椭圆的标准方程和几何性质练习题

1、椭圆的标准方程和几何性质练习题一1. 若曲线ax2by21为焦点在x轴上的椭圆，则实数a，b满足()Aa2>b2 B.< C0<a<b D0<b<a答案：C 由ax2by21，得1，因为焦点在x轴上，所以>>0，所以0<a<b.2. 一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2,)是椭圆上一点,且|PF1|，|F1F2|，|PF2| 成等差数列，则椭圆方程为()A.+=1 B.+=1 C.+=1D.+=1答案：A 设椭圆的标准方程为=1(a>b>0)。由点P(2,)在椭圆上知=1。又|PF1|，|F1F2|，PF2|

2、成等差数列，则|PF1|+|PF2|=2|F1F2|，即2a=2×2c， 又c2=a2-b2，联立得a2=8，b2=63. 已知ABC的顶点B、C在椭圆y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则ABC的周长是()A2 B6 C4 D12答案：C 如图，设椭圆的另外一个焦点为F，则ABC的周长为|AB|AC|BC|(|AB|BF|)(|AC|CF|)4a4。 4. 已知椭圆x2my21的离心率e，则实数m的取值范围是()A. B. C. D. 答案：C 在椭圆x2my21中，当0m1时，a2，b21，c2a2b21，e21m，又e1，1m1，解得0m，当m1时

3、，a21，b2，c21，e21，又e1，11，解得m，综上可知实数m的取值范围是。5. 已知两圆C1:(x-4)2+y2=169，C2:(x+4)2+y2=9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A. B. C. D. 答案：D 设圆M的半径为r，则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16，所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆，且2a=16，2c=8，故所求的轨迹方程为+=16. 椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上的一点，且PQl，垂足为Q，若四边形PQF1F2为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是

4、()A. (,1)B. (0,)C. (0,)D. (,1)答案：A 设点P(x1,y1)，由于PQl,故|PQ|=x1+，因为四边形PQF1F2为平行四边形，所以|PQ|=|F1F2|=2c，即x1+=2c，则有x1=2c->-a，所以2c2+ac-a2>0，即2e2+e-1>0，解得e<-1或e>，由于0<e<1，所以<e<1，即椭圆离心率的取值范围是(,1)7. 已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则|PM|PN|的最小值为()A5 B7 C13D15答案：B 由题意知椭圆的两个焦点F1，

5、F2分别是两圆的圆心，且|PF1|PF2|10，从而|PM|PN|的最小值为|PF1|PF2|127。8. 设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使()·0(O为坐标原点)，则F1PF2的面积是()A4 B3 C2 D1答案：D ()·()··0，PF1PF2，F1PF290°.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，m2n212,2mn4，SF1PF2mn19. 已知椭圆C：(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，若椭圆C上恰有8个不同的点P，使得F1F2P为直角三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是()A

6、.(0,) B.(0, C.(,1)D.,1)答案：C 由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，所以|OP|=c>b， 即c2>a2-c2，所以a<c，因为e=，0<e<1，所以<e<1.10. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为()A. 2B. 3C. 6D. 8答案：C 设椭圆上任意一点P(x0,y0)，则有=1，即=3-，O(0,0)，F(-1,0)，则·=x0(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.因为|x0|2，所以当x0=2时，·取得最大值为61

7、1. 在ABC中，ABBC，cosB.若以A，B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D. 答案：C 依题意知ABBC2c，AC2a2c，在ABC中，由余弦定理得(2a2c)28c22×4c2×，故16e218e90，解得e.12. 已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则（ ）A. t=2B. t>2 C. t<2D. t与2的大小关系不确定答案：A 如图，P，Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，则|MF2|=|F2Q|

8、=2a-(|F1A|+|AQ|)=2a-|F1P|=2a-|F1M|，即|F1M|+|MF2|=2a.所以t=a=2.13. 椭圆(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF，且，则该椭圆离心率的取值范围为()A. B. C. D. 答案：A 由题知AFBF，根据椭圆的对称性，AFBF(其中F是椭圆的左焦点)，因此四边形AFBF是矩形，于是|AB|FF|2c，|AF|2csin，根据椭圆的定义，|AF|AF|2a，2csin2ccos2a，e，而，sin，故e14. 直线与椭圆C：(a>b>0)交于A，B两点,以线段AB为直径的圆恰好经

9、过椭圆的右焦点，则椭圆C的离心率为()A.B.C.-1D.4-2答案：C 设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，由题意可得|OF2|=|OA|=|OB|=|OF1|=c，由y=-x得AOF2=，AOF1=。所以|AF2|=c，|AF1|=c.由椭圆定义知,|AF1|+|AF2|=2a，所以c+c=2a，所以e=-1.15. 已知椭圆的焦点在x轴上，一个顶点为A(0，1)，其右焦点到直线xy20的距离为3，则椭圆的方程为 答案： 据题意可知椭圆方程是标准方程，故b1.设右焦点为(c,0)(c>0)，它到已知直线的距离为3，解得c，所以a2b2c23，故椭圆的方程为y21.16. 设F1，F2

10、分别是椭圆=1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|=3，则P点到椭圆左焦点的距离为 答案：4 由题意知|OM|=|PF2|=3，所以|PF2|=6，所以|PF1|=2a-|PF2|=10-6=417. 分别过椭圆(a>b>0)的左、右焦点F1，F2所作的两条互相垂直的直线l1，l2的交点在此椭圆的内部，则此椭圆的离心率的取值范围是 答案：(0,) 由已知得交点P在以F1F2为直径的圆x2+y2=c2上。 又点P在椭圆内部，所以有c2<b2，又b2=a2-c2，所以有c2<a2-c2，即2c2<a2，亦即: 所以18. 椭圆的左，右焦点分别为F1

11、，F2，点P为椭圆上一动点，若F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是 答案： 设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则(x，y)，(x，y)。F1PF2为钝角，·0，即x23y20，y21，代入得x2310，x22，x2。解得x，x。19. 椭圆1(a为定值，且a)的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A，B。若FAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是 答案： 设椭圆的右焦点为F，如图，由椭圆定义知，|AF|AF|BF|BF|2a。又FAB的周长为|AF|BF|AB|AF|BF|AF|BF|4a，当且仅当AB过右焦点F时等号成立。此时4a12，则a3。故椭圆方程为1，所以c2，

12、所以e。20. 如图，焦点在x轴上的椭圆的离心率e，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点则·的最大值为 答案：4 设P点坐标为(x0，y0)由题意知a2，e，c1，b2a2c23. 故所求椭圆方程为1.2x02，y0.F(1,0)，A(2,0)， (1x0，y0)，(2x0，y0)，·xx02yxx01(x02)2.即当x02时，·取得最大值4.21. 已知椭圆C：(a>b>0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF。若|AB|=10，|BF|=8，cosABF=，则C的离心率为 答案： 如图，设|AF|=x，则

13、cosABF=解得x=6(负值舍去)，所以AFB=90°,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8，且FAF1=FAB+FBA=90°，FAF1是直角三角形，所以|F1F|=10，故2a=8+6=14，2c=10，所以22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆(a>b>0)的左、右焦点，顶点B的坐标为(0，b)，连接BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接F1C.（1）若点C的坐标为，且|BF2|=，求椭圆的方程（2）若F1CAB，求椭圆离心率e的值【解析】(1)由题意F2(c,0)，B(0,b)，|BF2|=又C，所以=1，解得b=1，所以椭圆方程为+y2=1. (2)直线BF2方程为=1，与椭圆方程=1联立方程组，解得A点坐标为 则C点的坐标为又F1(-c,0)，= 又kAB=-，由F1CAB，得·(-)=-1,即b4=3a2c2+c4，所以(a2-c2)2=3a2c2+c4，化简得e=23. 已知椭圆C：x22y24.（1）求椭圆C的离心率（2）设O为原点. 若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段