法向量的应用

1、法向量的应用概念：与平面垂直的向量就称为平面的法向量。主要应用：证线面平行，证面面平行，证线面垂直，证面面垂直， 求线面角，二面角，求点到平面的距离，异面直线的距离等等。一 证线面平行方法：证直线上的一条方向向量与平面的一条法向量垂直。例题：如图（2），已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面 互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，AyzxCDFE且BM=BD，AN=AE， 求证：MN平面CDE NMB证明：以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,且设AB=3a,AD=3b,AF=3c,则有B（3a,0,0）,D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c)所以 =（

2、-3a,3b,0）,=(0,-3b,-3c)=(-a,b,0), =(0,-b,-c)所以 ,又平面CDE的一个法向量是=（0，3b，0）,由=（2a,0,-c）（0，3b，0）=0,所以又MN不在平面CDE内，所以MN平面CDECBAOC1B1O1A1EFyxzF1二 证面面平行E1方法：证两个平面的法向量平行。例题：如图，正方体中，是中点，求证：平面平面证明：设分别是平面，平面的一条法向量，设正方体的棱长是2则E（2，1，0），F（1，2，0），（2，2，2），（1，0，2）（0，1，2），所以 ， ，由和 求得 ， ， 所以 所以， 所以两个平面平行。三 证线面垂直方法：证直线上的方向向

3、量与平面的法向量 平行。例题：如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，边长AB=2，E，F分别是， DC的中点。求证：D1F平面AED；zxy证明：建立空间直角坐标系D-xyzABCDA1B1C1D1EF 则 A（2，0，0），E（2，2，1）， F（0，1，0），设是平面DAE的一条法向量则由 求得 因为，所以D1F平面AED四 证面面垂直方法：证两个平面的法向量垂直。zPDCBA例题：如图四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形， ABDC，PA底面ABCD， 且PA=AD=DC=AB=1y 求证：面PAD面PCDx 证明：建立空间直角坐标系A- xyz,因为PA=AD=DC=AB=1所以

4、B（0，2，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）则 ， ， 设是平面PCD的一条法向量则由 得 又容易证得是平面PAD的法向量又， 所以面PAD面PCD五 求线面角方法：设直线与平面成的角为，直线的方向向量与平面的法向量成的角为，则有 例题：如图，正方体，求 所成的角。分析：建立空间直角坐标系, 求出平面的一条法向量，再求 ， 所以六 求二面角方法：设为两个平面的法向量， 为二面角的平面角，则符号取决于是锐角还是钝角。zxyFEA1O1B1C1OABC例题：如图，正方体， 求二面角的大小。分析：建立空间直角坐标系O-xyz, 可求得平面 和平面的 法向量分别是（-1，1，

5、1）， 又由图可知该平面角为锐角MN所以 七 求点到平面的距离方法：在平面内取一点N，设平面的法向量为，则向量在方向上的射影的绝对值即为点M到平面的距离d=, 例题：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC平面ABCD，且GC2，求点B到平面EFG的距离分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，由此，建立空间直角坐标系Cxyz 则可写出各点坐标，从而求得 平面GEF的一条法向量是=（1，1，3） =（0，-4，2），求得d=M八 求异面直线的距离方法： 在异面直线上取两点M，N，是的法向量，则在方向上的投影N的绝对值即为异面直线的距离。 即 d=例2已知正方体ABCD的棱长为1，求直线与AC的距离分析：如图，建立空间直角坐标系xyz，则有，设n是AC与的法向量，则又n，n，可求得n=(1,1,-1) , 所以 =即