概率论与数理统计自测题

1、概率论与数理统计第四单元自测题 时间：120分钟，卷面分值：100分一、填空题：（每空2分，共12分） 得分 1设随机变量X与Y，方差D(X)=4，D(Y)=9，相关系数rXY=0.6，则D(3X-2Y)= 。2已知随机变量XN(0, s2)(s>0)，Y在区间上服从均匀分布，如果D(X-Y)=s2，则X与Y的相关系数rXY= 。3二维随机变量(X, Y)服从正态分布，且E(X)=E(Y)=0，D(X)=D(Y)=1，X与Y的相关系数rXY=-1/2，则当a= 时，随机变量aX+Y与Y相互独立。4设随机变量XN(0, 4)，Y服从指数分布，其概率密度函数为 如果Cov(X, Y)=-1，

2、Z=X-aY，Cov(X, Z)=Cov(Y, Z)，则a= ，此时X与Z的相关系数为rXZ= 。5设随机变量X在区间(-1, 2)上服从均匀分布，随机变量 则方差D(Y)= 。6设随机变量X服从参数为2的泊松分布，用切比雪夫不等式估计P½X-2½³4£ 。二、单选题：（每题2分，共12分） 得分 1随机变量X, Y和X+Y的方差满足D(X+Y)=D(X)+D(Y)，该条件是X与Y( )。 (A)不相关的充分条件，但不是必要条件；(B)不相关的必要条件，但不是充分条件；(C)独立的必要条件，但不是充分条件；(D)独立的充分必要条件。 2若随机变量X与Y的

3、方差D(X), D(Y)都大于零，且E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 (A) X与Y一定相互独立； (B) X与Y一定不相关；(C) D(XY)=D(X)D(Y)； (D) D(X-Y)=D(X)-D(Y)。 3设随机变量X与Y独立同分布，记随机变量U=X+Y，V=X-Y，且协方差Cov(U.V)存在，则U和V必然( )。 (A) 不相关；(B) 相互独立；(C) 不独立；(D) 无法判断。 4若随机变量X与Y不相关，则与之等价的条件是( )。 (A) D(XY)=D(X)D(Y)；(B) D(X+Y)=D(X-Y)；(C) D(XY)¹D(X)D(Y)；(D) D(X+Y

4、)¹D(X-Y)。5现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，某人从中随机地无放回地抽取3张，则此人所得奖金的数学期望为( )。(A) 6元； (B) 12元； (C) 7.8元； (D) 9元。 6. 将长度为1的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )。(A)1； (B)； (C)； (D)。三、判断题：（每题2分，共12分） 得分 1.( )设随机变量X和Y相互独立，且有D(X)=2，D(Y)=3，则有D(5X-2Y)=4。 2.( )设随机变量X，Y，且E(X)=5, E(Y)=3, D(X)=2, D(Y)=3, E(XY)=0，则方差。 3. ( )设随机变量X

5、和Y的联合分布律为XY-1 1 2-111/4 1/4 01/4 0 1/4 可知X与Y不相互独立，因此X与Y不相关。 4. ( )设随机变量的概率密度为 则的数学期望为 5. ( )设二维随机变量X与Y的联合概率密度为则数学期望。 6. ( )若二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为则随机变量X与Y不是不相关，因而X与Y不相互独立。 四、计算题（共34分） 1(8分)设随机变量x, h是相互独立且服从同一分布，已知x的分布律为 Px=i=1/3，i=1, 2, 3，又设X=max(x, h)，Y=min(x, h)，求(1)随机变量X的数学期望E(X)，(2) X与Y的相关系数rXY。 得

6、分 2(10分)设二维随机变量(X, Y)的概率密度为 (1)判别X与Y是否相互独立？是否相关？(2)求 D(X+Y)。 得分 3(8分)设二维随机变量(X, Y)的联合概率密度为 求E(X)，E(Y)，D(X)，D(Y)，rXY。 得分 4. (8分)设随机变量X1, X2, , Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求随机变量Z=min X1, X2, , Xn的数学期望与方差。 得分 五、应用题（共16分） 1.(8分)某系某班共有n名新生，班长从系里领来他们所有的学生证，随机地发给每一同学，求恰好拿到自己的学生证的人数X的数学期望与方差。 得分 2. (8分) 设某种商品每周需

7、求量X是服从区间(10, 30)上均匀分布的随机变量，而经销商店进货数量为区间10, 30中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求则削价处理，每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时每单位商品仅获利300元，求最优进货量。 得分 六、综合题（14分）设随机变量X1, X2, , Xn(n>2)为独立同分布，均服从N(0, 1)，记 ，Yi=Xi-，i=1, 2, , n，(1)求Yi的方差D(Yi)，i=1, 2, , n；(2)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1, Yn)；(3)求PY1+Yn£0；(4)证明Y1与Yn的相关系数为。

8、 得分 概率论与数理统计第四单元自测题参考答案一、填空题： 128.8；2. 1/4；3. 2；4. -1, ；5. 8/9；6. 1/8。二、选择题： 1C；2. B；3. A；4. B；5. C；6. D。三、判断题： 1错；2. 错；3. 错；4. 错；5. 错；6. 对。四、计算题 1【答】E(X)=22/9，rXY=8/19。【解】X与Y的联合分布律为：YX1 2 3PX=i1231/9 0 02/9 1/9 02/9 2/9 1/91/93/95/9PY=j5/9 3/9 1/91E(X)=22/9，E(Y)=14/9，E(X2)=58/9，E(Y2)=26/9，XY1 2 3 4

9、 6 9P1/9 2/9 2/9 1/9 2/9 1/9E(XY)=4。2【答】(1) 不独立，相关。(2) D(X+Y)=5/36。【解】 ，同理 在0<x<1, 0<y<1内，f(x, y)¹fX (x)×fY(y)，所以X与Y不相互独立。，由x与y的对称性知E(Y)=， ， D(X)=E(X2)-(E(X)2=11/144=D(Y)，Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-1/144，故X与Y相关。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X, Y)=5/36。3【答】E(X)=2/3，E(Y)=0(由奇偶性及对称性)，D(X)=

10、1/18，D(Y)=1/6，rXY=0。方法同上例，略。4.【答】E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。【解】随机变量X1, X2, , Xn的分布函数为 则 即Z服从参数为1/n的指数分布，故E(Z)=1/n，D(Z)=1/n2。五、应用题1.【答】E(X)=1，D(X)=1。【解】设随机变量，又，注意X1, X2, , Xn不相互独立，又，Xi Xj0 1P 于是 ， 。2.【答】约23单位商品。【解】(1)由题设，X的概率密度为设进货量为a，则利润为= -7.5a2+350a+5250，求最优进货量，即求使E(Ma)达到最大值的a，E(Ma)= -7.5(a-(350/15)2+ ，从而a=350/15=23.33，即进23单位该种商品为最佳。六、综合题【答】(1)；(2)；(3)1/2。【解】(1)由题设，X1, X2, , Xn相互独立，所以，i=1, 2, , n, ， i=1,