高中数学数列压轴题练习江苏及详解

1、高中数学数列压轴题练习（江苏）及详解1.已知数列是公差为正数的等差数列,其前n项和为,且,()求数列的通项公式; ()数列满足,求数列的通项公式; 是否存在正整数m,使得,成等差数列?若存在,求出m,n的值;若不存在,请说明理由.解:(I)设数列的公差为d,则由,得, 计算得出 或(舍去).  (), , , 即,累加得:, 也符合上式. 故,.         假设存在正整数m、,使得,成等差数

2、列, 则又, ,即, 化简得:当,即时,(舍去); 当,即时,符合题意. 存在正整数,使得,成等差数列.解析()直接由已知列关于首项和公差的方程组,求解方程组得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案; ()把数列的通项公式代入,然后裂项,累加后即可求得数列的通项公式; 假设存在正整数m、,使得,成等差数列,则.由此列关于m的方程,求计算得出答案.2.在数列中,已知,(1)求证:数列为等比数列; (2)记,且数列的前n项和为,若为数列中的最小项,求的取值范围.解:(1)证明:, 又, ,

3、0;故, 是以3为首项,公比为3的等比数列(2)由(1)知道,若为数列中的最小项,则对有恒成立, 即对恒成立当时,有; 当时,有; 当时,恒成立, 对恒成立. 令,则对恒成立, 在时为单调递增数列. ,即综上,解析(1)由,整理得:.由,可以知道是以3为首项,公比为3的等比数列; (2)由(1)求得数列通项公式及前n项和为,由为数列中的最小项,则对有恒成立,分类分别求得当时和当的取值范围, 当时,利用做差法,根据函数的单调性,即可求得的取值范围.3.在数列 中,已知 ,

4、60;, ,设 为 的前n项和. (1)求证:数列 是等差数列; (2)求  (3)是否存在正整数p,q, ,使 , , 成等差数列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,说明理由. (1)证明:由, 得到, 则又, , 数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; (2)由(1)可以推知:, 所以, 所以, , -,得 , , , 所以(3)假设存

5、在正整数p,q,使,成等差数列. 则, 即因为当时, 所以数列单调递减. 又, 所以且q至少为2, 所以,当时, 又, 所以,等式不成立. 当时, 所以所以, 所以,(数列单调递减,解唯一确定). 综上可以知道,p,q,r的值分别是1,2,3.解析(1)把给出的数列递推式,变形后得到新数列,该数列是以1为首项,以-2为公差的等差数列; (2)由(1)推出的通项公式,利用错位相减法从而求得求; (3)根据等差数列的性质得到,从而推知p,q,r的值.4.已知n

6、为正整数,数列 满足 , ,设数列 满足 (1)求证:数列 为等比数列; (2)若数列 是等差数列,求实数t的值; (3)若数列 是等差数列,前n项和为 ,对任意的 ,均存在 ,使得 成立,求满足条件的所有整数 的值. (1)证明:数列满足, , 数列为等比数列,其首项为,公比为2; (2)解:由(1)可得:, ,数列是等差数列, , 计算得出或12. 时,是关于n的一次函数,

7、因此数列是等差数列. 时,不是关于n的一次函数, 因此数列不是等差数列. 综上可得; (3)解:由(2)得, 对任意的,均存在,使得成立, 即有, 化简可得, 当,对任意的,符合题意; 当,当时, 对任意的,不符合题意. 综上可得,当,对任意的,均存在, 使得成立.解析(1)根据题意整理可得,再由等比数列的定义即可得证; (2)运用等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,可得,解方程可得t,对t的值,检验即可得到所求值; (3)由(2)可得,对任意的,均存

8、在,使得成立,即有,讨论为偶数和奇数,化简整理,即可得到所求值.5.已知常数 ,数列 满足 ,  (1)若 , , 求 的值; 求数列 的前n项和  (2)若数列 中存在三项 , , 依次成等差数列,求 的取值范围.解:(1), , , , , 当时, 当时,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比的等比数列, 数列的前n项和, 显然当

9、时,上式也成立,  (2), ,即单调递增. (i)当时,有,于是, ,若数列中存在三项,依次成等差数列,则有, 即,.因此不成立.因此此时数列中不存在三项,依次成等差数列. 当时,有.此时于是当时,.从而若数列中存在三项,依次成等差数列,则有, 同(i)可以知道:.于是有,是整数,.于是,即.与矛盾. 故此时数列中不存在三项,依次成等差数列. 当时,有于是此时数列中存在三项,依次成等差数列. 综上可得:解析(1),可得,同理可得,当时,当时,即从第二项起,数列是以1为首项,以3为公比

10、的等比数列,利用等比数列的求和公式即可得出(2),可得,即单调递增. (i)当时,有,于是,可得,.利用反证法即可得出不存在. 当时,有.此时.于是当时,.从而.假设存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在. 当时,有.于是.即可得出结论.6.已知两个无穷数列 和 的前n项和分别为 , , , ,对任意的 ,都有  (1)求数列 的通项公式; (2)若 为等差数列,对任意的 ,都有 .证明:  (3)

11、若 为等比数列, , ,求满足 的n值.解:(1)由,得, 即,所以由,可以知道所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列. 故的通项公式为,(2)证法一:设数列的公差为d, 则, 由(1)知,因为,所以, 即恒成立, 所以,即, 又由,得, 所以所以,得证. 证法二:设的公差为d,假设存在自然数,使得, 则,即, 因为,所以所以, 因为,所以存在,当时,恒成立. 这与“对任意的,都有”矛盾! 所以,得证. 

12、(3)由(1)知,.因为为等比数列, 且, 所以是以1为首项,3为公比的等比数列. 所以,则, 因为,所以,所以而,所以,即当,2时,式成立; 当时,设, 则, 所以, 故满足条件的n的值为1和2.解析(1)运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式,即可得到所求; (2)方法一、设数列的公差为d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判断符号即可得证; 方法二、运用反证法证明,设的公差为d,假设存在自然数,使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得证; (3)运用等差数列和等比数列的求和公式

13、,求得,化简,推出小于3,结合等差数列的通项公式和数列的单调性,即可得到所求值.7.已知数列 , 都是单调递增数列,若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列(相同的项视为一项),则得到一个新数列  (1)设数列 , 分别为等差、等比数列,若 , , ,求  (2)设 的首项为1,各项为正整数, ,若新数列 是等差数列,求数列  的前n项和  (3)设 是不小于2的正整数), ,是否存在等差数列&

14、#160;,使得对任意的 ,在 与 之间数列 的项数总是 若存在,请给出一个满足题意的等差数列 若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q, 根据题意得,计算得出或3,因数列,单调递增, 所以, 所以, 所以, 因为, (2)设等差数列的公差为d,又,且, 所以,所以因为是中的项,所以设,即当时,计算得出,不满足各项为正整数; 当时,此时,只需取,而等比数列的项都是等差数列,中的项,所以; 当时,此时,只需取,

15、60;由,得,是奇数, 是正偶数,m有正整数解, 所以等比数列的项都是等差数列中的项,所以 综上所述,数列的前n项和,或 (3)存在等差数列,只需首项,公差 下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有, 即成立. 由, 所以首项,公差的等差数列符合题意解析(1)设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q,根据题意得,计算得出或3,因数列,单调递增,可得,利用通项公式即可得出. (2)设等差数列的公差为d,又,且,所以,所以.因为是中的项,所以设,即.当时,计算得出,不满足各项为正整数当时,当时,即可得

16、出. (3)存在等差数列,只需首项,公差.下证与之间数列的项数为.即证对任意正整数n,都有,作差利用通项公式即可得出.8.对于数列,称(其中,为数列的前k项“波动均值”.若对任意的,都有,则称数列为“趋稳数列”.(1)若数列1,x,2为“趋稳数列”,求x的取值范围;(2)若各项均为正数的等比数列的公比,求证:是“趋稳数列”;(3)已知数列的首项为1,各项均为整数,前k项的和为.且对任意,都有,试计算:.解:(1)根据题意可得,即,两边平方可得,计算得出;(2)证明:由已知,设,因且,故对任意的,都有,因,即对任意的,都有,故是“趋稳数列”;(3)当时,当时,同理,因,即,所以或

17、60; 所以  或  因为,且,所以,从而,所以,.解析(1)由新定义可得,解不等式可得x的范围;(2)运用等比数列的通项公式和求和公式,结合新定义,运用不等式的性质即可得证;(3)由任意,都有,可得,由等比数列的通项公式,可得,结合新定义和二项式定理,化简整理即可得到所求值.9.已知首项为1的正项数列an满足+an+1an，nN*.（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列an是公比为q的等比数列，Sn为数列an前n项的和，若SnSn+12Sn，nN*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，ak（k3）成等差数列，且a1+

18、a2+ak=120，求正整数k的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，ak（k3）的公差.解：（1）由题意，anan+12an，x3,x2x，x（2，3）.（2）anan+12an，且数列an是公比为q的等比数列，a1=1，qn-1qn2qn-1，qn-1(q-)0，qn-1(q-2)0，q（，1）.SnSn+12Sn，当q=1时，S2=2S1，不满足题意，当q1时，2，当q（，1）时，即，q（，1）.当q（1，2）时，即，无解，q（，1）.（3）设数列a1，a2，ak（k3）的公差为d.anan+12an，且数列a1，a2，an成等差数列，a1=1，1+(n-1)d1+nd21+(n-1)d，n=1，2，k-1，d（-，1）.a1+a2+ak=120，Sk=k2+(a1-)k=k2