泰勒定理及其应用

1、毕 业 论 文 目 录题目.2摘要.2关键词.2一、 泰勒定理的证明.2二、 泰勒定理的推广.7三、 泰勒定理的应用.8参考文献.17英文摘要.17泰勒定理及其应用谢玉荣(200311533)(数学科学学院数学与应用数学专业03级蒙班)指导老师：斯钦摘要:本文介绍了泰勒定理的几种不同的证明方法其中包括一个新的证明，并且讨论了推广和应用.关键词:Taylor公式 推广 极限 近似值 等式不等式本文介绍了泰勒定理的三个不同的证明和一些应用,泰勒定理在数学领域中占有十分重要的地位,在微积分中很多不易解决的问题都可以通过Taylor公式与泰勒级数来解决,本文着重介绍了Taylor公式的几个应用从这个应

2、用可以看出他们的用处是很广泛的.一、 定理的证明积分第一中值定理 设、都在上可积并且不变号，mM.则有常数满足mM,=如果还是在上连续的,则至少有一点使:=,积分中值定理如果函数在闭区间上连续,则在上至少存在一点使得下式成立:= （b-a） ,牛顿莱布尼兹公式如果函数F(x)是连续函数在区间上的一个原函数则 =F(b)-F(a)泰勒定理如果函数在含有点的某区间内具有一阶直到n+1阶的连续导数则当时可以按的方幂展开为=+(1)其中=称为余项公式(1)称为n阶Taylor公式.=,介于与之间这时称为拉格朗日型余项.=称为皮亚诺型余项.证明一:利用上面几个定理证明泰勒定理在区间内具有一阶直到n+1阶

3、的连续导数所以,则在上具有一阶直到n+1阶的连续导数（不妨设<）,由积分中值定理与牛顿莱布尼兹公式可得:,在与之间,=即=+,在与之间又由积分中值定理与牛顿莱布尼兹公式得: , 在与之间 所以=对不同的（<）在上都有=由此可得=是的函数,类似可得也是的函数将等式=两边取到的积分得:=而=对因为是的函数且不变号由积分第一中值定理得=其中mM(m与M分别是在上的最小值与最大值)于是=在上连续由连续函数的介值定理和最小值与最大值定理知至少存在一点使得=.即=从而 =即=+,在与之间同理有,在与之间 所以 =,在与之间，将等式两边取到的积分得:=在与之间 , 上式两边再取到的积分得：=,在

4、与之间，重复上述过程最后得:=+其中=,在与之间,未必相同，但他们都在与之间记=所以=,在与之间.证明二:利用柯西中值定理证明泰勒定理作辅助函数: =+与 , 无妨设<则函数在上具有一阶直到n+1阶的连续导数并且在上的各阶导数均不为零我们可以在上逐次应用柯西中值定理得到定理的证明，上面作辅助函数时把换成变量然后n+1次应用柯西中值定理,若作辅助函数时把换成变量只应用一次柯西中值定理即可.即=+与=显然函数在上连续可导且及于是有所以证明三：证明前我们先看一个引理引理 设函数满足：() 在上存在直到n阶的连续导数；()在内n+1阶可导；()，且=（或者，且=0）那么在内至少存在一点使得=0.

5、下面我们将给出泰勒定理的一个新证明由条件,在与之间不妨设=+(2)那么在上存在直到n+1阶的连续导数且注意到(2)有，从而由引理可知存在使得，这里在与之间,而故有，所以带入(2)得=+,在与之间 , 即定理成立.说明：在公式(1)中当n=0时有=+这正是拉格朗日中值定理，所以泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.当=0时记=则公式(1)为=+(3)其中= 公式(2)称为麦克劳林公式.二、 泰勒定理的推广定理 设、在()内存在直到n+1阶的连续导数，且0，(),那么对()有=+(4), 其中=,在与之间.(其中()是的去心邻域).证：首先假设()有0,(=0,1,2,n)否则将于引理矛盾，故先设

6、(5),那么由题设知在上存在直到n+1阶的连续导数且，依引理知存在使得，这里在与之间而注意到故有结合0，就有,带入(5)得即知定理成立.三、 定理的应用1. 计算极限例1. 求下列极限.解：因分子关于的次数为2 ，所以例2.求 分析：本题是“”型，可以利用洛比达法则求极限，但比较复杂，现在利用公式求解.解：所以 从而有又当时故 例3.证明 证：已知两式相减有即令得即又其中 , 则于是有.例4.设函数在上二次连续可微，如果存在且在上有界，试证。 证：要证即要证明当时，利用公式，即 （6） 设因有界，所以故由（6）则，首先可取充分小，使得然后将固定，因所以当时,从而所以.2.近似计算例1.计算使误

7、差不超过解：由麦克劳林公式有=（0）欲使<只需取n4于是=1.3956例2.求的近似值，精确到解：因为中的被积函数是不可积的（即不能用初等函数表示），现用公式的方法求的近似值. 在的展开式中以 代 得 逐项积分得= =上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项的估计.所以=0.746836例3.求的近似值，精确到0.0001.解：因为 =,() 所以=, ()对上式两边从0到逐项积分得=,(),令=1则有=又交错级数的误差估计取前三项之和作为近似值就可达到要求误差不超过所以=0.94613.证明不等式和等式例1.设在上有界导数，时试证时.证: 所以例2.设在上二次可微且，证明不等式。 证：不

8、妨设位非常值函数，于是由题设知对于任意及任意据公式得两式相减得因此特别取 得即例3.设二次可导函数且，而为上连续函数证明. 证：设由于为二次可导且，所以有于是 两边取0到的积分得即 例4.设在上二次可微，试证，有. 证：取，将在展开以乘此式两端然后n个不等式相加注意得 例5.设区间，任给，有，则任给时有. 分析：本题中有条件，说明具有二阶导数，所以可用的一阶公式证之。 证：在区间上任取一点，已知在区间上存在二阶导数，根据公式，任给，在的一阶公式为,（介于与之间）.已知，即任给，有令有.例6.设函数在上连续，在内可微，且满足，证明：在内至少有一点使. 证:令，由(1)得注意到，而又因此，由上述泰

9、勒展开式得,.例7.设在上三阶可导，试证：存在使得.证： 设为使下式成立的实数令，则根据罗尔定理存在使得， 即而将在泰勒展开有:其中,比较得其中得证.例8.已知函数在区间内有二阶导数且证：使得内0(7) 证明：为了 在的邻域内恒等于零我们将(7)式右端的在处按公式展开注意到我们有：=从而=(8) 今限制 则在上连续有界，使得M我们只证M0即可M=()()*2MM即0MM矛盾,所以M0,在上0.参考文献：1:方企勤.数学分析（第一册）,第一版M,北京;高等教育出版社19862:江林.数学分析中的问题和反例,第一版M,云南;云南科学出版社 19903:子寿.数学分析经典习题解析第一版M,北京;高等

10、教育出版社 19934:唐仁献.泰勒公式的新证明及其推广J,湖南;湖南科技学院学报2005,115:齐成辉.泰勒公式的应用J,陕西;陕西师范大学学报2003,46:李福兴.泰勒公式的若干应用J,梧州;梧州师专学报1997,3TAYLOR THEOREM AND APPLICATION OF THAT Xieyurong(200311533)Mathematics and ScienceAcademyMathematics and Applied Mathematics 03classes MongoliaDirected by Siqin Abstract This article introduce several kinds of methods of proving Taylor theore