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文档简介

1、第四节 无穷小与无穷大(Infinitely Small and Infinitely Great)教学目的：理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量、无穷大量之间的关系，掌握它们的性质及无穷小的比较。内 容：1. 无穷小与无穷大 2. 无穷小的性质3. 无穷小的比较教学重点: 无穷小量和无穷大量的概念教学难点: 无穷小量和无穷大量有关性质，等价无穷小的应用。教 具：多媒体课件教学方法: 启发式教学教学过程：1.引入新课:本节根据函数极限的两种特殊结果来给出无穷小和无穷大的定义2.教学内容：一、 无穷小与无穷大1. 无穷小的定义定义1当在给定的时，以零为极限，则称是下的无穷小量，简称无穷小，

2、记作例如, 函数是时的无穷小，而函数是时的无穷小。注意(1)无穷小是变量,不能与很小的数混淆;(2)零是可以作为无穷小的唯一的数.例1 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小？ 解 (1) 因为，当时，为无穷小 (2) 因为，所以当时，为无穷小 （3）因为，所以当时，无穷小 (4) 因为，所以当时，为无穷小2. 无穷大的定义定义2 如果(或)时，无限增大，则称为当(或)时的无穷大量，简称无穷大，记作(或)。特殊情形：正无穷大，负无穷大注意:(1).无穷大是变量,不能与很大的数混淆;(3)当。，时可得到相应的无穷大定义3. 无穷大与无穷小的关系定理1 在自变量的同一变化过程(或)中，如果为无

3、穷大，则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。例2 自变量在怎样的变化过程中，下列函数为无穷大？ 解(1) 因为，即时，为无穷小，所以为时的无穷大；(2) 因为，即时，为无穷小，所以为时的无穷大；(3) 因为时，即时，即，所以及时，都是无穷大；(4) 因为所以时为无穷小，因此为时的无穷大。4函数、极限与无穷小的关系定理2 其中是当时的无穷小.注意：定理2在。，时仍然成立二、 无穷小的性质性质1 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。性质2 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。性质3 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。推论 常数与无穷小的乘积是无穷小。例3 求下列函数的极限 解 (1) 由,可知(2

4、)当时，所以是有界函数，又因为，故(3) 三、 无穷小的比较例如，观察各极限不可比.极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.定义 定理证：常用等价无穷小:例求下列极限(1) (2) 解(1) ，所以(2)，所以 课堂练习：求下列极限小结：1、无穷小与无穷大是相对于过程而言的.主要内容: 两个定义;二个定理;三个性质，一个推论.几点注意:(1)无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；(2)无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.(3)无界变量未必是无穷大.2、无穷小的比较:反映了同一过程中, 两无穷小趋于零的速度快慢, 但并不是所有的无穷小都可进行比较.高(低)阶无穷小;

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