泰勒公式的证明与应用

1、本科生毕业论文（设计）册学院专业班级学生指导教师论文编号目录中文摘要、关键词（）绪论 （1）一、 泰勒简介（1）二、泰勒公式的证明（2）2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式（2）2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式（3）2.3几种常见函数的展开式（4）三、泰勒公式应用（5）3.1应用泰勒公式求极限（5）3.2利用泰勒公式证明不等式（7）3.3利用泰勒公式判断级数、积分的敛散性（11）3.4利用泰勒公式证明根的唯一存在性（13）3.5 利用泰勒公式证明函数极值(14)3.6利用泰勒公式近似计算求值（14）3.6.1 对函数的近似计算 （14）3.6.2求高阶导数在某些点的数值 （16）3.6.3求行列

2、式的值（17）参考文献（20）英文摘要、关键词（）泰勒公式的证明与应用摘要 本文主要介绍了泰勒公式及其常见的几个函数展开式。在微积分学中，泰勒定理，是给出了一个近似k次可微函数，通过给定k-阶泰勒多项式点周围。对于解析函数在某一点的泰勒多项式是有限阶泰勒级数，这完全决定在一些点附近的函数。泰勒公式的初衷也就是用多项式来近似表示函数在某一点周围的情况，从而可以将复杂的函数在定义域内某一具体点展成我们熟悉的多项式，也即用一个多项式函数去逼近原函数，将误差控制在我们需要的范围内，从而更加有利于我们简化计算、思维方式，从而得到我们想要的答案来解决问题。以下我们针对泰勒公式讨论8个问题，即泰勒公式的表达

3、形式，泰勒公式的证明，几种常见函数的泰勒展开式，应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性，判断函数极值。关键词 泰勒多项式 极限 不等式 收敛泰勒公式及其应用绪论对于一些比较复杂难以处理的函数,为了方便研究,我们往往希望用一些简单的函数来近似地表达。我们知道多项式函数是最为简单的一类函数,它只要对自变量进行有限次的加、减、乘三种算术运算,就能求出函数值。因此,多项式函数经常被用于近似地表达函数,这种近似表达在数学上常称为逼近法。 英国著名数学家泰勒（Taylor. Brook, 1685-1731）在这方面作出了不朽的贡献。他的研究结果表明: 存在直到阶导数的函数在

4、一个点的邻域内的值可以用函数在该点的函数值和各阶导数值组成的次多项式构成的级数近似表达。 本节我们将介绍泰勒公式及其简单的应用。泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学领域问题的有力杠杆。为此通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真地演算,其中少数难度较大的题目的证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,采用了大量的例题进行讲解说明的。一、泰勒（Taylor, Brook，16851731）简介泰勒(Taylor,Brook

5、)是英国著名的数学家。1685年8月18日出生在英格兰德尔塞克斯郡的埃德蒙顿市，1731年12月29日卒于伦敦。泰勒出生于英格兰一个富有且有点贵族血统的家庭。父亲约翰来自肯特郡的比夫隆家庭。泰勒是家中长子。进大学之前，泰勒一直在家里读书。泰勒全家尤其是他的父亲，都特别喜欢音乐和艺术，经常在家里招待艺术家。这对泰勒一生的工作造成的极大的影响，从他的两个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法，就可以看出来 。1701年，泰勒进剑桥大学圣约翰学院学习。1709年，他获得法学学士学位。1714年获法学博士学位。1712年，他被选为英国皇家学会会员，同年他进入促裁牛顿和莱布尼兹发明微积分优先权争论委员会

6、。从1714年起担任皇家学会第一秘书，1718年以健康为由辞去这一职务。泰勒后期的家庭生活是不幸的。1721年，因和一位据说是出身名门，但没有财的女人结婚，遭到父亲的严厉反对，他只好离开家庭。两年后，妻子在生产中死去，才又回到家里，1725年，在征得父亲同意后，他第二次结婚，并于1729年继承了父亲在肯特郡的财产。1730年，第二个妻子也在生产中死去，不过这一次留下了一个女儿。妻子的死深深地刺激了他，第二年他也离去了，安葬在伦敦圣.安教堂墓地。由于工作及健康上的原因，泰勒曾几次访问法国并和法国数学家蒙莫尔多次通信讨论级数问题和概率论问题。1708年，23岁的泰勒得到了“振动中心问题”的解，引起

7、了人们的广泛注意，从1714年到1719年，是泰勒在数学丰产的时期。他的两本著作：正和反的增量法及直线透视都出版于1715年，它们的第二版分别出于1717和1719年。从1712到1724年，他在哲学会报上共发表13篇文章，其中有些是通信和评论。文章中还包含毛细管现象、磁学及温度计的实验记录。在生命的后期，泰勒转向宗教和哲学的写作，他的第三本著作哲学的沉思在他死后由外孙W.杨于1793年出版。泰勒的著名贡献：泰勒以微积分学中将函数展开成无穷级数的定理著称于世。这条定理大致可以叙述为：函数在一个点的邻域内的值可以用函数在该点的值及各阶导数值组成的无穷级数表示出来。然而，在半个世纪里，数学家们并没

8、有认识到泰勒定理的重大价值。这一重大价值是后来由拉格朗日发现的，他把这一定理刻画为微积分的基本定理。二、泰勒公式的证明2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式定义：=（1）,称为函数在在点出的泰勒（Taylor）多项式，的各项系数（k=1,2，n）称为泰勒系数。当=0时,（1）式变成,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式。引入：我们在学习导数和微积分时，我们知道如果在点出可导则有=+（x-）+。即在点附近，用一次多项式+（x-）+逼近函数时，其误差为（x-）的高阶无穷小量。在很多情况下，往往要取多次多项式来逼近原函数，以达到精良，把误差降到可控范围内。下面我们来证明下：若函数在点存在直到n阶导数，

9、则有=+，也即若在出存直到阶导数，有：成立证明：设=，=,现在只需验证明 =0函数在点存在直到阶导数，又知易知=, ，因为=0 而所以是，根据洛必达法则有：由题意存在，所以函数在某邻域存在（n-1）阶导数，于是，当且,可以使用洛必达法则（n-1）次，于是得到： 这就证明了命题的成立。2.2带有拉格朗日型余项的泰勒公式泰勒定理：若函数在a,b上存在直到n阶的连续导数，在（a,b）内存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的，a,b，至少存在一点（a,b），使得=证明： ， 既要证不妨令，则和在,上连续，在（,）上可导，。又因为=0,所以由柯西中值定理得，这里（,）（a,b）证完。=（）叫做（带有拉格

10、朗日型余项的）麦克劳林公式。同样的那么同样条件下，带有佩亚诺型余项的麦克劳形公式概念就很容易得到了，下面就是一些初等函数的（带有佩亚诺性余项的）麦克劳林公式，你有什么发现呢？2.3几种常见函数的展开式（带有佩亚诺性余项的）麦克劳林公式称为（带有佩亚诺形余项的）麦克劳林（Maclaurin）公式利用基本初等函数的幂级数展开式,通过加减乘等运算进而可以求得一些较复杂的初等函数的幂级数展开式，从而将问题转换为我们熟悉的情形。例2.3 求的幂级数展开式.解：根据泰勒公式，我们可得 ：由此，我们可以很直观的写出用级数表示的式子，反过来这个级数也可以用函数表示出来，这个结论在以后的计算中会经常用到。三、泰

11、勒公式应用3.1应用泰勒公式求极限读者往往在处理极限问题是，会遇到这样的麻烦，当所要证明的不等式中含有多项式和初等函数的复合形式,这里不妨作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便简捷，从而简化计算过程，方便数据处理。例3.1.1写出f(x)=的麦克劳林公式，并求与。解：用题中替换公式（1）中的x，得到：=由此可知，求导可知奇数次导数为零。由泰勒公式系数的定义，在上述f(x)的麦克劳林公式中，与的系数分别是 ，所以 = ，=0这是一道简单计算，根据定义很容易求解。例3.1.2求极限.初步观察式子可知这是一个型极限,可以用洛比达法求解，这里我们用泰勒公式求解，这时可将和分别用泰勒展开式代替，

12、化简一下，你有什么发现呢？解：由,可得,所以.解：。这道题的结果可以引起我们的兴趣，当时，由于sin，可知nN时，。这两个互为等价无穷小的函数，它们倒数之差的极限为。例求极限；分析:这道题如果不用泰勒公式，也可以直接用洛必达法则，但必须要用六次洛必达法则，而且导数越求越复杂。如果用泰勒公式就会方便得多。取在点，余项形式也应该肯定是佩亚诺型余项。可问题是展开的阶数是几？我们只有化简式子试试，首先将分子上函数进行展开，为此写出和的泰勒展开式的第一项是1，的第一项是，所以的第一项是，和后面的消去了再将它们展开一项，得到的前两项是，所以还要将它们再展开一项。对于分母也是一样。解， ，原式3.2利用泰勒

13、公式证明一些不等式当证明的不等式是含有多项式和初等函数的交杂在一起时后,可以作一个辅助函数并用泰勒公式代替,往往使证明方便，简化计算。例3.2.1当时,证明。证明： 由于我们取,则带入泰勒公式,其中=3,得，其中.0故：当时,.借助泰勒展开式，解决不等式证明又多了一种方法。例3.2.2 设0<<，证明不等式<<成立。分析：这道题看起来很困难，首先将不等式化简，以方便我们得出解题的思路。其次，我们要根据结果构造函数，然后利用泰勒公式展开式解答。证明 ： <<转化为：令，。则只需证明即可。而，。应用泰勒公式可知，存在使 ，从而当时，=0+2>2(-1)。

14、即(1)得证。对于(2)，因为，所以=0,(v>1)，即(2)得证。例3.2.3设(x)在,b上单调递增的函数，并且(x)>0，证明<。分析：(1)因为不等式的右边出现了()与(b)，这就提示了我们选择=,=b分别按泰勒展开式。(2)由知(x)>0，对于高阶的导数我们还不知道情况，所以我们最多只能展到二阶导数为止。证明：对,，(x)在点处的泰勒展开式为：=+，()。 因为>0，所以(x)>+。令x=,x=b则>()+()(-)，(b)>()+()(b-)。则()+()>2()+(+)()-2()。再对不等式两边同时在,求积分得：不等式左边=

15、(b-)()+(b)不等式右边=2()+(+b)()-2()=2()+(+b)(b)-()-2-()=(b-)()+()+4()化简得()+()(-)>2()。故()<(-)()+(b)成立。例设函数()在0,1上二次可微，且(0)=(1)=0，()=-1，试证明存在一点(0,1)，使()8。分析：已知函数()在0,1上是二次可微，且最小值为-1不等于0，所以在(0,1)内一定有极值点，且在该点的导数为0，题中可知函数是二次可微函数，我们可以想到使用泰勒公式将函数展开，而要证明的不等式的右边是一个常数，故选在最小值点处的泰勒展开式展开。解：不妨设(0,1),为()在0,1上的最小值

16、点，则=-1，=0，()在处的泰勒公式： =+()+=-1+0+其中是介于与之间的某个值。当=0时，(0)=-1+=0，即=。当=1时，(1)=-1+=0,即所以，当时，=8 当时，=8。由以上，一定存在一点(0,1)，使得8。3.3利用泰勒公式判断级数、积分的敛散性在处理一些级数收敛性问题时，经常会遇到这样的情况，也即当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的形式时,往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式,方便我们来利用判敛准则。例3.3.1讨论级数的敛散性。分析：首先我们发现直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难,因而也就无法恰当选择判断收敛方法,细心观察可以注意到,如

17、果将其泰勒展开为的幂的形式,正好可以消去,会使判断收敛更加容易进行.解 由可以得到, +所以,所以故可以判断级数是正项级数,所以.因为收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数是收敛的，证完。例3.3.2 研究广义积分的收敛性。解：+-2 =(+-2)再利用泰勒公式将和展开得：=1+o=1-+o+-2=，因此=1由于收敛，所以也是收敛的。例3.3.3判断积分的收敛性。 解：因为=，所以得到x=0是瑕点，由比较判别法可知，=，其中0<<，当P<1时，收敛；1时，发散。= 所以=6，所以=1。所以广义积分发散。3.4 利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4.1设在上的二阶可导函数,且

18、,对,证明：在内存在唯一实根.分析：这里f(x)是一个抽象函数,直接讨论的根会有困难,由题设f(x)在上二阶可导且,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式,然后设法应用戒指定理证明.证明：因为,所以单调递减,又因为,因此当x>a时,所以f(x)在上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公式有。由题设,于是有,因而必存在,使得,又因为,在上应用连续函数的介值定理,存在,使,由f(x)的严格单调性可知唯一,因此方程在内存在唯一实根。3.5 利用泰勒公式证明函数极值泰勒公式的应用中，怎样泰勒公式的相关知识证明函数极值的第二充分条件，以下给出了一种证明思路例3.5设在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,

19、且,。(i) 若,则在取得极大值。(ii) (ii) 若,则在取得极小值。证明 由条件在的某邻域内一阶可导,在处二阶可导,且,，可得f在处的二阶泰勒公式：.由于,因此 (a)又因,所以存在正数,当时,与同号。即当时,(a)式取负值,从而对任意有,所以在取得极大值。同样道理对,可得在取得极小值。3.6利用泰勒公式近似计算求值对函数的近似计算利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算,利用麦克劳林展开得到函数的近似计算式为：,其误差是余项.下面我们来估算一下。例 .1 计算Ln1.2的值,使误差不超过0.0001解 首先写出f(x)=带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式为：,其中（是在0

20、与之间）。当,要使那么取即可。因此：。当要求的算式不能得出它的准确值时侯,即只能求出近似值,这时，泰勒公式是解决这种问题的最好方法。例.2 求的近似值,精确到。解 因为中的被积函数是不可积的（也就是说不能用初级函数表达）,现用泰勒公式的方法求的近似值。在的展开式中若以代替 x可得然后逐项积分,得上式右端为一个收敛的交错级数,由其余项的估计式知所以例.3计算的值，要求使其误差不超过.解：,由,由泰勒公式：有:故,当时,便有从而略去而求得的近似值为这些习题体现了泰勒公式在进行近似的计算作用，还体现了泰勒公式可以对于近似计算中的误差进行分析，说明了泰勒公式在近似计算中的重要作用。求高阶导数在某些点的

21、数值如果f(x)的泰勒公式已知,其通项中的加项的系数正是,也就是可反过来求高阶导数数值,而不必再依次求导。如下题：例 求函数在x=1处的高阶导数。解 设x=u+1,则有,在u=0的泰勒公式是,从而,而g(u)中的泰勒展开式中含的项应为,从g(u)展开式知的项为,因此：,。求行列式的值若一个行列式可以看做是x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处展开,利用这一方法可求得一些行列式的值。例 求n阶行列式D= （a）解 记,按泰勒公式在z处展开得：, （b）（c）由（c）得,.根据行列式的求导规则有：于是在处的各阶导数是：,把以上各导数代入（b）式中,有若,有,若,则有。参考

22、文献1华东师范大学数学系：数学分析（上）：高等教育出版社,1981.2 刘玉琏 、傅沛仁：数学分析讲义【M】.北京：人民教育出版社,2000.3王向东：数学分析的概念和方法上海：上海科学技术出版社,1989.4同济大学数学教研室主编.高等数学【M】.北京：人民教育出版社,1999.5 张自兰 、崔福荫：高等数学证题方法陕西：陕西科学出版社,1985.6张天虹.  泰勒公式在解题中的研究J.  数学教学与研究，2009（51）：94-957龚冬保.  高等数学研究, 2008(05)8赵小祥. 泰勒公式的证明及其应用推广J. 科技风，2008.0

23、3：51-52,549潘劲松. 泰勒公式的证明及应用J. 廊坊师范学院学报(自然科学版)，2010.04The proof and applications of Taylor formulaAbstract This paper briefly introduces the Taylor formula and the expansion of several common functions. In calculus, Taylor's theorem gives an approximation of a k times differentiable