比例谐振控制算法分析

1、比例谐振控制算法分析目 录0 前言21 PR控制器22 准PR控制器53 准PR控制器的参数设置63.1 c=0, KR变化63.2 c变化, KR=164 准PR控制器的离散化7附录A 数字滤波器设计9A.1 脉冲响应不变法9A.2 双线性变换法10附录B 双线性变换法原理13B.1 连续时间系统H(s)的最基本环节13B.2 积分的数值计算与离散一阶系统13B.3 连续时间一阶环节的离散实现14B.4 高阶连续时间系统的离散实现140 前言在整流器和双馈发电机的矢量控制系统中广泛地采用了坐标变换技术，将三相静止坐标系下的电流电压等正弦量转化为同步旋转坐标系下的直流量，这一方面是为了简化系统

2、的模型，实现有功功率和和无功功率的解耦，另一方面是因为PI控制器无法对正弦量实现无静差控制。坐标变换简化了控制系统外环的设计，却使电流分量互相耦合，造成内环结构复杂，设计困难。PR控制器可以实现对交流输入的无静差控制。将PR控制器用于网侧变换器的控制系统中，可在两相静止坐标系下对电流进行调节。可以简化控制过程中的坐标变换，消除两相静止坐标系下对电流进行调节。可以简化控制过程中的坐标变换，消除电流d、q轴分量之间的耦合关系，且可以忽略电网电压对系统的扰动作用。此外，应用PR控制器，易于实现低次谐波补偿，这些都有助于简化控制系统的结构。1 PR控制器PR控制器，即比例谐振控制器，由比例环节和谐振环

3、节组成，可对正弦量实现无静差控制。理想PR控制器的传递函数如下式所示：Gs=Kp+KRss2+02式中Kp为比例项系数，KR为谐振项系数，0为谐振频率。PR控制器中的积分环节又称广义积分器，可以对谐振频率的正弦量进行幅值积分。对于同频的输入信号Msin(t+)，该环节的时域响应分析如下：输入信号的拉普拉斯变换为：LMsint+ = L(Msintcos+Mcostsin)= Mcos*s2+2+Msin*ss2+2 经过KRss2+02后的表达式为：Mcos*s2+2+Msin*ss2+2*KRss2+02=KR*M*cos*ss2+22+sin*s2s2+22=KR*M*cos*ss2+22

4、+sin2*s2-2s2+22+1s2+2分别推导tcost、tsint的拉普拉斯变换为（推导见下一页）：L(tcost)=s2-2s2+22，Ltsint=2ss2+22求上式的拉普拉斯反变换为：KR*M*cos2*tsin(t)+sin2*tcos(t)+1sin(t)整理后得：KR*M2*tcos+sinsint+tsin*cos(t)由上式可知，当=0时，输出信号为KR*M2*tsint与输入信号相位相同，幅值呈时间线性上升。当=90时，输出信号为：KR*M2*1sint+t*cos(t)当时间稍大时，该值贴近于cos(t)，从整体看，该谐振器（或称之为广义积分器）是对误差信号的按时间

5、递增。观察tsint的拉普拉斯变换：Ltsint=L(tejt-te-jt2j)=12jLtejt-Lte-jt=12j1s-j2-1s+j2=12j4jss-j2s+j2=2ss2+22再观察tcost的拉普拉斯变换Ltcost=L(tejt+te-jt2)=12Ltejt+Lte-jt=121s-j2+1s+j2=s2-2s-j2s+j2=s2-2s2+22如下图所示，PR控制器中的积分部分KRss2+02，在谐振频率点达到无穷大的增益，在这个频率点之外几乎没有衰减。因此，为了有选择地补偿谐波，它可以作为一个直角滤波器。2 准PR控制器如上所述，与PI控制器相比，PR控制器可以达到零稳态误

6、差，提高有选择地抗电网电压干扰的能力。但是在实际系统应用中，PR控制器的实现存在两个主要问题：l 由于模拟系统元器件参数精度和数字系统精度的限制，PR控制器不易实现l PR控制器在非基频处增益非常小，当电网频率产生偏移时，就无法有效抑制电网产生的谐波。因此，在PR的基础上，提出了一种易于实现的准PR控制器，既可以保持PR控制器的高增益，同时还可以有效减小电网频率偏移对逆变器输出电感电流的影响。准PR控制器传递函数为：Gs=Kp+2KRcss2+2cs+02控制器波特图如下图所示，从图中所示，控制器在基波频率处的幅频特性为A(0)=60dB.同时相角裕度为无穷大，因此基本可以实现零稳态误差，同时

7、具有很好的稳态裕度和暂态性能。3 准PR控制器的参数设置由此可见，除了比例系数外，准PR控制器主要有KR、c两个参数。为了分析每个参数对控制器的影响，可先假设其余参数不变，然后观察这个参数变化时间对系统性能的影响。3.1 c=0, KR变化控制器传递函数的波特图如下图所示，从图中可以看出，KR参数增大时，控制器的峰值增益也增大，而控制器的带宽却没有变化。因此KR参数和控制器的峰值增益成正比。3.2 c变化, KR=1 由下图可知，参数c不仅影响控制器的增益，同时还影响控制器截止频率的带宽。随着c的增加，控制器的增益和带宽都会增加（基频增益为KR不变）。将s=j代入传递函数，则有：Gj=2KRc

8、j-2+2cj+02=KR1+j2-02/2c根据对带宽的定义，Gj=KR/2时，此时计算得到的两个频率之差即为带宽。令2-022c=1,经过计算得到准谐振控制器的带宽为：c/Hz。设电网电压频率允许波动范围为0.8Hz,则有C=1.6Hz, 即C=5Hz4 准PR控制器的离散化模拟控制器的离散化有两种方式，分别为脉冲响应不变法与双线性变换法，此处采用脉冲响应不变法对其进行离散化PR控制器的数字实现方法主要有两种，分别是采用Z算符和采用算符对其进行离散化。Gs=2KRcss2+2cs+02=2KRcss-2c+4c2-4022s-2c-4c2-4022=2KRcss+c-c2-02s+c+c2

9、-02=As+c-c2-02+Bs+c+c2-02,其中A=KRC1-Cc2-02; B=KRC1+Cc2-02将上式通过脉冲响应不变法转成z变换，得：Gz=AZZ-e-c-c2-02T+BZZ-e-c+c2-02T=A1-z-1e-c-c2-02T+B1-z-1e-c+c2-02T，设C=e-c-c2-02T；D=e-c+c2-02T，则：Gz=A1-z-1C+B1-z-1D=A+B-(AD-BC)z-11-C+Dz-1+CDz-2设Y=GX，则转成差分函数后，该式可表达成：yn=C+Dyn-1-CDyn-2+A+Bxn-AD-BCx(n-1)其中：A=KRC1-Cc2-02; B=KRC1

10、+Cc2-02 C=e-c-c2-02T； D=e-c+c2-02T附录A 数字滤波器设计通常利用模拟滤波器的理论和设计方法来设计IIR数字滤波器。其设计的过程是：先根据技术指标要求设计出一个相应的模拟低通滤波器，得到模拟低通滤波器的传递函数Has,然后再按照一定的转换关系将设计好的模拟滤波器的传输函数 Has转换成为数字滤波器的系统函数H(z)。转换方法有两种：脉冲响应不变法和双线性映射法。利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器传递函数H(z)，这是一个由s平面到z平面的映射变换，这种映射变换应遵循两个基本原则：1. H(z)的频响要能模仿Has

11、的频响，即S平面的虚轴应能映射到z平面的单位圆ej上2. Has的因果稳定性映射到H(z)后保持不变，即S平面从左半平面Res0映射到z平面的单位圆内z1A.1 脉冲响应不变法利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使得数字滤波器能模仿模拟滤波器的特性，这种模仿可从不同角度出发。脉冲响应不变法就是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲击响应ha(t)，使hn正好等于ha(t)的采样值，即：hn=ha(nT)T为采样周期。如以Ha(s)和H(z)分别表示ha(t)的拉氏变换及hn的z变换，即：Has=Lha(t)，Hz=Zh(n)按照采样序列z变换及模拟

12、信号拉氏变换的关系，得：Hz|z=esT=1Tm=-Has+j2Tm上式表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的s平面到z平面的变换，正是以前讨论的拉氏变换到z变换的标准变换关系，即首先对Has作周期延拓，然后再经过z=esT的映射关系映射到z平面上。z=esT的映射关系表明，s平面上每一条2/T的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的全部平面上。每个横带在左半部分映射到z平面单位圆以内，每个横带的右半部分映射到z平面单位圆以外，j轴映射在单位圆上，但j轴上每一段2/T都对应于绕单位圆一周。如下图所示，相应的频率变换关系为：=T，显然与之间为线性关系。（其中为数字域频率；

13、为模拟域频率） 应当指出，z=esT的映射关系反映的是Has的周期延拓与H(z)的关系，而不是Has本身与H(z)的关系，因此，在使用脉冲响应不变法时，从Has到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的简单代数映射关系，即没有一个s=f(z)的代数关系式。另外，数字滤波器的频响也不是简单地重现模拟滤波器的频响应，而是模拟滤波器频响的周期延拓，周期为s=2T=2fs。即Hej=1Tm=-Haj+j2mT=1Tm=-Haj+2mT根据香农采样定律，如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率s/2以内，即Haj=0,/T这时，数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤波器的频响（在折叠频率以内）Hej=1THajT

14、,称为双线性变换双线性变换法的主要优点是不存在频率混迭。由于S平面与Z平面一一单值对应，S平面的虚轴（整个j）对应于Z平面单位圆的一周，S平面的=0对应于Z平面的=0；=对应于Z平面的=，即数字滤波器的频率响应终止于折叠频率处，所以双线性变换不存在频谱混迭效应。靠频率的严重非线性关系得到S平面与Z平面的单值一一对应关系，整个j轴单值对应于单位圆一周，这个频率关系是=C*tg2，其中和为非线性关系。从左图可以看出，在0频率附近，和接近于线性关系，当进一步增加时，增长变得缓慢。当时，=，终止于折叠频率处。所以双线性变换不会出现由于高频部分超过折叠频率而混淆低频部分的现象。正由于和之间的非线性关系，

15、导致数字滤波器的幅频响应相对于模拟滤波器的幅频响应有畸变。例如一个模拟微分器，它的幅度与频率是线性关系，但是通过双线性变换后，不可能得到数字微分器。若：Hj=k+b,则Hej=Hj|=tg2=k*tg2+b 另外，一个线性相位的模拟滤波器经过双线性变换后，滤波器不再有线性相位特征。虽然双线性变换有这样的缺点，但它目前仍是使用最普遍，最有成效的一种设计工具。这是因为大多数滤波器都有分段常数的频响特性，如低通、高通、带通和带阻等，他们在通带内要求一个衰减为0的常数特性，在阻带部分要求逼近一个衰减为的常书特性，这种特性的滤波器经过双线性变换后，虽然频率发生了非线性变化，但其幅频特性仍保持分段常数的特

16、性。例如，一个考尔型的模拟滤波器Ha(s)，双线性变换后，得到的H(z)在通带与阻带内都保持原模拟滤波器相同的起伏特性，只有通带截止频率、过渡带的边缘频率以及起伏的峰点、谷点频率等临界频率点发生了非线性变化，这种频率点的畸变可通过预畸来加以校正。即将模拟滤波器的临界频率事先加以畸变，通过双线性变换后正好映射到所需要的数字频率上。附录B 双线性变换法原理B.1 连续时间系统H(s)的最基本环节连续时间系统H(s)的极点有两种情况；单重极点和多重极点。但是一个多重极点环节可以看成由多个单重极点环节级联构成，例如对二重极点有：Hs=A(s-p)2=As-pAs-p因此，可以将一阶环节His=Ks-p

17、看成是构成Hs的最基本环节。它对应于一阶微分方程。dy(t)dt-py(t)=Kx(t)系统结构如下图所示。若要将该系统离散化，主要是对一次积分运算的离散化。B.2 积分的数值计算与离散一阶系统一次积分运算可以用梯形法做数值运算，即：yt|t=nT=yt|t=(n-1)T+(n-1)TnTxd将上式第二行的积分用梯形法近似，则有：ynT=y(n-1)T+T2xn-1T+xnT该式即为一次积分运算离散化后的数值计算公式，其中T为取样间隔。将自变量符号中的T隐去，可写成差分方程的习惯表达形式：yn=y(n-1)+T2xn-1+xn两边取单边z变换，并考虑到y(-1)=x(-1)=0，有：Yz=z-1Yz+T2z-1Xz+Xz整理得：H1z=Y(z)X(z)=T2*1+z-11-z-1也就是说，一次积分单元离散后是一个以系统函数H1z表示的离散时间系统。因此，一次积分运算可以用下图所示的离散系统实现其数值计算。B.3 连续时间一阶环节的离散实现当将图1中的积分器离散化后，整个一阶环节His=