微积分76极值与最值

1、Ch7.6Ch7.6一、二元函数的极值一、二元函数的极值(无条件无条件) 二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极三、条件极(最最)值值多元函数的极值及最值多元函数的极值及最值一、一、 二元函数的极值二元函数的极值 定义定义: : 若函数若函数则称函数在该点取得则称函数在该点取得极大值极大值( (极小值极小值) ). .例如例如 : :在点在点 (0,0) 有极小值有极小值; ;在点在点 (0,0) 有极大值；有极大值；在点在点 (0,0) 无极值无极值. .极大值和极小值极大值和极小值统称为统称为极值极值, ,使函数取得极值的点称为使函数取得极值的点称为极值点极值点. .),(),(00y

2、xfyxf 00( , )(,)f x yf xy 或或22zxy22yxz 22yxz ),(),(00yxyxfz在点在点 的的某邻域内某邻域内有有二元函数极值也是局部性的概念二元函数极值也是局部性的概念定理定理1 1 ( (极值存在的必要条件极值存在的必要条件) )0),(,0),(0000 yxfyxfyx则有则有存在偏导数存在偏导数, ,且在该点取得极值且在该点取得极值 , ,yxz0 xo0y0M0( ,)f x y0(, )f xy00( ,)0 xxdf x ydx 00(,)0 xfxy 00(, )0yydf xydx 00(,)0yfxy 00( , )(,)zf x y

3、xy 函函数数在在点点即定理即定理1 1反之不真反之不真! !22:yxz 如如在在(0,0)(0,0)处两个偏导数均为处两个偏导数均为0,0,(2) 偏导数不存在的点也可能取得极值偏导数不存在的点也可能取得极值. .说明说明:(1) :(1) 使一阶偏导数使一阶偏导数都都为为 0 0 的点称为的点称为驻点驻点. . 但驻点不一定是极值点，但驻点不一定是极值点，例如例如, ,在在(0,0)(0,0)取得极大值取得极大值. . 22yxz 定理定理1 1：一阶偏导数存在的极值点必为驻点。：一阶偏导数存在的极值点必为驻点。但但(0,0)(0,0)点不是极值点。点不是极值点。20limxxx 极值点

4、必在驻点和一阶偏导数不存在的点中取得极值点必在驻点和一阶偏导数不存在的点中取得. .+ 0(0,0)(0,0)limxfxfx 0|limxxx 时时, , 具有极值具有极值定理定理2 (2 (极值存在充分条件极值存在充分条件) )的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, , 且且令令则则: :1) 当当A0 时取极小值时取极小值. .2) 当当3) 当当时时, , 没有极值没有极值. .时时, , 不能确定不能确定 , , 需另行讨论需另行讨论. .若函数若函数的的在点在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000 yxfyxfyx),(, ),(

5、, ),(000000yxfCyxfByxfAyyyxxx 02 ACB02 ACB02 ACB驻点驻点为为 ),(00yx如何判断一个驻点是否为极值点？如何判断一个驻点是否为极值点？二元函数求极值的步骤二元函数求极值的步骤:00. 1yxzz解：解：123kpppp得得驻驻点点 、 、。CBA,. 2 求求的符号。的符号。处验证处验证在在ACBDpii23.0,iiDAp 若若由由 的的正正负负号号判判定定 为为极极大大极极小小值值点点。例例1.1. 求函数求函数的极值的极值. .yxyxyxz222221.zxyx )0 , 1(有唯一驻点有唯一驻点222.20(1,0)zAx 21(1,

6、0)zBx y 222(1,0)zCy 03412 ACB0, 0. 32 AACB为极小值点。为极小值点。)0 , 1(121极小值极小值且且z解:0 21zxyy 0 例例2.2. 求函数求函数得驻点得驻点: : (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .在点在点(1,0) 处处为极小值为极小值; ;1.1.解解ABC ),(yxfx2369xx ),(yxfy236yy的极值的极值. .2.2.求二阶偏导数求二阶偏导数, ,即即A,B,C,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 A,0 B,6 C,0722 ACB5)0,

7、1( f,0Axyxyxyxf933),(2233解:0 0 在点在点( 3,0) 处处不是极值不是极值; ;在点在点( 3,2) 处处为极大值为极大值. .,66),( xyxfxx,0),( yxfyx66),( yyxfyy,12 A,0 B,6 C,0722 ACB)0,3( f6,0,12 CBA31)2,3( f,0722 ACB,0 A在点在点(1,2) 处处不是极值不是极值; ;6,0,12 CBA)2,1(f,0722 ACBABC二、最大值二、最大值,最小值最小值函数函数 f 在有界闭域上连续在有界闭域上连续函数函数 f 在有界闭域上可达到最值在有界闭域上可达到最值 最值可

8、能点最值可能点 驻点及偏导数不存在的点驻点及偏导数不存在的点边界上的最值点边界上的最值点依据依据-有界闭域上的最值问题有界闭域上的最值问题223223( , )33( , )|16,0.f x yxyxDx yxyx例例求求在在上上的的最最小小值值内的极小值。内的极小值。在在求出求出Dyxf),()1( , )xfx y 263xx ( , )yfx y 6y得驻点得驻点: : (2, 0) , (0, 0) 。2266zxx 20zx y 226zy 在点在点(2,0) 处处0 B6 C6 A0362 ACB在点在点(0,0) 处处0 B6 C6 A0362 ACB(0,0)为为极极小小值值

9、点点。0)0 , 0( f且且解:0 0 221(2)( , )( , )|16,0f x yLx yxyx求求出出在在边边界界上上的的最最小小值值。331( , )3 1648Lf x yxx 限限制制在在边边界界上上函函数数为为3( )480,4g xx下下面面就就讨讨论论一一元元函函数数在在区区间间上上的的最最小小值值。2( )3g xx 30( )48xg xx为为函函数数的的驻驻点点3(0)48, (4)48416gg 又又.16),( 为为限制在边界上的最小值限制在边界上的最小值故故yxf2(3)( , )( , )|0, 44f x yLx yxy 求求出出在在边边界界上上的的最

10、最小小值值。22( , )3Lf x yy 限限制制在在边边界界上上函函数数为为2( )3440h yyy易易见见在在的的最最小小值值为为 (1),(2),(3)结结合合的的 讨讨论论可可知知，( , )4,016f x yxy在在处处取取得得最最小小值值，且且最最小小值值为为。在求解在求解实际问题实际问题的最值时的最值时, ,如果从实际意义知道所求如果从实际意义知道所求函数最值存在函数最值存在, , 且且只有一个只有一个驻点驻点P P 时时, , 则该驻点就则该驻点就是函数所求的最值点。是函数所求的最值点。 ( , )f x yD若若函函数数在在闭闭区区域域 内内部部的的唯唯一一驻驻点点且且

11、极极值值点点不不一一定定是是其其在在整整个个闭闭区区域域上上的的最最值值点点。223( , )33f x yxyx 2222( , )|16,(2)1Dx yxyxy在在区区域域内内(0,0),有有唯唯一一的的驻驻点点且且为为极极小小值值点点，(4,0)16f 但但最最小小值值为为例例4.4.求最大利润求最大利润. .某企业生产两种商品的产量分别为某企业生产两种商品的产量分别为x单位和单位和y单位单位, ,利润函数为利润函数yxyxxL由极值的必要条件有：由极值的必要条件有：0483204464xyLyxLyx)24,40(有唯一驻点有唯一驻点(40,24)故故点点为

12、为最最大大值值点点。1650)24,40(L最大值为最大值为4024则则该该企企业业生生产产两两种种产产品品产产量量分分别别为为和和单单位位时时有有最大利润为最大利润为16501650单位单位. .解:三、条件极三、条件极( (最最) )值值极极( (最最) )值问题值问题无条件极无条件极( (最最) )值值: :条件极条件极( (最最) )值值 : :对自变量只有定义域限制对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外对自变量除定义域限制外, ,还有其它条件限制还有其它条件限制,( , )0 x yx y 对对有有约约束束的的极极( (最最) )值值, ,0,10,x yx yS如如例例：矩矩

13、形形的的两两条条边边长长分分别别为为且且 矩矩形形的的面面积积 最最大大为为多多少少？, ,0,10,20 x yx yS矩矩形形的的两两条条边边长长分分别别为为且且周周长长为为，矩矩形形的的面面积积 最最大大为为多多少少？Sxy Sxy 0,10 x y 0,10 x y 2()20 xy 方法方法1 1 无条件化无条件化. .( , )0( ),x yyx由由方方程程解解出出),(yxfz 将其代入将其代入 , ( ),xzf xx 得得 的的一一元元函函数数再求它的无条件极值。再求它的无条件极值。基本思想是把条件极值问题化为无条件极值问题基本思想是把条件极值问题化为无条件极值问题, ,0

14、,10,20 x yx yS例例：矩矩形形的的两两条条边边长长分分别别为为且且周周长长为为，矩矩形形的的面面积积 最最大大为为多多少少？解解：2()20 xy 10yx 010 x Sxy (10)xx =5,(10)(0,10)25.xSxx容容易易求求得得当当时时在在上上有有最最大大值值,0),(下下在约束条件在约束条件yx 方法方法2 2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法. .),(的极值的极值求函数求函数yxfz 模型模型: :步骤：步骤：),(),(),(. 1yxyxfyxL 令令 0),(00. 2yxLfLfLyyyxxx 解解000(,).xy 得得驻驻点点003.(,)xy 是

15、是否否极极值值点点，可可由由实实际际情情况况判判断断。L 拉拉格格朗朗日日函函数数 拉拉格格朗朗日日乘乘数数225.(),( , )61642()200012000ABxyL x yxxyy例例 设设某某工工厂厂生生产产 和和 两两种种产产品品，产产量量分分别别为为 和和千千件件 利利润润函函数数为为单单位位：万万元元 。已已知知生生产产这这两两种种产产品品时时，每每千千件件产产品品均均消消耗耗某某种种原原料料公公斤斤，现现有有该该原原料料公公斤斤，并并要要求求全全部部用用完完。问问两两种种产产品品各各生生产产多多少少千千件件时时，总总利利润润最最大大？最最大大总总利利润润为为多多少少？解解：

16、 2000()12000,xy此此问问题题实实际际上上是是求求在在( , )L x y利利润润函函数数的的最最大大值值。 22( , , )( , )(6)61642(6)F x yL x yxyxxyyxy 令令60 xy也也即即的的条条件件下下，620168060 xyFxFyFxy 解解19 11 8(, )555得得唯唯一一驻驻点点191119 11111,(,)55555xyLL因因此此当当时时 有有最最大大值值推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形个约束条件的情形. . 设设解方程组解方程组例如例如, , 求函数求函数下的极

17、值下的极值. .在条件在条件),(zyxfu ,0),( zyx 0),( zyx ),(),(),(),(2121zyxzyxzyxfzyxL 021 xxxxfL 021 yyyyfL 021 zzzzfL 01 L01 L可得到可得到 的可能的极值点的可能的极值点 . ),(zyxfu 26.2().Vxyzxyyzxza例例 求求的的极极大大值值，且且)222(. 12xzyzxyaxyzL 令令 02220)(20)(20)(2. 22xzyzxyaLxyyxLzxxzLzyyzLzyx 令令zyx由前三式可得由前三式可得6.6xyza代代入入约约束束条条件件得得.3663maxaV故故解:一、二元函数求极值的步骤一、二元函数求极值的