毕业论文设计IIR数字滤波器的设计

1、IIR数字滤波器的设计电子信息科学与技术专业学生：鲁剑波指导老师： 乔闹生摘要：IIR数字滤波器是经典数字滤波器的一种。介绍了怎样运用MATLAB这一编程效率高、形象直观的可视化软件来设计无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的方法和步骤。给出了运用MATLAB设计无限脉冲响应（IIR）数字滤波器的方法：间接法。该方法主要是先设计模拟滤波器，再进行s-z平面转换而达到设计目的。关键词：滤波器，IIR数字滤波器，设计，MATLAB Design of IIR Digital FilterElectronics and Information Science and TechnologyCandidat

2、e: Lu JianboAdvisor: Qiao NaoshengAbstract: IIR digital filter is one kind of the classical digital filter. Method and step of limitless pulse respond digital filter are introduced by MATLAB that have high efficiency and visual as an image visual software. Indirect method of designing infinite impul

3、se respond digital filter by MATLAB is given. The method is to design the simulation filter at first, and then change s-z level to achieve the design purpose. Keywords: filter, IIR digital filter, design, MATLAB 引言IIR数字滤波器属于经典数字滤波器中的一种，在很多领域中有着广泛的应用。与FIR数字滤波器相比，它可以用较低的阶数获得较高的性能，所以存储单元少，经济效益高，在相同门级规模

4、和相同时钟速度下可以提供更好的带外衰减性1。然而，在实际应用中，数字滤波器的设计要进行复杂的推导和计算，所以运算量非常庞大2。目前，数字滤波器的设计常借助于计算机，利用MATLAB软件来实现。MATLAB(即matrix和laboratory的前3位字母组合，意为“矩阵实验室”)是美国MathWorks公司于1984年推出的数学软件，是一种用于科学工程计算的高级语言3。它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体,功能强大，编程效率高，是设计数字滤波器的强有力的工具4。1 数字滤波器综述1.1 数字滤波器的基本概念所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过一定运算关系改变输入信号所含

5、频率成分的相对比例或者滤除某些频率成分的器件。数字滤波器的概念和模拟滤波器相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同5。正因为这些不同点，数字滤波器具有比模拟滤波器精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不要求阻抗匹配以及实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能等优点6。如果要处理的是模拟信号，则可通过A/DC和D/AC，在信号形式上进行匹配转换，同样可以使用数字滤波器对模拟信号进行滤波7。 1.2 数字滤波器的描述与分类一般情况下，数字滤波器是一个线性时不变离散系统，可用差分方程、脉冲响应h(n)、传输函数H(z)及频率响应来描述。图1示出了所有描述滤波器的方法。这几种描述方式相互关联，从不同方面说明了

6、滤波器的特性。 图1 数字滤波器的描述方法数字滤波器按照不同的分类方法，有许多种类，但总起来可分为经典滤波器和现代滤波器两类。经典滤波器即一般的滤波器，特点是输入信号中有用的频率成份和希望滤除的频率成份占有不同的频带，通过一个合适的选频滤波器达到滤波的目的。如果信号和干扰的频带互相重叠，则不能完成对干扰的有效滤除，这时需要采用另一类所谓的现代滤波器，这些滤波器可按照随机信号内部的一些统计分布规律，从干扰中最佳地提取信号。数字滤波器从功能上可分为四种：即低通（LP, Low Pass）、高通（HP, High pass）、带通（BP, Band Pass）和带阻(BS, Band Stop)滤波

7、器。它们的幅频特性如下图。图2 理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应（Infinite Impulse Response Filter 简称IIR）滤波器和有限脉冲响应（Finite Impulse Response Filter 简称FIR）滤波器。1.3 数字滤波器的技术要求通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数用下式表示： （11）式中，称为幅频特性；()称为相频特性。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成份衰减情况，而相频特性反映各频率成份通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波

8、器幅频特性相同，而相频特性不一样，对相同的输入，滤波器的输出信号波形也是不一样的。一般选频滤波器的技术要求由幅频特性给出，相频特性一般不作要求，但如果对输出波形有要求，则需要考虑相频特性的技术指标，如语音合成、波形传输、图像信号处理等。如果对输出波形有严格要求，则需要设计线性相位数字滤波器。2 设计方案的实现和选择IIR滤波器设计方法有两类,常用的间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的。而直接法是直接在频域或时域中进行设计的。由于要解联立方程，设计时需要计算机作辅助。2.1 间接法设计数字滤波器间接法是指通过先设计模拟滤波器，再进行s-z平面转换，来达到设计数字滤波器的目的，这种设计的幅度特

9、性受到所选模拟滤波器特性的限制。其设计过程是：按照技术要求设计一个模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传输函数，再按照一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系统函数。这样设计的关键问题就是找这种转换关系，将S平面上的转换成Z平面上的。将传输函数从S平面转换到Z平面的方法有多种，但工程上常用的是脉冲响应不变法和双线性变换法。 脉冲响应不变法的特点脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性。另外一个优点数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好。 脉冲响应不变法的主要缺点是会产生混叠现

10、象，使数字滤波器的频响偏移模拟滤波器的频响。适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。 双线性变换法的特点由于从s平面到s1平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象，这是双线性变换法比较脉冲响应不变法最大的优点。但与之间的非线性关系是双变换法的缺点，它直接影响数字滤波器频响逼真的模仿模拟滤波器的频响。2.2 直接法设计数字滤波器直接法是直接在频域或者时域中进行设计的，由于要解联立方程，设计时需要计算机做辅助设计。其特点是适合设计任意幅度特性的滤波器。具体又分成以下三类方法。2.2.1 零极点累试法是根据其幅度特性先确定零极点位置，再按照确定的零极点写出其系统函数

11、，画出其幅度特性，并与希望的进行比较，如不满足要求，可通过移动零极点位置或增加（减少）零极点，进行修正。这种修正是多次的，在确定零极点位置是要注意：（1）极点必须位于Z平面单位圆内，保证数字滤波器因果稳定。（2）复数零极点必须共轭成对，保证系统函数有理式的系数是实的。 频域最小均方误差设计法这种方法实际上就是一种计算机的优化设计方法，优化的原则是幅度平方误差最小。由于需要通过计算机编程并进行迭代求滤波器的系数，这种方法也称为计算机辅助设计法。在设计过程中，对系统函数零、极点位置未给任何约束，零、极点可能在单位圆内，也可能在单位圆外。这里主要问题是如果极点在单位圆外，则会造成滤波器不是因果稳定的

12、，因此需要对这些单位圆外的极点进行修正。这种设计方法计算比较繁复，一般用计算机进行求解，但可以得到任意给定幅度特性且性能比较好。 在时域直接设计IIR数字滤波器这种时域逼近法限制脉冲响应的长度，使得滤波器的选择受到限制，如果滤波器阻带衰减要求很高，则不适合用这种方法。但用此方法得到的系数，可作为其他更好的优化算法的初始估计值。实际中，有时要求给一定的输入信号波形，滤波器的输出为希望波形，这种滤波器称为波形形成滤波器，也属于这种时域的直接设计法。2.3 方法的选择由上述比较可知，因为模拟滤波器设计方法已经很成熟,它不仅有完整的设计公式,还有完善的图表供查阅;另外还一些典型的滤波器类型可以供我们使

13、用，通常我们都采用间接法来设计数字滤波器，而间接法中的脉冲响应不变法和双线性变换法是比较好的两种设计方法。3 IIR数字滤波器的设计用间接法设计数字滤波器，其设计步骤是:先设计模拟滤波器得到传输函数,然后将按某种方法换成数字滤波器的系统函数。下面将具体说明数字滤波器的设计。3.1 模拟滤波器的设计模拟滤波器的理论和设计方法已发展的相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如巴特沃斯（Butterworth）滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Ellipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。这些典型的滤波器

14、又各有特点：巴特沃斯滤波器具有单调下降的幅频特性，其具体的设计方法如下：巴特沃斯滤波器的幅度平方函数用下式表示： = (31)式(31)中，N称为滤波器的阶数。当时，时，是3dB截止频率。当时，随加大，幅度迅速下降。下降的速度与阶数N有关，N愈大，幅度下降的速度愈快，过渡带愈窄。 切比雪夫滤波器的幅频特性在通带或者在阻带有波动，可以提高选择性；贝塞尔滤波器通带内有较好的线性相位特性；椭圆滤波器的选择性相对前三种是最好的。这样根据具体要求可以选用不同类型的滤波器。模拟滤波器按幅度特性可分成低通、高通、带通和带阻滤波器，它们的理想幅度特性如图3所示。3.2 数字滤波器的设计 数字滤波器的基本原理与

15、表示方法数字滤波器（Digital Filter，简称为DF）是数字信号处理的重要基础，在对信号的过滤、检测与参数的估计等信号处理中，数字滤波器是使用最为广泛的一种线性系统。数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。输入的数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程。图3 各种理想滤波器的幅频特性时域离散系统的频率特性： （32）其中 ，分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性），是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。可以看出，

16、输入序列的频谱经过滤波器变为，因此只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择，使得滤波后的满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。一个数字滤波器可以用系数函数表示为：= （33）直接由此可得出表示输入输出关系的常系数线性差分方程为 （34）可以看出，数字滤波器的功能就是把输入序列通过一定的运算式（34）换成输出序列。可以用以下两种方法来实现数字滤波器；一种方法是把滤波器所要完成的运算编成程序并让计算机执行，也就是采用计算机软件来实现；另一种方法是设计专用的数字硬件，专用的数字信号处理器或采用数字信号处理器来实现。 IIR数字滤波器的设计方法由于采用间接法设计数字滤波器的方法是借助

17、于模拟滤波器的设计方法进行的,其设计步骤为：（1）确定所需类型数字低通滤波器的技术指标。（2）将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标。转换公式为： （35）（3）将所需类型模拟滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标，其频率转换方法如下表1所示：表1 频率转换方法低通到高通低通到带通低通到带阻（4）设计模拟低通滤波器。（5）将模拟低通滤波器通过频率变换，转换成所需类型的模拟滤波器。（6）采用双线性变换法，将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器。 脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 脉冲响应不变的设计原理是使得数字滤波器的单位取样响应序列模仿模拟滤波

18、器的冲激响应， （36）代表拉氏变换，对进行等间隔采样，采样间隔为T，得到，将作为数字滤波器的单位取样响应，那么数字滤波器的系统函数便是的Z变换。因此脉冲响应不变法是一种时域的转换方法，它使在采样点上等。按照脉冲响应不变法原理，用这种方法设计数字滤波器系统函数的过程是：由模拟滤波器的系统函数求出它的拉普拉斯反变换得到脉冲响应，然后对其进行等间隔采样： （37）然后求出的Z变换，便得到系统函数的，即 （38）在实际中，脉冲响应不变法特别适合于模拟滤波器系统函数能够用部分分式展开式表示的情况。假设模拟滤波器的系统函数只有单阶极点，且，系统函数可以用部分分式形式表示： （39）其拉普拉斯变换为脉冲响

19、应为： （310）对进行等间隔采样，可以得到数字滤波器的单位取样响应： （311）然后对进行Z变换，便得到数字滤波器的系统函数： (312)由此可知，通过模拟滤波器的系统函数，可以直接求得数字滤波器的系统函数，这种方法求取数字滤波器的系统函数是比较方便的。 双线性变换法设计IIR数字滤波器 为了克服脉冲响应不变法产生的频率混叠现象，可以采用非线性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到之间，再用转换到平面上。设，经过非线性频率压缩后用，表示，这里用正切变换实现频率压缩： (313)式中仍是采样间隔,当从经过0变化到时，则由-经过0变化到，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到平面上虚轴的之间的转

20、换。这样便有 (314)再通过转换到z平面上,得到: (315) (316)式(315)或式(316)称为双线性变换。从s平面映射到平面,再从平面映射到z平面。由于从s平面到平面具有非线性频率压缩的功能，因此不可能产生频率混叠现象，这是双线性变换法比较脉冲响应不变法最大的优点。4 用MATLAB设计IIR数字滤波器4.1 MATLAB软件的简介MATLAB是Mathworks公司于1984年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件。 它集数值分析,矩阵运算,信号处理和图形显示于一体,构成了一个方便且界面友好的用户环境3,4,5。作为一个优秀的科技软件，MATLAB可以给出数据的二维、三维乃至四维

21、的图形表现，它语言简洁紧凑，使用起来极为方便灵活，它的运算符也十分丰富。因此，利用MATLAB可以很方便的设计出所需的滤波器，同时可以直观形象地描绘出波形图5。4.2 MATLAB程序实现下面介绍利用MATLAB程序设计数字滤波器的方法。 利用脉冲响应不变法设计数字Butterworth滤波器设计模拟低通巴特沃斯滤波器，通带纹波为Rp1dB，通带上限角频率Wp=0.2，阻带下限角频率Ws=0.3，阻带最小衰减As=15dB,根据该低通模拟滤波器，利用冲击响应不变法设计相应的数字低通滤波器，并画出设计后的数字低通滤波器的特性曲线。MATLAB程序如下：%脉冲响应不变法clear all;wp=0

22、.2*pi;ws=0.3*pi;Rp=1;As=15;T=1;%性能指标Rip=10(-Rp/20);Atn=10(-As/20);OmgP=wp*T;OmgS=ws*T;N,OmgC=buttord(OmgP,OmgS,Rp,As, 's'); %选取模拟滤波器的阶数cs,ds=butter(N,OmgC, 's'); %设计出所需的模拟低通滤波器 b,a=impinvar(cs,ds,T); %应用脉冲响应不变法进行转换 %求得相对、绝对频响及相位、群延迟响H,w=freqz(b,a,500);%500点的复频响应mag=abs(H);db=20*log10

23、(mag/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(b,a,w); %绘出各条曲线subplot(2,2,1);plot(w/pi,mag);title('幅频特性');xlabel('w(/pi) ');ylabel('|H(jw)| ');axis(0,1,0,1.1);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca, 'YTickMode', 'manual&#

24、39;, 'YTick',0 Atn Rip 1);gridsubplot(2,2,2);plot(w/pi,db);title('幅频特性(dB) ');xlabel('w(/pi) ');ylabel('dB');axis(0,1,-40,5);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);set(gca, 'YTickMode', 'manual', 'YTick'

25、;,-40 -As -Rp 0);grid subplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title('相频特性');xlabel('w(/pi) ');ylabel('pha(/pi) ');axis(0,1,-1,1);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);gridsubplot(2,2,4);plot(w/pi,grd);title('群延迟');xlabel('w(/pi)

26、 ');ylabel('Sample');axis(0,1,0,12);set(gca, 'XTickMode', 'manual', 'XTick',0 0.2 0.3 0.5 1);grid程序的运行结果如图4所示。图4 利用脉冲响应不变法设计的数字低通滤波器的特性曲线 利用双线性变换法设计数字 Chebyshev滤波器利用双线形变换法，设计一个切比雪夫型低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，允许幅度误差在1dB以内，在频率0.3rad到rad之间的阻带内衰减大于15dB。MATLAB程序如下：clear

27、 all;Wplp=0.2*pi; %低通数字通带频率Wslp=0.3*pi; %低通数字阻带频率Ap=1;As=15;T=1;Omegap=(2/T)*tan(Wplp/2);Omegas=(2/T)*tan(Wslp/2);if Omegap<=0 erorr('通带边缘必须大于0')endif Omegas<=Omegap erorr('阻带边缘必须大于通带边缘')endif(Ap<=0)|(As<=0) erorr('通带波动或阻带衰减必须大于0')endep=sqrt(10(Ap/10)-1);A=10(As/2

28、0);OmegaC=Omegap;OmegaS=Omegas/Omegap;g=sqrt(A*A-1)/ep;N=ceil(log10(g+sqrt(g*g-1)/log10(OmegaS*OmegaS-1);z,p,k=cheb1ap(N,Ap);ds=real(poly(p);dsNn=ds(N+1);p=p*OmegaC;ds=real(poly(p);dsNu=ds(N+1);k=k*dsNu/dsNn;b0=k;B=real(poly(z);cs=k*B; blp,alp=bilinear(cs,ds,T); %双线形Z变换Wphp=0.6*pi;alpha=(cos(Wplp+Wp

29、hp)/2)/(cos(Wphp-Wplp)/2);H,w=freqz(blp,alp,500); %500点的复频响应mag=abs(H);db=20*log10(mag/max(mag);pha=angle(H);grd=grpdelay(blp,alp,w); %数字低通滤波器响应subplot(2 2 1); %绘出各条曲线plot(w/pi,mag);title('数字低通滤波器幅频响|H(ejOmega)| ')xlabel('w(/pi) ');ylabel('|H(jw)| ');axis(0,1,-0.1,1.1);grid o

30、nsubplot(2 2 2);plot(w/pi,db);title('数字低通滤波器幅频响(dB) ')xlabel('w(/pi) ');ylabel('dB');axis(0,1,-40,2);grid onsubplot(2,2,3);plot(w/pi,pha/pi);title('数字低通滤波器相频特性');xlabel('w(/pi) ');ylabel('pha(/pi) ');axis(0,1,-1,0.2);grid onsubplot(2,2,4);plot(w/pi,grd

31、);title('数字低通滤波器群延迟');xlabel('w(/pi) ');ylabel('Sample');axis(0,1,0,4);grid on该数字滤波器的幅频特性曲线如图5所示。 利用双线性变换法设计数字低通滤波器使用双线性变换法设计一个低通数字滤波器，给定的数字滤波器的技术指标为fp=100Hz,fs=300Hz, =3dB, =20dB,抽样频率为Fs=1000Hz。MATLAB程序如下所示。 clear all;fp=100;fs=300;Fs=1000;rp=3;rs=20;%wp=2*pi*fp/Fsws=2*pi*fs

32、/Fs;Fs=Fs/Fs;%firstly to finish frequency prewarping;wap=tan(wp/2);was=tan(ws/2);n,wn=buttord(wap,was,rp,rs,'s')%Note:'s'!z,p,k=buttap(n);bp,ap=zp2tf(z,p,k)bs,as=lp2lp(bp,ap,wap)%Note:s=(2/Ts)(z-1)(z+1);Ts=1,that is 2fs=1,fs=0.5;bz,az=bilinear(bs,as,Fs/2)h,w=freqz(bz,az,256,Fs*1000);plot(w,abs(h);grid on;图5 利用双线形变换法设计