高中数学专题——微积分基本定理与应用

1、22、定积分222 微积分基本定理与应用一知识结构1、定积分定积分的定义：（注意整体思想）定积分的性质： （常数）； （其中。（分步累加）微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：（熟记（），）2定积分的应用：求曲边梯形的面积：（两曲线所围面积）； 注意：若是单曲线与x轴所围面积，位于x轴下方的需在定积分式子前加“”求变速直线运动的路程：；求变力做功：。二，典型例题【典型例题】 例1（1）由抛物线和直线x=1所围成的图形的面积等于 （ ）A1 BC D例1（2）（2）如图，阴影部分的面积是（）ABCD（3）=（）A B C D（4）= （5）按万有引力定律，两质点间的吸引力，k为常数，为两质点的质量

2、，r为两点间距离，若两质点起始距离为a，质点m1沿直线移动至离m2的距离为b处，试求所作之功（a） yxo122-1-1ABCD例2图例2 如图，求由两条曲线，及直线y= -1所围成图形的面积例3如图，抛物线C1：y= -x2与抛物线C2：y=x2-2ax(a>0)交于O、A两点若过原点的直线l与抛物线C2所围成的图形面积为，求直线l的方程例3图A例4已知A（-1，2）为抛物线C：y=2x2上的点直线l1过点A，且与抛物线C相切直线l2：x=a(a-1)交抛物线C于点B，交直线l1于点D（1）求直线l1的方程；（2）设ABD的面积为S1，求及S1的值；（3）设由抛物线C、直线l1、l2所

3、围成的图形的面积为S2，求证：S1S2的值为与a无关的常数【课内练习】1=（）A5B。4C。3D。22=（）AB。C。D。3若，且a1，则a的值为（）A6B。4C。3D。24已知自由落体运动的速率v=gt，则落体运动从t=0到t=t0所走的路程为（）A B C D5曲线与直线所围成的图形（阴影部分）的面积等于 6 。7= 。8计算下列定积分的值（1）；（2）；（3）。 9平地上有一条小沟，沟沿是两条长100m的平行线段，沟宽AB为2m，与沟沿垂直的平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为O，对称轴与地面垂直，沟深1.5m，沟中水深1m（）求水面宽；（）如图所示形状的几何体称为柱体，已知柱体的

4、体积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？10设是二次函数，方程有两个相等的实根，且（1）求的表达式（2）若直线把的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t的值22、定积分222 微积分基本定理与应用A组1下列有定义的定积分为（）AB。C。D。2=（）A B2e C D3曲线与坐标轴围成的面积（）A4 B2 C D34若=a3-2（a1），则a= 。5= 。6求定积分：。7求曲线与轴所围成的图形的面积8如图，抛物线与直线y3x的二交点为A、B.点P在抛物线的弧上从A向B运动。  （1）求使的面积为最大时P点的坐标；（2）证明由抛物线与线段AB围成的图形，被直线xa分为面积

5、相等的两部分.22、定积分222 微积分基本定理与应用B组1=（）AB。C。D。2=（）A21B。22C。23D。243下列命题：若f(x)是定义在R上的奇函数，则为R上的偶函数；若f(x)是周期为T（0）的周期函数，则；。其中正确命题的个数为（）A0B。1C。2D。34由曲线与直线所围成的平面图形的面积为 。5已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 6求由曲线与x轴所围的封闭区域的面积。7设某物体一天的温度T是时间t的函数，T (t) = at3+bt2+ct+d (a0)，其中温度的单位是，时间的单位是小时，t=0表示1200，t取正值表示1200

6、以后若测得该物体在800的温度为8，1200的温度为60，1300的温度为58，且已知该物体的温度在800和1600有相同的变化率（1）写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；（2）该物体在1000到1400这段时间中（包括1000和1400），何时温度最高？并求出最高温度；（3）如果规定一个函数在上函数值的平均为，求该物体在800到1600这段时间内的平均温度8一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由x0运动到xa时，阻力所作的功8物体的速度媒质阻力，其中k为比例常数，k>0当x=0时，t=0；当x=a时，又ds=vdt，故阻力

7、所作的功为。参考答案222 微积分基本定理与应用【典型例题】例1（1）B（2）C（3）C（4）。（5）。例2由图形的对称性知，所求图形面积为位于y轴右侧图形面积的2倍由得C（1，-1）同理得D（2，-1） 所求图形的面积yxo122-1-1ABCD例2图S= 例3设过原点的直线方程为y=kx，解方程组，得x1=0，x2=k+2a当k+2a0时，于是 (k+2a)3=27a3，解得k=a所以，直线l的方程为y=ax当k+2a<0时，于是 - (k+2a)3=27a3，解得k= -5a所以，直线l的方程为y= -5ax综上所述，所求直线l的方程为y=ax或y= -5ax 例4（1）由y=2x

8、2，得当x= -1时，l1的方程为y-2= -4(x+1)，即4x+y+2=0（2）由y=2x2及x=a，解得点B的坐标为（a,2a2）由4x+y+2=0及x=a，解得点D的坐标为（a,-4a-2）又可求得点A到直线BD的距离为，=2a2+4a+2=2(a+1)2S1=（3）由题意，当a>-1时，当a<-1时，S1S2=32即S1S2的值为与a无关的常数【课内练习】1A。2A。3D。4C。5。6F(x)-F(0)。74a。8（1）；（2）；（3）。9（）如图建立直角坐标系xoy，设抛物线方程为则由抛物线过点，可得于是抛物线方程为当y=1时，由此知水面宽为（m）（）柱体的底面积柱体体

9、积为，即水沟中有水10（1）；（2）222 微积分基本定理与应用A组1B。2D。3D。42。5。图6。7首先求出函数的零点：，.又易判断出在 内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，所以所求面积为。8（1）；（2）面积均为。B组1D。223。3D。4。xFx05如图所示，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F与弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即F = kx在上式中k为比例系数 根据题意，当x = 0. 02时，F = 9. 8，故由F = kx得k =490这样得到的变力函数为F = 490x于是所求的功为 （J） 67（1）根据条件可得T（0）=60，T（-4）=8，T（1）=58，则d=60，b=0，a=1，c= -3，因此，温度函数T(t)= t3-3t+60（2），当时，；当时，因此，函数T(t)在（-2，-1）上单调递增，在（-1，1）上单调递减，在（1，2）上递增，即t= -1是极大值点由于T（-1）=T