高中数学基本不等式证明

1、不等式证明基本方法例1 ：求证：分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。证明： 评注：1比较法之一（作差法）步骤：作差变形判断与0的关系结论 2作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。例2：设，求证：分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。证明：=，则故原不等式成立评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： ，这样容易发现规律。例3 ：已知求证：证明： ）当时，则）当时，则）当时，则评注：两边相减能消去一部分、两边相除能约去一部分，作差后能因式分解，作商后能进一 步简化变形等，

2、是运用比较法的外部特征。当作差或商后的式子中含有字母时，有时 需对字母进行分类讨论。例4 ：已知且求证：分析一：作差后可以判定符号，可用作差法。证法一： ）当时，则）当时，则又，分析二：不等式两边次数不同，也可以先降次，再作差。证法二： ）当时，与同为正）当时，与同为负即评注：有时可将原不等式变形后再作差比较（如平方后作差等），可使变形更方便。分析三：不等式两边均为正数，也可用作商法。证法三：）当时，）当时， 评注：1比较法之二（作商法）步骤：作商变形判断与1的关系结论 2作差法是通法，运用较广。作商法要注意条件，不等式两边必须为正数。常用于证幂、指数形 式的不等式。例5 ：设都正数，求证：分

3、析：不等式左边可以两两运用均值不等式，得到不等式右边。证明：，评注：1.利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要 证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法 2综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推 出结论的一种证明方法例6:设a,b,c均为正实数，求证：+.分析一：不等式左边两两结合，可以连续使用均值不等式。证法一：a,b,c均为正实数，（），当a=b时等号成立；（），当b=c时等号成立；（）当a=c时等号成立；三个不等式相加即得+，当且仅当a=b=c时等号成立.分析二：从一些常用不等式出发，可以减少思

4、维回路，降低解题难度，提高效率。证法二： 同理： +评注：运用综合法证明不等式，必须发现式子的结构特征，结合重要不等式和常用不等式，找到解题的方 法。例7 : 已知a,b,cR+，且a+b+c=1.求证：（1+a）（1+b）（1+c）8（1a）（1b）（1c）.分析：在条件“a+b+c=1”的作用下，将不等式的“真面目”隐含了，给证明不等式带来困难，若将“a+b+c” 换成“1”，则还原出原不等式的“真面目”，从而抓住实质，解决问题.证明：a,b,cR+且a+b+c=1，要证原不等式成立，即证（a+b+c）+a（a+b+c）+b（a+b+c）+c8（a+b+c）a（a+b+c）b（a+b+c）

5、c.也就是证（a+b）+（c+a）（a+b）+（b+c）（c+a）+（b+c）8（b+c）（c+a）（a+b） （a+b）+（b+c）20，（b+c）+（c+a）20，（c+a）+（a+b）20，三式相乘得式成立.故原不等式得证.评注：1.证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转 化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式 成立，这种方法通常叫做分析法分析法的思维特点是：执果索因 2.分析法的书写格式：要证明命题B为真，只需要证明命题为真，从而有这只需要证明命 题为真，从而又有 这只需要证明命题A为真,而已知

6、A为真，故命题B必为真例8 :设，求证：分析：不等式的形式较复杂，可以从原不等式出发，进行化简变形。证法一：要证原不等式成立，只需证：只需证只需证，只需证上式成立 原不等式在时成立.证法二：即 评注：分析法与综合法本质上是一致的，形式上是互逆的，我们常常用分析法寻找证题思路，用综合法书 写证明过程。配套小练习：证明下列不等式1 己知都是正数，且成等比数列，求证：2已知a,b,x,yR+且，xy. 求证：3.已知均为正数，且，求证：.4设a, b, c R，求证：5.已知是正实数，求证：6.已知为不相等的正数，且，求证：7.若a,b0,2ca+b,求证: (1)c2ab （2）c-ac+8.已知均为正数，且， 求证：； 解答：1.证明：成等比数列，都是正数， 2.证法一：（作差比较法）=，又且a,bR+，ba0.又xy0，bxay.0，即. 证法二：（分析法）x,y,a,bR+，要证，只需证明x（y+b）y（x+a），即证xbya.而由0，ba0.又xy0，知xbya显然成立.故原不等式成立.3.证明： 4.证明： 同理：， 三式相加：5.证明： 同理：； 6.证明：是不相等的正数，且 7.证明:（1）ab()2c2abc2（2）欲证c-ac+只需证-