高三数学立体几何专题训练

1、高三数学立体几何专题训练【考点】1.三视图；2求体积；3证线面垂直(垂直关系)；4求二面角的平面角；5求线面角；6求异面直线所成角；7.求三角形面积；8判断平行、垂直、相交、重合位置关系。【复习建议】 本题为低中档，一般分为两小问，可得满分。第(1)问，一般考查平行与垂直的证明及相关问题，需要同学掌握好平行与垂直的证明的有关定理，并注意证明过程的书写规范，如能建系。也可用向量法；第(2)问一般研究空间角，如用综合法请注意证明过程。如用空间向量需注意：异面直线所成角(一定不大于900)、线面所成角(此类题最容易错，记住所求向量的夹角的余弦为线面所成角的正弦)、二面角(注意观察是钝角还是锐角，一般

2、情况下是锐角)。向量法建系要用黑色签字笔在答题卡上建，并用文字说明，注意检查所写的点或向量坐标有无错，注意用向量数量积公式求夹角余弦时的运算，注意是否作答。特别的说明：广东近年的立体几何题图形都比较新颖特别，但其实都很简单，无需紧张。用向量还是综合法，视题目(更适合哪种方法)和个人情况而定。最后适当注意：求解线面所成角要转换(比如线面所成角的正弦与向量夹角的余弦关系)和翻折问题。下面的例题仅供参考。【题例】 1.如图3所示，在四面体PABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，F是线段PB上一点，,点E在线段AB上且EFPB (I)证明：PB平面CEF； ()求二面角BCE-F的

3、正切。选题目的，练好计算(包括三角形各边，二面角求解)练好规范；判定是否适用向量。2翻折问题体积问题函数导数)如图6所示，等腰ABC的底边,高CD=3，点E是线段BD上异于点B,D的动点，点F在BC边上，且EFAB，现沿EF将BEF折起到PEF的位置，使PEAE，记BE=x，V(x)表示四棱锥P一ACEF的体积.(1)求V(x)的表达式；(2)当x为何值时，V(x)取得最大值?(3)当V(x)取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值3、(组合图形问题)如图所示：边长为2的正方形ABFC和高为2的直角梯形ADEF所在的平面互相垂直且,EDAF,且DAF=900(1)求BD和面BEF所成的

4、角的正弦；(2)线段EF上是否存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，若存在，求EP与PF的比值；若不存在，说明理由。总结：解决存在性问题方法：1先假设存在，再去推理，下结论： 2运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算。4(视图，无棱二面角问题)四棱锥PABCD的底面与四个侧面的形状和大小如图所示(1)写出四棱锥P一ABCD中四对线面垂直关系(不要求证明)；(2)在四棱锥P-ABCD中，若E为PA的中点，求证：BE平面 PCD；(3)在四棱锥P一ABCD中，设面PAB与面PCD所在的角为(00<900)，求cos的值5(无棱二面角问题)如

5、图，四棱锥S一ABCD的底面是边长为l的正方形SD垂直于底面ABCD，(1)求证：BCSC(2)求面ASD与面BSC所成二面角的大小；(3)设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SB所成角的大小6如图边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，将ABEF剪去，将AED、DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点P得一三棱锥如图示(1)求证：PDEF：(2)求三棱锥PDEF的体积；(3)求DE与平面PDF所成角的正弦值7、如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为菱形，BAD=600，Q为AD的中点。(1)若PA=PD，求证：平面PQB平面PAD；(2)点M在线段PC上，P

6、M=tPC，试确定t的值，使PA平面MQB(3)在(2)的条件下，若平面PAD平面ABCD，且PA=PD=AD=2求二面角MBQ-C的大小。8(本小题满分l4分)如图，ABC是以ABC为直角的三角形，SA平面ABC，SA=BC=2。AB=4M、N、D分别是SC、AB、BC的中点。(1)求证：MNAB；(2)求二面角S-NDA的余弦值：(3)求点A到平面SND的距离。参考答案l(I)证明：PAC是以PAC为直角的直角三角形，同理可证PAB是以PAB为直角的直角三角形，PCB是以PCB为直角的直角三角形故PA平面ABC,又而,故CFPB，又已知EFPBPB平面CEF(II)由(I)知PBCE，PA

7、平面ABCAB是PB在平面ABC上的射影，故ABCE 在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1平面ABC，EFl是EF在平面ABC上的射影，EFEC,故FEB是二面角BCEF的平面角二面角BCE一F的正切为说明：本题不适宜用向量2(1)由折起的过程可知，PE平面ABC，(2)所以时，单调递增；时,单调递减；因此时，V(x)取得最大值(3)过F作MTAC交AD与M，则在PFM中，异面直线AC与PF所成角的余弦值为3解(1)因为AC、AD、AB两两垂直，建立如图坐标系，则B(2，0，0)，D(0，0，2)E(1，l，2)，F(2，2，0)。则设平面BEF的法向量,则则可取向量和所

8、成角的正弦为即BD和面BEF所成的角的正弦(2)假设线段EF上存在点P使过P、A、C三点的平面和直线DB垂直，不妨设则P点坐标为则向量向量所以所以故存在这样的点P，当点P为EF中点时，BD面PAC4解(1)如图，在四棱锥P一ABCD中，PA平面ABCD，AD平面PAB，BC平面PAB，AB平面PAD(2)依题意AB、AD、AP两两垂直，分别以直线AB、AD、AP为轴，建立空间直角坐标系，如图则P(0，0，2)，B(2，0，0),C(2,2，0)，D(0，4，0) E是PA中点，点E的坐标为(0，0，1)，设是平面PCD的法向量由，即取y=1，得为平面PCD的一个法向量平面PCD.又平面PCD，

9、BE平面PCD(3)由(2)，平面PCD的一个法向量为又AD平面PAB，平面PAB的一个法向量为5、方法一解：(1)如图建立空间直角坐标系则有B(1,1，0)，C(0，1，0)，S(0，0,1)于是.于是所以,于是BCSC，(2)显然平面ASD的法向量为,设平面SCB的法向量为则有,即,解得由于所以与的夹角为450，由图可以判断面ASD与面BSC所成的角为锐角，因此与与的夹角相等，从而面ASD与面BSC所成的角为450(3)M点坐标为于是，而,并且于是DMSB，即异面直线DM与SB所成角的为900 ：方法二：几何法更快6(1)证明：依题意知图折前ADAE,CDCFPDPE，PFPD，2分,PD

10、平面PEF 3分又平面PEF PDEF4分(2)解法l：依题意知图中在BEF中在PEF中7分8分(2)解法2：依题意知图中在BEF中5分取EF的中点M，连结PM,则PMEF6分7分8分(3)由(2)知PEPF, 又PEPD PE平面PDF10分PDE为DE与平面PDF所成的角， 11分在RtPDE中l2分14分7解：(1)连BD，四边形ABCD菱形，ADAB，BAD=600,ABD为正三角形，Q为AD中点，ADBQ,PA=PD，Q为AD的中点，ADPQ,又BQPQ=QAD平面PQB，平面PAD,平面PQB平面PAD(2)当时，PA平面MQB,下面证明，若PA平面MQB，连AC交BQ于N,由AQ

11、BC,可得,即PA平面MQB，平面PAC,平面PAC平面MQB=MN，PAMN即：,(3)由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQAD.又平面PAD平面ABCD，所以PQ平面ABCD，以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为令,则,由,得点的坐标,设平面MQB的法向量为,可得,解得取平面ABCD的法向量又因为二面角MBQC为锐二面角，所以其大小为600。8(1)略证：作MEAC，连接NE，可证得AB平面MNE,即得MNAB4分 过A作AF垂直DN且与DN的延长线相交于点F，连接SF在DBN中,在RtAFN中,在RtSAF中,(3)