有理方式积分发

1、有理函数积分法 例1. . I = .类型 . (*) 例2. ) =. 例3. =. 例4. .类型 对, 分解为与的线性组合. 对后者, 配方后用(*).一般地, 对(P,Q为多项式), 按下列步骤积分: 例 第一步 为假分式时用除法分解 为多项式与真分式之和; 第二步 在实数域内把分母分解为质 (x - 2) (x 2 + 1) 2因式之积. 设为a (x - l) k (x 2 + bx + c) l ; 第三步 用待定系数法把第一步得到的真分式分解为部分分式. 第二步中的因 =式(x - l) k 对应的部分分式为 2x2 + 2x + 13 = a (x 2 + 1) 2 + (b

2、x + c) (x - 2) (x 2+ + +, 因式(x 2 +1) + (dx + e) (x - 2 ). (*)+bx+ c) l对应的部分分式为 a + b = 0, -2b + c = 0, 2a + b -2c + d = 0, + + - 2b + c - 2d + e = 0, a - 2c - 2e = 13.第四步 对部分分式积分: 解得a = 1, b = - 1, c = - 2, d = - 3, e = - 4. =. 对, 已见上. . 注 解方程组确定a, b, c, d, e时, 可在(*)中令x = 2得到a =1. 在下面分解部分分式的练习中, 也可如

3、此做. . 在一些特殊情形, 无需死板地用待定系数法分解部分分式:. 例如., 或.四. 被积函数可有理化的积分 R (sin x, cos x) dx ; .R (tan x) dxR (t ); R (sin 2 x, cos 2 x) .若R (sin x, cos x)满足R (-sin x, cos x) = - R (sin x, cos x), 即关于sin x为奇函数, 则关于sin x为偶函数, 可表示为sin 2 x, cos x的有理函数. 因此R (sin x, cos x) dx = sin x dx = R1 (sin2 x, cos x) d (- cos x)

4、可以用代换cos x = t 化为有理函数的积分. 类似地, 若R (sin x, cos x)满足R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), 则可用代换sin x = t . 若满足R (-sin x, - cos x) = R (sin x, cos x), 则R (tan x cos x, cos x)关于cos x 为偶函数, R (sin x, cos x) = R (tan x cos x, cos x) = R1 (tan x, cos 2 x) = R2 (tan t), 可用代换tan x = t . 其中t = tan. 法二 判断代换:(

5、tan x = t )(tan x = t)(cos x= t)(sinx=t)(tanx=t)() R (x ,): x = a sin q 或a cosq ; R (x,): x = a tan q ;R (x ,): x =; R (x ,) : = t (=);R () : . = 6(arctan t - ln|1 + t2| + ln | t | - t ) + C , 其中. -2 arctan t + C , 其中 t = . 按有理化的思想, 对R (x,), 也可设= t m x有理化, 因为= t - x时R (x ,)dx = R (,)dt .一般地, 对R (x ,

6、) 有下列*Eular代换: 1a 0时设 = t m x, 此时x =, =. 类似地, c 0时可设 = tx - .2a 0时由ax2 + bx + c 0可知ax2 + bx + c有实根. 设= = t (x - a), 则,=.* I =. 令= t - x, 则x =, dx =,I = + C , 其中 t = x +.或: 令= tx -1, 得, I = -2=,其中. *其它代换举例:;(x = a cos 2 q + b sin 2q, x - a = (b - a) sin 2q , b - x = (b - a) cos 2q ) =. 注 以上两题用前面所说的代换, 是和= t (x - a). . 杂题(口答方法). . . . (分部). (代