曲线曲面积分单元练习题答案_第1页
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文档简介

1、曲线积分与曲面积分单元练习题一、 填空题：1设L为上点到的上半弧段，则= ；2= ，其中是曲线介于到一段；3L为逆时针方向的圆周:,则；4设C是由轴、轴与直线围成的区域的正向边界，则；5 第一类曲面积分=；6 设曲面为：，则；7设：则=； 8格林(Green)公式指出了下列两类积分：_平面上第二类曲线积分和二重积分之间关系。高斯(Gauss)公式指出了下列两类积分：空间上的第二类曲面积分与三重积分_之间关系。 二、计算题：1计算，其中是抛物线上自点（0，0）到（1，1）的一段弧。解 。2计算，其中为从（0，0）到（2，0）的上半圆弧：。解 3已知平面曲线弧段是圆 上从点 到的有向弧段，试计算解

2、 4计算,其中为由点到点的曲线.解法一：由于，所以积分与路径无关。 = 解法二：根据第二类曲线积分计算。5利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.解：所围区域：,由格林公式，可得= =.6利用格林公式计算，其中是圆周 上从点到的上半圆有向弧段.解 令，令 由格林公式知 其中.又， 所以 7，其中为从点沿抛物线到原点，再沿直线到点。解 。原式 8下列计算是否正确，若正确，请给出理由，若不正确，请改正错误，并给出正确计算结果。计算曲线积分，其中L为从A（-1，0）到C（0，1），再到B（1，0）的曲线，AC为直线：，CB为直线：，计算过程为：因为,，所以积分与路径无关，从而=0(其中为直线段

3、：)。不正确，因为 ,要求，所以这样做是错误的。设是从A到C'，再到B的半椭圆周：，则=。9计算积分，其中是上半球面。解 =10 求其中是界于平面之间的圆柱面.解 柱面按对称面划分为两块，方程分别为 它们在面上的投影均为，且都有 于是 = 11计算,其中是圆锥面的一部分, ,的下侧外表面.解 ， 令 12求曲面积分，其中为锥面的外侧.解 由于在面上的投影区域 ，又取下侧，故由投影法得=注意到关于轴对称，故上式第一项与第二项在上的二重积分为0，于是 = 13 计算曲面积分其中为柱面及平面，所围成的空间闭区域的整个边界曲面的外侧。解 由于 利用高斯公式把所给曲面积分化为三重积分，再利用柱面坐标计算三重积分： 14计算积分其中的下侧。解 设的上侧,则=(高斯公式), 而 =0, 所以, I=015计算，其中为曲面被平面所截下的下面部

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