浅谈空间想象力的培养

1、浅谈空间想象能力的培养岳川卜摘要: 随着现代科学技术的日新月异，人们提出了很多培养空间想象能力的具体的操作方法。如运用多媒体对几何图形进行动态演示，运用实物演示立体切割增强学生的立体感等方法。目的就是为了提高学生的数学能力,文中依据数学课程标准中对学生关于空间想象能力方面的一些要求，能过对现行状态下学生的具体学习困难，通过对前人方法的总结，同时也融入自己的见解，重新整理出了一些关于培养学生空间想象能力的建议。关键词:能力培养； 空间观念 ； 想象； 数学能力Abstract: With modern science and technology with each passing day, p

2、eople made a lot of room for imagination training specific methods of operation. Such as the use of dynamic multimedia presentation on the geometry, the use of three-dimensional cutting-kind demonstration to enhance the students a sense of three-dimensional methods. Purpose is to improve the mathema

3、tical abilities of students, the text based "mathematics curriculum standards" for students on the space capacity to imagine some of the requirements, can lead students to the existing state of the specific learning difficulties, through a summary of previous methods, but also insights int

4、o their re-sorted out some of the students to imagine the capacity of the space.Key words: Capacity-building；Space concept；imagine；Mathematical abilities义务教育数学新课程标准指出, 要让学生通过具体的观察、操作、实验、想象、归纳等一系列探究活动, 初步建立空间观念, 发展几何直觉。中学数学里的空间是一维、二维、三维的欧氏空间，即直线、平面、立体图形所反映的现实空间，至于其它抽象空间，目前还未列入中学数学的内容。所以，中学数学中的空间想象能力，

5、是指人们对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象思考和创新等活动中起调节作用的心理特性学好几何，很重要的一点就是要有强的空间想象力。我们都知道任何学科都要它的背景和应用场合。几何更是如此，它实际上就是空间各种物体间的位置关系（距离、方向）和自身几何特性的抽象。我们所学的大部分几何公理、定理，都可以从空间中找到实例（比如房屋的墙壁间平行或垂直）或者能够想象得到（比如空间两根无线长的、彼此平行的线）。既然几何是关于这样一些关系的学科，那么学好它、理解它包含的知识，就必须要在学习中运用想象力去理解这些知识，这样才能有好的学习效果。1为什么要培养学生的空间想象能力学生初学几何时，必须经历认识上的一个转

6、折由代数向几何的转变。研究对象由数转变为形，学生要由对符号信息的操作转变为对图形信息的操作；再者，思维方法由以计算为主转变为以推理论证为主，学生要由对事物间的量化分析转向对其空间形式的定性分析上来。由于对这种转变的不适应，学生的学习就变得举步维艰，中学几何课很快就进入论证阶段，而这时许多学生的智力发展水平还未达到形式逻辑运算阶段，因此，对于形式的、严格的逻辑推理，他们理解起来就感到很困难，特别对某些看起来明显的事实需要进行数学证明就更感困惑。不习惯几何学中的推理论证，不会使用几何语言进行叙述，由此导致对几何学习产生畏惧的情绪。随着学习的不断深入，几何概念的日渐增多，推理论证的要求更高，上述情况

7、会更加严重，尤其当几何知识的学习从平面拓展到空间时，学生更不适应，多数学生会出现以下问题：概念不清，仅注意概念中较明显的特征图形中各元素关系理解错误解题思路不灵活，在解答几何题时，思路单一，缺少变通能力，不能灵活、快捷地解答问题这些问题终归结为学生的空想象能力差，数学素质培养不够。由此可见，培养学生的空间想象能力是极其重要的。苏联A.H.柯尔莫戈洛夫院士在谈到数学教学中直觉的作用时曾指出：“在只要有可能的地方，数学家总是力求把他们研究的问题，尽量地变成可借用的几何直观的问题，几何想象或如同平常人们所说几何直觉对于几乎所有数学分科的研究工作，甚至于最抽象的工作，有着重大意义。”柯尔莫戈夫的话表明

8、，几何想像能力在数学研究中具有重要意义，同时也说明空间想像能力是一种重要的数学能力2关于空间想象能力培养的分析数学空间想象能力指正确运用空间或图像反映和掌握事物的空间特性和关系的能力。空间图形的想象是在对实物模型进行观察、分解组合、抽象概括的基础上,通过按一定规则做出图形和由图形想象出它的空间形状、大小、位置关系而形成的。空间想象能力和观察、概括、逻辑思维能力紧密联系,是学生学习、掌握和运用数学必须具备的能力之一。想象是把已有的意象进行分解后而实现的新结合想象在空间想象能力的培养过程中起着相当重要的作用，空间主要是研究现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换。空间想象能力的培养

9、，首先要在学生的认知体系中形成一种良好的空间观念，在发展学生空间观念的过程中，使学生的空间想象能力得到提高。空间观念是在空间知觉的基础上形成起来的，是指对物体的方向、距离、大小和形状的知觉，是客观世界空间形式在人脑中的表象。学生从空间知觉到空间想象能力的发展中，是以空间观念为表象的。而空间观念的形成，又是一个长期培养、逐步形成的过程。因此，采用一种有效的途径帮助学生建立空间观念，是发展学生空间想象能力的关键环节。2.1观察是培养学生空间观念的基本方法数学课程标准要求初中学生: 会画基本几何体( 直棱柱、圆柱、圆锥、球) 的三视图( 正视图、左视图、俯视图) , 会判断简单物体的三视图。观察是培

10、养生空间观念的基本方法, 教师必须要在教学中逐步引导学生学会观察, 让学生经历观察的过程, 学习观察的方法, 形成自己的体验。2.2操作是培养学生空间观念的重要手段空间观念的形成仅靠观察是不够的, 教师必须借助于几何体的自然存在性, 引导学生动手操作, 在操作中体会生活中几何体的特性, 在研究中发现其中的数学道理, 逐渐积累空间感知。2.3. 想象是培养学生空间观念的必要途径心理学上认为:想象是人脑在感性形象的基础上创造出新形象的心理过程。感知和记忆是想象的基础,记忆表象(介于知觉与思维的中间环节)是想象的素材,而想象是对记忆表象的改组、重建。数学课程标准要求初中学生: 能由实物的形状想象出几

11、何图形, 由几何图形想象出实物的形状; 进行几何体与其三视图、展开图之间的转换。为了实现上述目标, 除了观察、操作外,还必须教会学生学会想象。学生展开想象是从实物模型向数学模型的升华、感知空间向思维空间的飞跃, 所以想象是培养学生空间观念的必要途径, 这是一个十分艰巨的任务。教师要经常创设问题情境, 引导学生展开想象, 调动学生思维的积极性, 从而进一步建构空间观念。空间观念的形成，有助于学生初步的空间想象能力的培养。几何观念的大量积累,可以进一步抽象出“点”、“线”、“面”的形象,使学生逐步脱离图形、模型而依靠抽象的点、线、面对头脑中的几何表象进行改造,形成新的几何形象,这就是初步的空间想象

12、能力。空间观念是空间想象能力的基础,空间想象力是空间观念发展的结果。3培养空间想象能力的一些基本方法3.1加强基础知识的教学力度空间的基础知识，是空间想象力的重要因素，是学生进行想象的基础。中学数学中的想象，是对物体的形状、结构、大小和位置关系的想象。基础知识犹如万丈高楼的奠基石，所以，要培养学生的空间想象能力，必须让学生学好有关空间的基础知识。中学数学中的有关空间的知识，除了几何知识外，还包括其他的内容，如数轴、坐标法、函数图象、三角函数的几何意义、方程与曲线等等。这些知识是否牢固掌握，直接决定了空间想象能力的培养是否顺利。基础知识与基本技能力掌握不牢固影响能力的提高，这是一种常见的情况。我

13、们来看一下这样的两个例子：图1例3.1.（a）: 半径为的球面上有 三点，与,与的球面距离都是, 与的球面距离是,则过 三点的截面到球心的距离是多少?分析:要解答这个题目,首先就要学会画图.画出图形,（如图1）利用球面距离这一基本概念,想象出三点在球面上的位置,以及它们相对于球心的位置，所求问题转化为求三棱锥中的顶点到面的距离，利用等体积变换可知，易得点到面的距离。这其中，包含有最基本是画图，还包含球面距离的概念，等体积变换的方法，棱锥体积计算公式，基本的数学运算，这几样当中只要有一样没掌握好，都直接影响答案的正确与否。图2例3.1.(b):如图2所示:四棱锥的底面为正方形, 底面,设点到平面

14、的距离为,点到平面的距离为,比较与的大小。分析：本题中,若利用有关距离转化的基础知识,解题过程相当简单。直线面,故点到平面的距离即可转化为点到平面的距离;由于线段被平面平分,故点到平面的距离即可转化为点到平面的距离（过程需证明：运用三角形全等）,显然。这当中包含有，直线与平面平行的判定定理，点的平移，三角形全等的证明。同样，这些知识是否掌握，也影响了结果。基础知识的教学中，有两点需要重点注意：平面几何与立体几何的联系与区别空间和平面图形的概念和性质,有相同的、也有不同的、有类似的、也有不类似的。例如,关于两直线平行的定义,在平面和空间是完全一致了。又如,命题“垂直于同一条直线的两直线平行”在同

15、一面内必成立,到在空间就不一定成立了。通过这样的对比,能够有效地纠正学生随便将平面知识搬到空间上来的错误。再如,利用证明“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于定长”的方法,也同类似的证明“正四面体内任意一点到各面的距离之和等于定长”的命题,等等。这些例子说明,立体几何问题不仅可以转化为平面几何问题来研究,而且其推理和解决问题的思想和方法也有很多相似之处。加强画图教学和训练在教学过程中,教师要教给学生画空间图形的基本规律、方法和技巧,教师应重视在课堂上的示范作用,并尽量做到边讲边画,切实加强学生画图的训练。 根据教材进程,总结出画各种基本图形的规范和方法,这是画复杂的空间图形的基础,应加强这

16、些基本作图的练习。 运用对比方法区分平面几何与立体几何图形的差异,通过位置、视角的变换,配合平面、虚实线、明暗等的衬托方法,并标注适当的符号,增强图形的直观性,帮助学生做出正确的、直观性强的空间图形。 在学生掌握了画图的基本方法和技能的基础上,应逐步减少实物、实物模型的运用和教师的示范,让学生按题意独立画一些复杂的直观图,不断巩固提高画空间图形的技能技巧。 引导学生从复杂图形中抽象出与具体问题有关的局部图形,例如,在解旋转体的问题时,常常画出它的轴截面来代替直观图进行分析,与直观图互为补充,为解题提供了方便,也实现了对图形的认识的质的飞跃。3.2 注重实物或模型展现，加强实际操作注重对实物与模

17、型的观察、解剖和分析,开展模型制作、测量、参观等实际活动,是培养空间想象能力的重要途径。如用烟筒说明圆柱的概念,用开门关门来说明过两点有无数多个平面和不共线的三点确定一个平面等命题。另外,用正方体骨架模型进行观察,对帮助学生学习异面直线,三垂线定理等难点重点内容都可收到很好的效果。根据空间图形的特征,引导学生寻找相应的实体模型,是培养学生观察想象能力的有效方法,也是使学生最终摆脱模型进行空间图形的分析和想象的重要手段。例如,关于“三条直线两两垂直相交于一点”图形,可引导学生寻找观察教室的一角就是这一空间图形的具体实体。应该注意,随着学生的空间想象能力的提高,应逐步减少实物和模型的使用和依赖,否

18、则将会影响学生空间想象能力的进一步的提高。学生的思维是以具体形象为主要形式逐步过渡到以抽象思维为主要形式的，因此，在教学中教师要充分利用直观教具和形象化的材料，引导学生广泛接触实际生活中的各种事物，仔细、全面地进行观察、比较、分析、综合。3.2.1 直观演示在教学过程中,教师要充分使用感性材料, 让学生全方位的感受知识, 把抽象知识形象化。例如,在给学生讲解正方体时,可用一个正方体模型，从左右、前后、上下等多个角度去呈现它,让学生多角度地观察它的侧面、棱和顶点,可以对正方体有一个准确的整体的把握。又如在讲解长方体中各棱间的关系，棱与面的关系，面与面的关系时，可用教室当作实体讲解，这种方法形象直

19、观更易理解，同时画出平面示意图对照，以便学生不过份依赖于实体。3.2.2 操作活动现代几何教学实践表明,让学生直接参与几何操作如作图、制造几何模型等,能调动学生的各种感官,多方位、多角度观察、认知事物,获得更加准确、清晰、牢固的空间观念。图3例. 曾经有人做过一个实验，学立体几何时, 让学生自己制作正方体,研究其内部结构特征,（如图3）用三种不同颜色的线分别将平面,平面和线段连起来,观察其中的位置关系。学生非常积极，发现了很多结论,如平面平面,平面,平面,经过计算,发现线段被两平行平面三等分。这种方法可以提高学生的学习兴趣，加强学生的动手能力，提高了学生主动探索的意识，是培养空间想象能力的一个

20、有效途径。3.2.3 识图活动识别空间图形不能完全凭直观,因为空间图形中的直观图不可能在平面内完全真实表现出相应的几何实体,最多能看到一些元素的位置关系,如平行、相交、从属和介于等关系,而对垂直、线段的长短、各角的大小关系,往往难于从图形中直观看到。可是,学生往往习惯凭图形中的直观地看到某些线段或角的不等而否认相等的事实,就不能完全直观地看出它的相等的的线段和角。因此,必须加强学生识图的教学和训练。例如,经常给学生一些标准的立体挂图；对照实物、模型,紧紧抓住等边、等角、垂直和平行等基本关系进行观察,建立起实体与图形之间的正确关系,逐步积累识别立体几何直观图的经验；根据题设条件和有关知识进行分析

21、,思考想象,去判明图形中的各种关系。3.3运用多媒体进行动态直观演示数学家发现数学规律的过程，往往是先有一个猜想，而后对猜想进行验证或修正的过程。而猜想又往往是以联想为中介的。因此，充分应用直观、生动、形象的多媒体教学诱发学生展开丰富的联想，鼓励学生进行大胆的猜想，让学生真实地经历数学几何问题的产生和解决的全过程，既为思维的展开创造了良好条件，也为空间观念的顺利形成打开了大门。现代心理学研究表明,表象的获得在于对实物的感知,特别是视觉感知。感知的多样性直接影响着获得表象的多样性。根据立体几何的教学要求,教师应尽可能多方位、多角度地给学生展示图像和图形,运用多媒体辅助教学是一个很好的方法。3.3

22、.1 展示几何图形的关键部分。利用计算机可以展示几何图形的来源,淡化复杂的几何图形的一些次要部分,如图像的侧面和内部,保留其上关键的点、线和平面,甚至二面角等,形成比较纯粹的几何图形,对学生分析问题、解决问题有很大帮助。3.3.2 进行几何图形的变形。利用计算机还可以比较相似几何体，例如在学习棱柱时，利用计算机可以很快地演示出一个普通的四棱柱的变形过程，得到直四棱柱、直平行六面体、长方体等图形，通过比较，学生能很快掌握这些几何体之间的一般和特殊关系。3.3.3 进行几何图形的翻转。异面直线的概念是教学中的难点,利用几何画板或Flash动画演示,通过直线的移动, 图形的旋转,可以让学生对两条直线

23、的关系,特别是异面直线的概念有一个动态的印象。有时还可以利用计算机将一些放置得不太合理的图形适当变换位置,选择一个合理的角度重新作图, 简化解题过程。图4图5例. 如图4所示,已知正方体中,求二面角的大小（其中E为的中点）。我们先按照常规解题程序依次找面、补面、构造平面,这时学生发现由于视觉关系,点看起来并不像是在平面上的点,怎么办? “转一转”, 点击“转动”的动画按钮后,正方体缓缓转动,依次得到三个不同位置时的图形。显然,其中以平面作为底面的位置更有利于解题（见图5）。在这个教学过程中,学生亲眼目睹了正方体转动所引起的图形变化的全过程。多媒体演示，对学生的作图有很多的帮助，图形的动态演示也使学生的思维变得活跃。3.4利用几何图像表达数量关系由于数具有概括、抽象的特点，而几何图形具有直观、形象的优势，利用几何图形表示数量关系，不仅有化繁为简、化难为易、便于理解之功效，而且还有利于培养学生的空间想象能力。例如，用数轴表示不等式的解，用图像来表示函数的特征与函数之间的关系。下面我们来一两个具体的例子:例3.4(a) 解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：(1)；(2)它在数轴上的表示如下图它在数轴上的表示如下图 像这种用几何图像表示数量关第的方法,不仅十分鲜明易懂，亦可以使学生的头脑中形成非常清晰直观的几何形象，数形结合,更有利于学生空间想象能力的培养。4结束语空间想象能力是