概率论与数理统计试卷及答案 (2)

1、一、 本题满分20分，每小题5分某市有30 %住户订日报，有50 %住户订晚报，有65 %的住户至少订这两种报纸中的一种， 求同时订这两种报纸的住户的百分比。解：设A表示订日报的住户，B表示订晚报的住户，则由题意： 同时订两种报纸的住户为 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求三台机器中至少有一台发生故障的概率。解：令表示第份机器有故障，=1、2、3 且各机器相互独立运转 则： 3设求 。解： 4已知分别对事件A, B相互独立、互不相容两种情形求.解：（1）A,B独立时，则P(AB)=P(A)P(B) 故（2）A,B互不相容时,P(AB)

2、=0 故=0.5+0.25=0.75 =0.25二、本题30分，每题6分5一射手对同一目标独立地进行射击，直到射中2次目标为止，已知每次命中率为，求射击次数的分布率。解：令X表示射击的次数，则X的取值可能是2，3，4 （3分） 则X的分布率为P(X=k)= k=2,3,4 （3分）6.设随机变量X服从参数为3的指数分布，写出它的概率密度和分布函数，并求。解：X服从参数为3的指数分布 其概率密度为 （2分） 其分布函数为 （2分） 或者X服从参数为3的指数分布 其概率密度为 （2分）其分布函数为 （2分）7设随机变量，随机变量，且它们相互独立。又设随机变量，求Z的概率密度。解： （1分） （1分

3、） （2分）Z的概率密度为 （2分）8设二维离散型随机变量的联合分布律为 12312求，使与相互独立。解：欲使与相互独立 则 （1分） 由题意得： （4分） 解之得： （1分）9当抛掷五枚硬币时，已知至少出现两个正面，问正面数刚好是三个的概率是多少？解：令表示“正面数是三个”，表示“至少出现两个正面” （3分） 则正面数刚好是三个的概率是 （3分）三（7分）一袋中有5个编号分别为1，2，3，4，5的乒乓球，从中任意地取出三个，以表示取出的三个球中的最大号码，写出的分布律和的分布函数，并画出分布函数的图形解：的可能取值为3，4，5 且P(X=3)= = P(X=4)= = P(X=4)= = (

4、3分) X的分布韩淑为 分布函数的图像为四、（8分）一批电子元件中，甲类的占80%，乙类的占12%，丙类的占8%。三类元件寿命达到指定要求的概率依次为0.9，0.8和0.7。今任取一个元件，求其使用寿命能达到指定要求的概率。解：设A,B,C分别表示甲，乙，丙三类元件，D表示寿命达到指定要求 （3分） 则由全概率公式 （4分） =0.8×0.9+0.12×0.8+0.08×0.7 =0.872五、（10分）有一大批产品，其验收方案如下。先做第一次检验，从中任取10件，经检验无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否则作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次

5、品时接受这批产品。若产品的次品率为10%，求（1）这批产品经第一次检验就能接受的概率；（2）这批产品被接受的概率。解：（1）令表示第一次检验就被接受 则P()=0.349 （3分） (2)令B表示这批产品被接受，表示不接受也不拒绝 则 （6分） =0.692六、（10分）设二维随机变量服从区域内的均匀分布，求的联合概率密度函数以及与各自的边缘概率密度函数解：（X,Y）的联合概率密度函数为 X的边缘概率密度函数为 Y的边缘概率密度函数为 七、（15分）设随机变量与相互独立，服从区间上的均匀分布，服从的指数分布求（1）X和Y的联合密度；（2）设含有a的二次方程为，试求a有实根的概率；（3）又设随机变量，试求随机变量的概率密度函数解：由已知易得 （1分） （1）X,Y独立 X和Y的联合密度为 （2）方程有实根，则，即 P（方程有实根）=P()=