数学物理方程-第三章分离变量法2new

1、第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数贝塞尔（Bessel）函数.本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §31 二阶线性常微分方程的幂级数解法3.1.1 常系数线性方程的基解组在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方

2、程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) .(2) .(3) .解 (1) 特征方程为 ，特征根为 故基解组为 .（2）特征方程为 ，特征根为，是一对共轭复数，基解组为，这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得，这两个实值函数也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 . （3）特征方程为 ，特征根为，即是二重特征根. 此时，由特征根只能写出微分方程（3）的一个解为.为求方程（3）另一个与解线性无关的解，要用到求解微分方程的摄动方法，即，考虑齐次方程， （1.1）（1.1）称为方程（3）的

3、摄动方程. 易得（1.1）的特征根为, 由此可得（1.1）的基解组为. 利用齐次微分方程解的线性性质可得：， ， （1.2）仍是（1.1）的解. 当趋于零时，方程（1.1）趋向于（3）中的方程. 可以证明，（1.1）的解关于参数是连续的，即当趋于零时，（1.2）中的也趋向于（3）中方程的一个解. 利用罗比塔法则可得，此即微分方程（3）的另一个与解线性无关的解. 因此方程（3）的基解组为 . 例1.2 求解下列齐次微分方程(1) .(2) .（3）. 解 （1）特征方程为 ，因式分解为,特征根为，故基解组为 .（2）特征方程为 ，因式分解为 ,由此可得特征根为，故基解组为 .（3）特征方程为 ，

4、因式分解为,特征根为而和都是该特征方程的二重根，由此可得方程（3）的基解组为 .3.1.2 变系数线性方程的幂级数解法对于变系数线性常微分方程，要求出齐次方程的基解组绝非易事. 若方程为二阶，可用待定系数法求出某种级数形式的基解组或一个非零解. 有关这方面的理论和方法已比较成熟，有兴趣的同学可查阅参考文献.下面，我们不加证明地给出本门课程中要用到的两个主要结果，作为今后求解一些特征值问题的理论基础. 定理 1.1 考虑下面二阶变系数线性常微分方程 ， （1.3）如果在的邻域解析，即在该邻域可展成Taylor级数，则方程（1.3）有如下形式的解析解 ， （1.4）其中可由待定系数法求出. 定理

5、1.2 考虑下面二阶变系数线性常微分方程 ， （1.5）如果在的邻域解析，即最多为和的一阶和二阶极点. 则在该去心邻域，方程（1.5）有如下形式的级数解 ， （1.6）其中，. ，可由待定系数法求出. 下面应用定理1.1求解一些变系数线性常微分方程，而定理1.2的应用则放在下节.例1.3 求解下列方程（1）.（2）.解（1）此题中，它们都是R上解析函数. 根据定理1.1，可设解为 . 将该级数求一阶和二阶导数并将和代入到原方程中得，或，令上式中系数为零可得 ，此即 . （1.7）由（1.7）易得 .将上面的结果代入到 得其中表示的半阶乘，其值为小于或等于的一切偶正整数之乘积，而值为小于或等于的

6、一切奇正整数之乘积, 为任意常数. 由于和线性无关，故方程（1）的基解组为. （2） 此题中，它们都是上的解析函数. 根据定理1.1，可设解为 . 将该级数及二阶导数代入到原方程中得，或. （1.8）将的Taylor级数，代入到（1.8）中得，展开可得，由此可得 将上面的结果代入到 得其中为任意常数，为方程（2）的基解组. 例1.3 求解下面方程 （1.9）其中为非负实数. 解 此题中,这两个函数在区间，即内解析. 根据定理1.1，可设解为 . 将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得，或.令上式中系数为零可得 此即 （1.10）连续使用（1.10）可得:,，.将上面的结果代入到 得 （1.1

7、1）其中为任意常数，为Legendre方程的基解组. 注1 当不等于整数时，（1.11）中和是两个无穷级数，它们在区间收敛，而在该区间两个端点发散到无穷大. 当等于整数时，例如，由上面的表达式易见：若为偶数，则；若为奇数，则. 因此，当为正整数时，和其中之一是一个次多项式. §32贝塞尔函数本节介绍一类特殊函数贝塞尔（Bessel）函数，为分离变量法的进一步应用作准备. 32.1 函数考虑广义积分，由广义积分敛散性判别法可得，当时，该广义积分收敛. 将此广义积分记为，即 （2.1）此函数称为函数，它对任意的有定义且. 具有如下性质（1） ，. （2.2）（2） ，. （2.3）下面给

8、出（2.2）和（2.3）的证明. .为求，令，并记，利用极坐标变换可得，故有. （令）.利用（2.2）和（2.3），请同学们证明以下两式:.利用公式（2.3）可将的定义域由扩充为. 如当时定义，则在区间有定义. 类似地可定义在区间上的值, 如此继续下去，便可将的定义域扩充到实轴上除去负整数的点集上. 注1 利用数学分析中关于含参变量广义积分的可微性结果可得：在区间是一阶连续可导的，并且还可以通过积分号求导，即有 . 由的连续性易见 .在中令得 ,即是函数的无穷间断点. 结合在负实轴的延拓方式,易见每个也是函数的无穷间断点. 因此，习惯上就约定 注2 利用在附注1中给出的的表达式可证：存在唯一的

9、实数使得，且有 因此，在区间有唯一的极小值. 由于根据罗尔定理可知介于1和2之间. 利用数值计算方法可以求出和的近似值为 . 在附注1中已得到. 由于，在区间单调增，故有. 结合附注2中的结果和在负实轴的延拓方式,可得的示意图如下-32412-2-1-4-2图3.132.2 Bessel方程和Bessel函数设，二阶线性常微分方程 （2.4）称为阶Bessel方程. 方程两边同除以，相当于定理1.2中的，它们满足该定理的条件，故可用待定系数法求（2.4）具有级数形式的解，即令 ， （2.5）其中和为待定常数. 将（2.5）代入到（2.4）中并整理可得.比较上式两端的系数得 （2.6）由于，故有

10、，. 首先取，则由（2.6）可得,.如果选取，则有. 将以上所得代入到（2.5）中便得（2.4）的一个解为, 此函数称为阶Bessel函数, 通常用记此函数，即 . （2.7）如果不为整数，取，利用（2.6）类似可得（2.4）的另一个解为 , （2.8）称为阶Bessel函数. 当为正整数时，例如，取，此时（2.6）中第三个方程为 当时的系数等于零，因而利用该方程确定系数的过程失效. 当为正整数时，的定义要利用（2.8）式. 当时，注意到当时, 所以（2.8）中幂级数部分的系数当时为零. 在（2.8）中代就得到 .总而言之，对每个实数上面都定义了阶Bessel函数，并且和都是阶Bessel方程

11、（2.4）的解. 记表达式中幂级数部分的系数为，直接计算可得即表达式中幂级数部分的收敛半径为无穷大, 类似可证表达式中幂级数部分的收敛半径也为无穷大. 因此，和中幂级数部分是两个在实轴上的解析函数. 注意到在右连续而在的邻域无界，故当不等于整数时，和是线性无关的，它们构成（2.4）的一个基解组. 当时，直接计算可得（令） , （2.9）即和是线性相关，须另找（2.4）的一个与线性无关的解.注3 利用数学分析中函数項无穷级数的可微性结果可证：当不等于整数时，和中无穷级数部分作为参数的函数是可导的. 由于函数和当时关于也是可导的，所以和当时关于是可导的,且对任意给定的非负整数，和存在. 在例1.1

12、中方程（3）的求解中，我们已使用过摄动方法求出该方程的基解组. 下面再使用此方法求当时，阶Bessel方程另一个与线性无关的解. 对于任意的非负整数，选取满足，即不是整数，这时和是（2.4）的两个线性无关的解. 利用齐次方程解的线性性质可知也是（2.4）的解. 当趋向于时，中分子分母均趋向于零，即是未定式. 利用罗必塔法则并结合附注3中的结果可得.若记此极限为，则进一步还可证明：也是（2.4）当时的一个解且与线性无关， 因此, 当为非负整数时，和是（2.4）的二个线性无关的解，它们构成（2.4）的一个基解组. 通常称为第二类Bessel函数或Neumann函数. 注4 贝塞尔函数在数学物理方程

13、中有许多应用，它不仅可用来求解贝塞尔方程（2.4），还可通过变量代换求解其它的方程, 而这些方程在求解与Laplace算子相关的定解问题中发挥着很大的作用. 本章练习题中的第13题中给出了一些例子，请同学们利用贝塞尔函数求出这些问题的解. 32.3 Bessel函数的性质整数阶Bessel函数具有和三角函数和相类似性质，下面分别介绍. （1） 奇偶性： 在（2.7）中取，并用代替得由此推出，当为奇数时，为奇函数；当为偶数时，为偶函数。 （2） 零点分布：的根称为的零点. 当时，和的示意图如图2.1所示。O1图2.1其中实线为的图形，虚线为的图形. 可以证明：无复根，但有无穷多个实根，它们在轴上

14、关于原点对称地分布着. 除外，；的根，除可能是重根外，其余根全为单重根. 记的正根，即的正零点为. 进一步还可证明：当时，；并且当时，具有如下渐近表达式 即是一个衰减振荡函数. （3） 递推公式： 为计算简单起见，下面只给出整数阶Bessel函数递推公式的证明. 对于非整数阶Bessel函数，所得结果仍成立. 由于幂级数在收敛域内可逐项求导，用乘并对求导得 . （2.10）类似地，用乘并对求导得 （2.11）将（2.10）和（2.11）两式左端导数求出并整理得,.在上面两式中消去或可得 . （2.12） . （2.13）（2.12）和（2.13）便是整数阶Bessel函数的递推函数公式. 32

15、.4 Bessel方程的特征值问题在第二章我们遇到的特征值问题，都是二阶线性微分算子带有不同边界条件下的特征值问题. 而相当于二阶线性微分算子在一维的情形. 当空间变量为二维时，在直角坐标系下,. 在极坐标系下，直接计算可得.因此，二阶线性微分算子在圆域上的特征值问题即为 . （2.14）边界条件为（Dirichlet边界条件，或为(Neumman边界条件. 下面利用分离变量法求解（2.14）.令并将其代入到（2.14）中得,变形为,此即,故有 （2.15） . （2.16）由第二章定理1.3知：（2.15）的特征值和特征函数分别为，. 将代入到（2.16）中便得 , （2.17）方程（2.1

16、7）结合一定边界条件便是Bessel方程特征值问题. 考虑Dirichlet边界条件下阶Bessel方程特征值问题 （2.18）其中是一个正常数，为非负整数. 为待定常数，称为(2.18)的特征值，而相应于的非零解称为（2.18）的特征函数. 对于Bessel方程特征值问题（2.18），如下结论成立.定理2.1 设为非负整数，为的第个正零点，即的正根. 则（2.18）的特征值和特征函数分别为 , （2.19） , （2.20）特征函数系关于权函数是正交的，且有 ,. （2.21）其中鉴于该定理证明方法在特征值问题中具有典型性，下面给出该定理的详细证明过程，也请同学们认真学习这一证明方法. 证明

17、 由于证明过程比较长，以下分四步完成.为书写简单起见，在下面的证明中有时就略去自变量将简记为，简记为. 第一步 证明特征值非负. 将（2.18）中的方程两边除以，并写成如下散度型的形式,以乘上式，并对在区间积分得, .若是（2.18）的特征值，则（2.18）相应于的解不恒等于零. 利用（2.18）中的边界条件得,由此可知：（2.18）的特征值且当时. 第二步 求解特征值问题. 当时（2.18）中的方程为欧拉方程，解之可得利用边界条件，可得即. 因此，不是特征值，即一切特征值. 当时，对（2.18）中方程作自变量变换：，方程成为阶Bessel方程 . 由于阶Bessel方程的通解为,故（2.18

18、）中方程通解为 . （2.22）由，得. 由得,由于，所以为的正零点. 故有, , 将代入到（2.22）中并略去非零常数得 , . 和便是特征值问题（2.18）的特征值和特征函数. 第三步 证明特征函数系关于权系数的正交性. 设，则和分别满足如下两个方程 , （2.23） . （2.24）以乘（2.23），乘（2.24）并将两式相减得 ,或.上式两边对在区间积分得 ， （2.25）记（2.25）等号右边为，利用分部积分法得 .注意到，由（2.25）便得 ， （2.26）（2.26）便是和关于权函数的正交性. 第四步 求出关于权函数的平方模. 记并取使得. 直接验证可得：分别是如下两问题的解 （

19、2.27） （2.28）类似于第一步，可将（2.27）和（2.28）中的方程化为如下形式， （2.29）， （2.30）用和分别乘（2.29）和（2.30）两式并相减得，在区间积分上式得. （2.31）由（2.31）可得在上式中令，由罗必塔法则可得. （2.32）问题得证.定理2.2 设在区间连续且具有分段连续的一阶导数，则在区间上，可按（2.20）给出的特征函数系展成如下的FourierBessel级数 ， （2.33）其中 （2.34）展开式（2.33）称为的FourierBessel级数，通常也叫的广义Fourier级数或简称为Fourier级数，称为关于特征函数系的Fourier系数.

20、 对于带有Neumann边界条件Bessel方程的特征值问题，也有下面类似于定理2.1和定理2.2的结果. 考虑Neumann边界条件下阶Bessel方程特征值问题 （2.35）其中是一个正常数，为非负整数.定理2.3 设为非负整数，为的正零点，即的正根. 则（2.35）的特征值和特征函数分别为 当 时，, ， （2.36） 当时，, （2.37）特征函数系关于权函数是正交的，且有 ,. （2.38）特征函数系也是完备的.定理2.3的证明和定理2.1的证明完全类似，作为练习，请同学们自己完成.定理2.3中特征函数系完备性证明可查阅参考文献. 32.5 圆域上Laplace算子的特征值问题利用定

21、理2.1并结合特征值问题（2.15）可得如下结果定理2.3 考虑圆域上拉普拉斯算子特征值问题该问题的特征值和特征函数分别为 ， （2.39）其中. 特征函数系是相互正交的，且有 （2.40）特征函数系也是完备的.注5 上面简单地介绍了两类函数, 既函数和Bessel函数，它们都是特殊函数. 其中一个由含参变量的广义积分给出,而另一个则由无穷级数的形式给出. 一般说来，偏微分方程的解均具有这样的形式, 希望同学们能逐渐习惯这类函数. 32.6 一些例子下面举例以复习函数和Bessel函数.例2.1 计算下列积分 （1）. （2）.解 （1） 对积分作变量代换 ，则. （2）对积分作变量代换 ，则

22、,.例2.2 证明 .证明 由（2.7）得.例2.3 计算积分. 解 利用递推公式（2.10）得.例2.4 证明 证明 在（2.11）中取得 ，由此可得 （2.12）和（2.13）两式相减可得 ， 在上式中取，并将前面所得结果代入即得所要结果. 例2.5 设是函数的正零点，证明 证明 在递推公式（2.11）中取得.因此，是的正零点. 记，作变量代换得 .将积分变量还原为积分变量得.注意到并利用定理1中的（2.21 ）得由于，即，取得,利用得.由此可得 例2.6 将函数在区间上按正交函数系展成Fourier级数. 解 由于在区间上连续且具有一阶连续导数，由定理2.3得,其中.令，则有 .故所求展

23、开式为. §33 多个自变量分离变量法举例用分离变量法求解个自变量的偏微分方程定解问题，其过程和两个自变量的情形相似. 为简单起见，所举例子中均取第一类边界条件. 对其它类型边界条件，差别只是由定解问题导出的特征值问题不同，而求解过程基本上是相同的. 3.3.1 矩形域上定解问题 例3.1 在矩形域上求解定解问题 解 第一步 记, 并令代入到（3.1）得 ， ，由此可得 ， .由边界条件（3.2），（3.3）得定解问题（3.1）-（3.4）的特征值问题为 （3.5） 第二步 令并代入到（3.5）中得 ， （3.6） （3.7）易见（3.6）的解为 ， ，将代入到（3.7）中，类似可得

24、 ， ，将和相乘，便得（3.5）的特征值和特征函数分别为 ， ，第三步：将代入到中并求解得. 根据叠加原理得 . （3.8）由初始条件（3.4）得 , . 类似于一元函数Fourier级数中系数求法得,将，代入到（3.8）中便得（3.1）（3.4）的解. 若，同学们试计算和. 3.3.2 圆柱体或圆域上定解问题例3.2 设圆柱体为，若其边界温度为，初始温度为，且只与有关且有界，求圆柱体内的温度分布. 解 记，则满足以下定解问题 由于初始条件只与有关，边界条件为齐次边界条件，故可推知圆柱体内以轴为中心的圆柱面上温度相同，即只与和有关，而与和无关，故有. 对定解问题（3.9）（3.11），作自变量

25、变换，并注意到与无关，直接计算可得 下面利用分离变量法求解问题（3.12）（3.14）. 令并代入到（3.12）中得,由此得 ，.由该问题的物理意义可知函数有界，从而有有界. 由此可推出应满足自然边界条件 . （3.15）结合边界条件（3.13）可得定解问题（3.12）（3.14）的特征值问题为 （3.16）定解问题（3.16）是Bessel函数特征值问题（3.14）中，的特殊情形. 由定理2.1可得，将代入到中并求解得，从而 ，根据叠加原理得 . （3.17）在（3.17）中令并结合初始条件（3.14）得,其中. 将代入到（3.17）中便得定解问题（3.12）（3.14）的解. 若，请同学们

26、自己求出的值. 如果定解问题中的偏微分方程为非齐次方程，可用以下二种方法求解. 例3.3 求解如下定解问题 解 该定解问题中的偏微分方程为非齐次方程，可用以下二种方法求解. 方法1：选满足（3.18）（3.19），并作函数代换将方程（3.18）齐次化. 为此考虑如下定解问题 为简单起见设，从而，故上面定解问题转化为 （3.21）（3.21）中的微分方程是欧拉方程，直接求解可得其通解为 . 由边界条件和可得，.故有 .令，则定解问题（3.18）（3.20）转化为其中. 定解问题（3.22）（3.24）和例3.2中的定解问题（3.12）（3.14）属同一类型，因而可用例3.2中的方法求解. 方法2

27、： 利用特征函数法直接求解定解问题（3.18）（3.20）.由例3.2已知该定解问题的特征值和特征函数分别为 ，将初始值和方程的自由项按特征函数系展成Fourier级数得 ， 其中，. ，其中 . 令 并将其代入到（3.18）中得, . （3.25）由于满足（3.16）中的方程，即 ， （3.26）将（3.26）代入到（3.25）中得 , , （3.27）比较（3.27）两边的系数得, , （3.28）利用初始条件（3.20）得.， . （3.29）结合（3.28）和（3.29）便得满足如下定解问题 （3.30）（3.30）是一阶线性非齐次常微分方程的初始值问题，易得其解为 ，将代入到的级数中

28、得 . （3.31）（3.31）便是定解问题（3.18）（3.20）的解.注1 在例3.2和例3.3中所使用的求解方法，也可用于求解圆域上的二维波动方程的定解问题. 在热传导问题中，满足一阶线性常微分方程. 而在波传播问题中，满足二阶线性常微分方程. 除此之外，其余的求解过程大体相同. Bessel函数还可用于求解圆柱体上Laplace方程的定解问题，下面举例说明. 例3.4 设有一半径为高为的圆柱体，其下底和侧面电位为零，上底电位为，试求圆柱体内的电位分布. 解 记，则圆柱体上电位满足如下定解问题由于边界条件只与有关，可推知. 作柱面坐标变换，则上面定解问题转化为 令并代入到（3.32）中可得 （3.36）利用边界条件（3.35）和自然边界条件可得特征值问题 求解（3.37）（3.38）可得特征值和特征函数分别为，, 将代入到（3.36）中并求解得，根据叠加原理令 . （3.39）由（3.33）得. 由（3.34）得 直接计算可 . (3.40)将代入到（3.39）中，最后可得（3.32）（3.35）的解为 . 注2 由上面几个例子可以看出，利用Bessel函数求解圆域或圆柱体上一些偏微分方程定解问题时，要求该问题的解与无关，定解问题的解可按定理