极限思想毕业论文

1、目录摘要IAbstractII第1章极限思想的形成与发展11.1 极限思想的萌芽11.2 极限思想的发展11.3极限思想的形成21.4极限思想的完善3第2章极限思想在数学分析中的应用32.1极限思想在概念里的渗透32.2极限思想在导数中的应用42.3极限思想在积分中的应用5第3章证明极限存在以及求极限的方法63.1极限的四则运算法则和简单求极限技巧63.2用迫敛性准则求极限73.3用泰勒公式求极限73.4用等价无穷小求极限83.5用洛必达法则求极限83.6用微分中值定理和积分中值定理求极限9第4章总结10参考文献11致谢12第1章 极限思想的形成与发展极限思想作为一种重要的数学思想，在整个数学

2、发展史上占有重要地位，是研究数学、应用数学、推动数学发展必不可少的有力工具.本文通过论述极限思想的发展过程以及它在诸多数学分支中的应用来说明极限在数学中的重要地位.按照极限思想的萌芽、发展、形成与完善过程，可将它分为4个阶段.1.1极限思想的萌芽 古希腊时代欧多克斯提出的“穷竭法”和芝诺的“二分法”可以说是极限理论的雏形.在我国，极限思想的萌芽最早可以追溯到战国末期，在哲学著作庄子.天下篇中就引进了惠施的著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，它可以写成一个无穷等比递减数列： 当n无限增大（n=1,2,3，）时，可取无限的小数，它的极限为零，这样借助实物，极限的概念便被形象的表达出来了.然

3、而在我国最早创立极限概念，并用它来解决实际问题的却是数学家刘徽.他指出：“割之弥细，失之弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣.”并最终利用这极限思想求得了圆周率的近似值，独立的创造出了“割圆术”. 然而当时人们在直观上对极限概念有了清楚的理解，但由于没有无穷小的概念，因此也就不可能用数学语言准确的描述出极限概念，并且极限思想也没有作为单独的研究对象真正独立出来.这在某种程度上是由于当时的经济状况和生产力水平对数学的要求只停留在对度量和计量有用的范围内决定的.1.2极限思想的发展17世纪以天文学、力学及航海为中心的一系列问题导致了微积分的产生.微积分尽管在实践中非常成功，但它的思想

4、基础无穷小量在逻辑上却有很多缺陷，被称为“失去了量的鬼魂”，并由此直接导致了第二次数学危机.为了消除危机，许多数学家便主张利用极限的方法为微积分提供论证和说明的工具.于是，他们对极限思想进行了深入研究，其阶段性的主要成绩如下.（1） 达朗贝尔“理性的”极限概念 达朗贝尔脱下了“微分学神秘的外衣”（马克思语），首次尝试将微分学建立在“理性的”极限观念基础上.他认为“一个量永远不会重合，但它总是无限的接近它的极限，并且与极限的差要有多小有多小”，这样达朗贝尔给出了极限的描述性定义，但这个定义比较模糊，缺乏严密性.（2） 罗伊里埃用极限奠定的微积分基础数学家罗伊里埃用极限思想对古希腊的“穷竭法”做了

5、修改，并用极限定义导数，进而由导数来定义微分，排除了无穷小量和等有神秘色彩的概念和符号.表明极限思想作为微积分基础的正确思想，然而他的缺点是只有单侧极限的概念. （3）柯西的变量极限概念19世纪大数学家柯西抛弃了物理和几何直观，通过变量首次给出了建立在数和函数上的极限定义：“当一个变量逐次所取的值无限趋向于某一数值，最终使变量的值与该定值之差要多小有多小，这个定值就叫做所有 其他值得极限”.柯西的变量极限概念的提出，标志着极限概念向“算术话”迈出了决定性的一步，是数学史上的重大创新之一.此外，柯西还把无穷小定义为一个极限为零的变量，从而把极限原理和无穷小量有机的联系在一起.在此基础上，柯西又给

6、出了函数的连续性、导数和微分的概念，特别是他首先给出了定积分作为和式极限的定义.然而，虽然柯西把纷乱的极限概念理出了头绪，为精确极限定义的产生做出了开拓性的工作，但他的工作任然不够严格、精确.例如，他在定义中提到的“无限趋近”和“要多小有多小”只是一种直观的定性语言，而不是一种精确的数学语言.1.3极限思想的形成在柯西关于变量极限的直观动态基础上，德国数学家维尔斯特拉斯从静态的观点出发，把变量解释成一个字母（该字母表示某区间的数），给出了严格定义的极限概念，即他本人在1856年首先提出的现今广泛采用的极限定义： （1）的数列极限定义：，是一个确定的数，若对于，.(2) 的函数极限定义：设函数f

7、在点的某个空心领域内有定义，A是一个确定的数，若对任给的，总存在某个正数，使得当时都有，则称函数f当x趋向于时极限存在，且以A为极限.这样极限的定义便用静态的有限量刻画了动态的无限量，不仅排除了无穷小这个有争议的概念，而且排除了柯西在定义函数的连续性中用到的“变为并且保持小于任意给定的量”这种说法的含糊性，这标志着清晰而明确的极限概念的真正建立.此外，维尔斯特拉斯还用这一方法定义了连续函数、函数的导数和积分的概念，使微积分的定义摆脱了几何直观所带来的含糊观念最终成了今天的形式.1.4极限思想的完善尽管用-语言定义的极限概念非常严密，并以占领微积分课堂100年之久，但他复杂的课堂逻辑结构却成为微

8、积分入门难以理解和掌握的难点之一.近年来众多的专家学者在该研究领域取得了突破性的进展.特别是广州大学张景中院士提出了和-语言同样严格但易于被初学者所掌握的D-语言极限.(1) D-数列极限定义：若存在恒正递增无界数列，使得对一切数列n，总有，则.(2) D-函数极限定义：设函数f(x)在的空心领域有定义，是指存在零的某右领域内的恒正递增无界函数，使得当时，总有. 从极限概念的“-语言”到“D-语言”的过程其实就是不断简化-语言的逻辑结构，化逻辑为运算的过程，他的基本思想是用简单的单调过程刻画一般的，复杂的极限过程，并且在刻画极限的过程中-语言与D-语言还具有实质的等价性.D-语言的提出，为数学

9、分析课程的教学改革指出了一个新的方向，也为极限思想的进一步完善开辟了道路. 第2章 极限思想在数学分析中的应用2.1极限思想在概念里的渗透极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终，可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限，在几乎所有的数学分析著作中都是先介绍函数理论和极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、极数的敛散性，重积分和曲线积分与曲面积分的概念.（1） 如以函数在点连续的定义.记称为自变量（在点）的增量或改变量，设，相应的函数（在点）的增量记为，可见，函数在点连续等价于，是当自变量得增量时，函数值得增量趋于零时的极限.（2）函数在点导数的定义.设函数在点的某邻域内有定义，若极限存在

10、，则称函数在点处可导，令，则可写为，所以，导数是函数增量与自变量增量之比的极限.（3） 函数在区间上的定积分的定义。设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对认给的正数，总存在某一正数，使对的任何分割，以及在其上任意选取的点集，只要，就有，则称函数为在上的定积分，记。是当分割细度趋于零时，积分和式的极限.（4）数项级数的敛散性是用部分和数列，的极限来定义的等等.2.2极限思想在导数中的应用导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的，但与导数概念直接相联系的是以下两个问题：已知运动规律求速度和已知曲线求它的切线.（1） 瞬时速度 设一质点做直线运动，其运动规律为，

11、若为某一确定的时刻，为邻近于的时刻，则是质点在时间段上的平均速度. 若时平均速度的极限存在，则称极限为质点时刻的瞬时速度.（2）切线的斜率 曲线在其上一点处的切线PT是割线PQ当动点Q沿此曲线无限接近于点p时的极限位置.由于割线PQ斜率为因此当时如果的极限存在，则极限即为切线PT的斜率.给出导数的定义：设函数在点的某邻城内有定义，若极限存在，则称函数 在点处可导，并称该极限为函数在点处的导数，记作.令,则上式可改写为.2.3极限思想在积分中的应用积分是数学分析中的重要概念，其中的不定积分是求导数的逆运算而定积分则是某种特殊和式的极限，下面给出在定积分中极限思想的重要应用.定积分提出的背景：曲边

12、梯形是由非负连续曲线.直线以及x轴所围成，求此曲边梯形的面积？（1） 将曲边梯形分成个小曲边梯形（2） 当很大，且当所有的都很少小时，每个小时曲边梯形都可看成小矩形第个小曲边梯形面积其中，此时.（3）当n无限增大时，即当个无限趋近于0时，就无限趋近于曲边梯形的面积，故.定积分在闭区间内有个点，依次为它们把分成个小区间， ，这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割，记或。小区间长度为并记设是定义在上的一个函数，是一个确定的实数，若对任给正数，总有在某一正数，使得对的分割，以及在其上任意选取的点集，只要就有，则称函数在区间上可积，数称为上的定积分，记作. 第3章 证明极限存在及求极限的方法求函数和数

13、列的极限是数学分析的基本运算，求极限的主要方法有用定义、四则运算、两边夹法则、实数连续性定理等，除这些常规的方法外还有许多技巧，这些技巧隐含在函数论的相关理论中，以下主要以例题的形式介绍相关方法与技巧.3.1用极限的四则运算法则和简单技巧求极限利用极限的四则运算法求函数极限时需对所给的函数进行逐一验证，若满足条件才可利用此法则进行计算，并不是不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，可将函数进行恒等变形使其符合条件后再求，而对函数进行恒等变形时往往运用一些简单技巧，如拆项、分子分母有理化、变量替换等.例1：求解：此式为型，且分母极限为，因此先分子有理化，所以，原式.3.2用迫敛性准则求极限所

14、以，根据迫敛性定理有：原式 .收敛数列的迫敛性：设收敛数列，都以为极限，数列满足：存在正数，当时有，则数列收敛，且.函数极限的迫敛性：设，且在某内有，则.例2：求由3.3用泰勒公式求极限常用的泰勒公式：.例3：求解：由泰勒公式知所以，原式.3.4用等价无穷小求极限常用的等价无穷小：当时， ，.例4：解：因为 ，所以，原式.3.5用洛比达法则求极限洛比达法则只直接适用于型和型不定式极限，等类型，经过简单变换，可化为型或型极限.例5：求解：由是型不定式极限，有恒等变形转化为型不定式极限。所以，应用洛必达法则原式.3.6利用微分中值定理和积分中值定理求极限（1）第一积分中值定理：若在上连续，则至少有

15、在一点 使得（2）第二积分中值定理：设函数在上可积。若在上减(增)且，则存在 使或.例6：求解：有微分中值定理 (介于与之间)原式.例7：求解：令,在上可积，故不变号连续，由积分第一中值定理，由为有界量，为无穷小量故.四、总结极限理论是数学分析的基础，数学分析主要研究微分和积分，而极限又是微积分学大厦的基石，可以说没有充分的极限理论就不可能有今天数学蓬勃发展的局面，所以，我们应学好极限理论及极限思想. 参考文献1明清河：数学分析的思想与方法 M.山东大学出版社.2004.2李克典,马云苓：数学分析选讲M.厦门大学出版社.2005.3华东师范大学数学系：数学分析M.高等教育出版社.1999.9. 4 M.克莱因：古今数学思想（第四册）M.上海科技出版社.1983.10.致 谢“饮其流时思其源，成吾学时念吾师。”至此论