暑期班第14讲空间向量在立体几何中的应用理科学生版

1、第十四讲空间向量在立体几何中的应用高考要求1理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用知识精讲（一）知识内容1位置向量：已知向量，在空间固定一个基点，再作向量，则点在空间的位置就被向量所唯一确定了这时，我们称这个向量为位置向量由此，我们可以用向量及其运算来研究空间图形的性质2给定一个定点和一个向量，为空间中任一确定的点，为直线上的点，则在为过点且平行于向量的直线上 这

2、三个式子都称为直线的向量参数方程向量称为该直线的方向向量3设直线和的方向向量分别为和，（或与重合）；若向量和是两个不共线的向量，且都平行于平面（即向量的基线与平面平行或在平面内），直线的一个方向向量为，则或在内 存在两个实数，使4如果向量的基线与平面垂直，则向量就称为平面的法向量设是空间任一点，为空间内任一非零向量，则满足的点表示过点且与向量垂直的平面，称为该平面的向量表示式5设分别是平面的法向量，则或与重合；6线面角：斜线和它在平面内的正射影的夹角叫做斜线和平面所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角7二面角：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面从一条直线

3、出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱每个半平面叫做二面角的面棱为，两个面分别为的二面角，记作在二面角的棱上任取一点，在两半平面内分别作射线，则叫做二面角的平面角二面角的平面角的大小就称为二面角的大小我们约定二面角的范围为设，则角与二面角相等或互补（二）典例分析【例1】 设，则使、三点共线的条件是（ ）A BC D设向量，试确定的关系，使与轴垂直【例2】 已知，求平面的一个单位法向量；证明：向量与平面平行【变式】 已知和都是以为直角顶点的直角三角形，且求证：是平面的法向量；若是的垂心，求证：是平面的法向量【例3】 （08浙江）如图，矩形和梯形所在平面互相垂直， 求证：平

4、面； 当的长为何值时，二面角的大小为？【例4】 如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，分别为的中点，求证：，；求证：平面；求异面直线与所成角的余弦值；求直线与平面所成角的余弦值；求二面角的余弦值【例5】 如图直角梯形中，平面，以、分别为轴、轴、轴建立直角坐标系求与的夹角的大小（用反三角函数表示）；设，满足平面，求的坐标；与平面的夹角（用反三角函数表示）；到平面的距离【变式】 如图四棱锥中，底面是平行四边形，平面，垂足为，在上，且，是的中点求异面直线与所成的角的余弦值；求点到平面的距离；若点是棱上一点，且，求的值【例6】 已知分别是正方体的棱和的中点，求与所成角的大小；与平面所成角的大小；二面

5、角的大小【例7】 如图，棱长为的正方体中，、分别为棱、上的动点，且（）求证：；当的面积取得最大值时，求二面角的大小【例8】 （2009全国II）如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面证明：设二面角为，求与平面所成角的大小【例9】 （2009湖南卷理）如图，在正三棱柱中，点是的中点，点在上，且证明：平面平面；求直线和平面所成角的正弦值【例10】 （2009山东）如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形， ，分别是棱、的中点证明：直线平面；求二面角的余弦值【例11】 （2009天津）如图，在五面体中，平面，为的中点，求异面直线与所成的角的大小；证明平面平面；求二面角的余弦值【例12】 （2009四川）

6、如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，求证：平面；设线段的中点为，在直线上是否存在一点，使得平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；求二面角的大小家庭作业习题1. 已知，求方向向量为直线与平面所成角的余弦值习题2. 如图，在正方体中，求与所成角的余弦值习题3. 已知正三棱柱，底面边长，点、分别是边，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系求证：若为的中点，试用基向量、表示向量；求异面直线与所成角的余弦值习题4. （2003年全国新课程）如图，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，侧棱，、分别是与的中点，点在平面上的射影是的垂心求与平面所成角的余弦值；求点到平面的距离月测备选习题1. 已知三棱锥，、分别是棱、的中点，求：直线与所成角的余弦值习题2. 长方体中，为与的交点，为与的交点，又，求长方体的高；二面角的大小习题3. 如图：在空间四边形中，、两两垂直，且，是的中点，异