时的导函数为，故；时的导函数为，故.可见b为任何值，

9、左右导数都相等，所以在可导，且为2。”看来有根有据，但是，画个图形就会发现，当的条件下，这个分段函数在点不连续，不满足必要条件，故该解法的结论不正确。 用左导数等于右导数证明可导是对的，但是首先要保证函数连续。如果上面的解法先由连续条件确定b的值，然后是上一段表述，满足左导数等于右导数就可导，不等就不可导，会得到正确的结论。 上面不正确的解法中，概念模糊点在哪里？运算中有两个等式： 和 ，等号左边是左导数或右导数，等号右边是在点的左极限和右极限。单侧导数存在要求连续，而趋于某点的极限可以是空心邻域，所以两者不是一个概念。本题目的已知条件中，定义在的右端点，故是正确的。 若分段点处错开，的左端就

10、是开区间，可以求，不存在，把他们写为等式就出问题了。所以，一般判断分段点的可导问题，应使用左导数、右导数的定义。本题我们设， 按定义： 左导数没有任何问题，右导数的分子只有在函数连续的条件下才与定义吻合，写成（本题中必须为零）。若，必有。 本题结论，点，时可导，导数为2，时不可导。 用直观作图法回顾上面的错误解法，似乎找到了斜率相等的两条切线（一条肯定有，另一条还不一定），而且认为是重合的一条切线，错在忽略了可导的必要条件。 2 ，这是求一阶导数。 ， 这是求二阶导数。 ，这是微分。 ，这是微分的商。 ，这是对求一阶导数，也可以按微分的商来运算。 3法一：隐函数，方程两边同对求导 整理解得 再

11、得 另：用微分形式不变性，两边微分 整理解得 （可从微分求导数） 比较并掌握两方法，利于学习求导和微分，利于以后学习多元函数。 4 5使用对数求导法 单元测试A组练习一、填空题：1、若函数在点处的增量为,则在点处的微分= ，= .2、若可导，则= .3、曲线在点处的切线方程 .4、的近似值为 .5、已知，则= .二、单项选择题：1、设可导，且，则=（ ）.A B C D2、设可微，则=（ ）.A B C D3、已知是有任意阶导数的函数，且，则当为大于2的正整数时，的阶导数是（ ）.A B C D4、5、三、计算题：1、 已知，求.2、设，二阶可导，求.3、设，求.4、，其中可微，求.5、设,求

12、.6、四、应用题：1、讨论函数 在点处的连续性和可导性.2、设 ，试选取适当的值，使在处可导，并求。五、证明题： 设为可导函数，。如果令，证明：答案： 一、1、，； 2、 3、4、1.0067 5、 二、1、D 2、B 3、A 4、5、三、1、； 2、3、 4、5、 6、四、1、在点处连续但不可导； 2、当时，函数在处可导， B组练习一、填空题：1、设在点处可导，则= .2、给定曲线，当= 时，直线为曲线的切线；当= 时，直线为曲线的切线。3、若，则= ； 若，则= .4、若，则= .5、设，则的值等于 .二、单项选择题：1、设在点处左右可导，则在点处（ ）.A可导 B不可导 C连续 D不连续2、已知，则=（ ）.A B C D3、已知为可导的偶函数，且，则曲线在处的切线方程是（ ）.A B C D4、5、三、计算题：1、已知,求.2、已知，求.3、求由