高中数学空间角度与距离问题有答案

1、选修2-1空间向量与立体几何一、选择题：1在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成的角的大小为（ ）A60B90C105D75图2如图，ABCDA1B1C1D1是正方体，B1E1D1F1，则BE1与DF1所成角的余弦值是（ ）图ABCD3如图，A1B1C1ABC是直三棱柱，BCA=90，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）A BC D4正四棱锥的高，底边长，则异面直线和之间的距离（ ）A BC DAA1DCBB1C1图5已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点点到平面的距离（ ）AB CD6在棱长

2、为的正方体中，则平面与平面间的距离（ ）A BC D7在三棱锥PABC中，ABBC，ABBCPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC，则直线OD与平面PBC所成角的正弦值（ ）A B C D8在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，D，E分别是与的中点，点E在平面ABD上的射影是的重心G则与平面ABD所成角的余弦值（ ）A B CD9正三棱柱的底面边长为3，侧棱，D是CB延长线上一点，且，则二面角的大小（ ）A B C D10正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为4，E，F分别为棱AB，CD的中点，则三棱锥的体积V（ ）A B C D二、填空题：11在正方体中，为的中点，则异面直线和间

3、的距离 12 在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，求点到截面的距离 13已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，点A1到平面DBEF的距离 14已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE与平面ABC1D1所成角的正弦值 三、解答题：15已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的大小16已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF平面B1MC17在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，B

4、AD=90，ADBC，AB=BC=a，AD=2a，且PA底面ABCD，PD与底面成30角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE与CD所成角的余弦值18已知棱长为1的正方体AC1，E、F分别是B1C1、C1D的中点（1）求证：E、F、D、B共面；（2）求点A1到平面的BDEF的距离；（3）求直线A1D与平面BDEF所成的角19如右下图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1.(1) 求二面角CDEC1的正切值;(2) 求直线EC1与FD1所成的余值. 20如图，已知四棱锥P

5、-ABCD，底面ABCD是菱形，DAB=600，PD平面ABCD，PD=AD，点E为AB中点，点F为PD中点。（1）证明平面PED平面PAB； （2）求二面角P-AB-F的平面角的余弦值21：在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是正方形A1B1C1D1的中 心，点P在棱CC1上，且CC1=4CP.()求直线AP与平面BCC1B1所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；()设O点在平面D1AP上的射影是H，求证：D1HAP；()求点P到平面ABD1的距离. ABCDOS图参考答案一、1B；2A；3A；4C；分析：建立如图所示的直角坐标系，则， ，令向量，且，则，异面直线和之间的距

6、离为：5A；分析：为正方形，又平面平面，面，是平面的一个法向量，设点到平面的距离为，则= 6B；分析：建立如图所示的直角坐标系，ABCDA1B1C1D1E图设平面的一个法向量，则，即，平面与平面间的距离7D；8B；解 以C为坐标原点，CA所在直线为轴，CB所在直线为轴，所在直线为轴，建立直角坐标系， 设，则 ， ， ， ， 点E在平面ABD上的射影是的重心G， 平面ABD， ，解得 ， ， 平面ABD， 为平面ABD的一个法向量由 与平面ABD所成的角的余弦值为评析 因规定直线与平面所成角，两向量所成角，所以用此法向量求出的线面角应满足9A；取BC的中点O，连AO由题意 平面平面，平面，以O为

7、原点，建立如图6所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，由题意 平面ABD， 为平面ABD的法向量设 平面的法向量为 ，则 ， ， ，即 不妨设 ，由 ， 得 故所求二面角的大小为评析：（1）用法向量的方法处理二面角的问题时，将传统求二面角问题时的三步曲：“找证求”直接简化成了一步曲：“计算”，这表面似乎谈化了学生的空间想象能力，但实质不然，向量法对学生的空间想象能力要求更高，也更加注重对学生创新能力的培养，体现了教育改革的精神（2）此法在处理二面角问题时，可能会遇到二面角的具体大小问题，如本题中若取时，会算得，从而所求二面角为，但依题意只为因为二面角的大小有时为锐角、直角，有时也为钝角所以在计

8、算之前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小，然后根据计算取“相等角”或取“补角”10C；解 以D为坐标原点，建立如图10所示的直角坐标系，则 ， ， ， 图10 ， ，所以 ，设 平面的方程为：，将点代入得， ， 平面的方程为：，其法向量为， 点到平面的距离， 即为所求评析 （1）在求点到平面的距离时，有时也可直接利用点到平面的距离公式 计算得到（2） 法向量在距离方面除应用于点到平面的距离、多面体的体积外，还能处理异面直线间的距离，线面间的距离，以及平行平面间的距离等二、11分析：设正方体棱长为，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设和公垂线段上的向量为，则，即，又，所以异面直线和间

9、的距离为12分析：以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系AEA1DCBB1C1D1F图则，；设面的法向量为，则有：，又，所以点到截面的距离为=131；解：如图建立空间直角坐标系，（1，1，0） ，（0，1）， （1，0，1） 设平面DBEF的法向量为（x，y，z），则有： 即 xy0 yz0zxBA1yFEB1C1D1DCA令x1, y=1, z=, 取（1，1，），则A1到平面DBEF的距离EzxD1yAC1B1A1BDC14解：如图建立空间直角坐标系，（0，1，0），（1，0，1），（0，1）设平面ABC1D1的法向量为（x，y，z）,由 可解得（1，0，1） 设直线AE与平面ABC1D1

10、所成的角为，则， 三、15 zyxD1A1DB1C1CBA解：如图建立空间直角坐标系，（1，1，0），（0，1，1） 设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量， 由 可解得（1，1，1）易知（0，0，1），所以，所以平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角大小为arccos或 arccos注：用法向量的夹角求二面角时应注意：平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同求 出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小16FyEMxzD1C1B1A1CDBA证明：如图建立空间直角坐标系， 则（1，1，0），（1，0，1） （1，0，1）， （0，1，1）设，（、 ，且

11、均不为0） 设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量， 由 可得 即 解得：（1，1，1） 由 可得 即 解得（1，1，1），所以， ， 所以平面A1EF平面B1MC注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用来证明17（1）证明：PA平面ABCD，PAAB，又ABADAB平面PAD又AEPD，PD平面ABE，故BEPD（2）解：以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C、D的坐标分别为（a，a，0），（0，2a，0）PA平面ABCD，PDA是PD与底面ABCD所成的角，PDA=30于是，在RtAED中，由AD=2a，得AE=a过E作EFAD，垂足为F，在RtAFE中，由AE=a，EAF=60，得AF=，EF=a，E（0，a）于是，=a，a，0设与的夹角为，则由cos=AE与CD所成角的余弦值为评述：第（2）小题中，以