直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角与斜率（第1课时）一、 教材分析本课是直线的倾斜角与斜率的第一课时， 是高中数学平面几何内容的开始。直线的倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜角程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法的方式来研究直线及其几何性质的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的 基本思想和基本研究方法。本节有着开启全章，奠定基础，渗透方法的作用。根据以上分析，本节课的教学重点确定为教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系；过两点的直线斜率的公式。二、 学情诊断分析（1）学生之前已学习过函数的解析

2、式与平面直角坐标系中的函数图像，有了从数到形的认识，学生知道借助图形认识函数的性质，这是坐标法学习的基础。（2）学生在初中平面几何的思维模式下，即以公理为基础用从形的角度观察、度量几何元素间的关系，对从代数角度借助坐标、方程来解决几何问题感到不自然，在“几何直观 代数表示 几何直观”的转化上会有一定的困难。（3）直线方程的学习安排在三角函数之前，由于对正切函数不熟悉，角的正切值只停留在直角三角形中来求，因此，倾斜角的正切值等于斜率，这一概念还不能直接引入。根据以上分析，本节课的教学难点确定为员教学难点：倾斜角概念的形成及直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。三、教学目标：（1）知识与技能：理解直线

3、的倾斜角和斜率的概念；理解直线的倾斜角的唯一性，斜率的存在性；斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式。（2）过程与方法：通过提问形式，引导学生积极参与问题的探索，交流，归纳。（3）情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入和倾斜角与斜率关系的学习，培养学生的观察探索能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，让学生进一步理解数形结合思想。四教学方法数学学习不是简单的“告诉”，而应是学生个性化的“体验” 。本节课采用的是“引导探究式”， 即通过提问形式，引导学生积极参与问题的探索，交流，归纳的过程，本节课以问题为载体，以知识为核心，从学生的认知水平出发，进入学生的“最近发展区”。在知识方

4、面，从初中已学过的两点确定一条直线引出直线的倾斜角，由对倾斜角的分析得出斜率的定义和相关公式；在思想方法方面，借助于坐标系，经历几何（倾斜角）问题代数（斜率）化的过程，代数表示（斜率）到几何直观（直线的倾斜程度）的过程，渗透数形结合的思想。五、教学准备：本节课是本章的起始课，知识引入上难度较大，特采用多媒体辅助教学六、教学过程：（一）创设情境（3分钟）（PPT展示）世界上“最陡峭的桥梁”是日本江岛大桥全长约1446米，高约44米，桥下可供5000吨级的轮船通过。松江市一侧的斜率为6.1%，每前进100米升高约6米。近日日本江岛大桥因坡度过于陡峭成旅游新热点。 设计意图从生活实例出发，引出本节课

5、的研究对象，激发学生对知识的探究热情和兴趣（二）问题引导，探究新知（20分钟）1引入倾斜角问题1：确定平面直角坐标系内直线需要哪些几何要素？生：两点确定一条直线出示幻灯片辅助问题1：观察图3.1-2，过一点P可以作无数条直线，这些直线的共同点与不同点分别是什么？倾斜角定义：（板书）当直线l与x轴相交时：我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向所成的角叫做直线l的倾斜角。辅助问题2： 同桌相互合作在草稿纸上建一个直角坐标系，（取一个点）用铅笔模拟成一条直线，请画出它们的倾斜角，并回答：（1）每条直线是否有唯一的倾斜角，反之，倾斜角相同的直线是否唯一确定？（2）倾斜角的范围是多少？学生活动，教

6、师点评，得出： 出示幻灯片（1） 每条直线都有唯一的倾斜角，倾斜角是几何直观（形）的刻画直线的倾斜程度的；（2） 倾斜角的范围是00 ，1800）；（3） 确定一条直线有两种方式：直线上的一点与它的倾斜角；直线上的两点。设计意图由学生已有的知识经验，引出直线的倾斜角，符合学生的认知水平，对倾斜角的自主探索发现，尊重了学生学知识的“生成权”。2.斜率概念的构建问题2：直线的倾斜程度与倾斜角有什么关系？日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量是什么？回想日本江岛大桥。我们可以用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”（倾斜程度） 升 a 高 坡度比=升高量前进量=tan 前 进斜率的定义：把一条直线

7、倾斜角（900）的正切值叫做这条直线的斜率。即=tan问题3：得出随倾斜角的变化，斜率的符号怎样变化（几何画板演示）老师借助几何画板演示或学生亲自操作师：我们发现，直线的斜率有时为正数，有时为负数，它的符号和直线的倾斜角具有怎样的关系呢？生：直线的斜率为正时：00900 直线的斜率为负时：9001800 直线的斜率为零时：=00 =900时斜率不存在。师：当倾斜角=900时直线没有倾斜，所以斜率不存在。故=tan（900）（板述） 任何直线都有唯一的倾斜角，但倾斜角=900时斜率不存在。设计意图选择倾斜角的正切函数作为直线的斜率涉及覆盖了众多的知识与技能，体现的是思维的广阔性。为了突破教学难点

8、，从日常生活实际出发，借助信息技术工具演示，让学生感受数学知识的串联和呼应，同时体现了数形结合的思想。3.两点式斜率公式的推导问题4：斜率的值与直线上两点的坐标有什么关系？设P1（x1,y1）p2(x2,y2),试用p1,p2的坐标表示直线的斜率k？设计意图将斜率坐标化，让学生初步体会坐标法的思想。学生活动：让学生自己画直线，标出上述条件，不同的学生标记得方法位置不同，将他们所有的情况都收集起来再分类讨论，分组合作。通过这一活动使得学生对要解决的问题有一个全面的认识，同时认识到分类讨论和合作学习的必要性。 P1(x1,y1) a分析：首先要构造直角三角形。辅助问题1：各种情况得出的结论一致吗？

9、，与两点的顺序有关吗？辅助问题2：当直线垂直x轴或y轴时，上述结论还适用吗？形成结论：经过两点，的直线的斜率 设计意图让学生在互动交流中探讨，在对“几何画板”的实践中得到证实，体会知识的探索过程，进一步利用分类讨论的思想，提高学习的热情。（三）典例分析，动态生成（15分钟）例1：出示幻灯片 设计意图通过例题的讲解，学生的动手体验。可以直接用斜率定义求解，熟悉斜率公式，让倾斜角与斜率在应用中生成，提高学生对倾斜角与斜率的理性认识，体会数形结合思想。变式：（1）把题中B点改为（-4,2），则直线AB的斜率和倾斜角分别是什么？ （2）把把题中B点改为（3,1），则直线AB的斜率和倾斜角分别是什么？例

10、2：在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为1，-1和2的直线。设计意图要求学生画图，体验数形结合的思想方法，熟练应用两点式斜率公式。（四）归纳小结，有效建构（5分钟）问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？可以从知识、方法、思想等方面谈一谈。:同学们归纳得非常好,我们还可以用框图的形式加以归纳: 出示幻灯片知识结构:确定平面直角坐标系内直线的几何要素点和倾斜角两个不同的点=:课后寄语：评析让学谈收获是加深对本节知识的理解,形成自觉内化的意示（五）课后检测，巩固提升（1）教材第86页练习1、2、3、4题 （2）教材第89页习题3.1A组第4、5题作业说明：作业（1）是基础题，作用为巩固斜率

11、的定义式和公式，要求做在课本上；作业（2）是提高题，作用是应用斜率知识来解决问题，要求做在作业本上。评析学生独立思考完成作业的过程是将知识进一步巩固的过程直线与方程 斜率公式：直线的倾斜角与斜率倾斜角： 例2：当直线l与x轴相交时：我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向 上方向所成的角叫做直线l的倾斜角。当直线l与x轴平行或重合时：我们线的斜率。即=tan（900） 板述设计 三、教学反思通过本节课的教学实践，认识到新课程标准下的课堂教学“效在课堂，功在课外”，要想在课堂上达到满意的效果，必须在课外进行大量的准备。本节课作为本章乃至整个解析几何的起始课，在思维方式及解决问题的思想方法上需要老师的引导，在知识内容上需要从解析几何的发展史、已学过的知识和日常生活问题进行引入。从而达到思想方法的“渗透”，知识平稳的“过渡”的目的。在学法上，应让学生多参与体验，体会数形结合的思想内涵；体会倾斜角和斜率都是用来刻画直线的倾斜程度的。可取之处：一.准备了大量的图片和几何画板课件供学生观看体验,激发学