无穷级数讨论

1、泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象2006级本科授课题目第十五讲 无穷级数讨论课时数4教学目的通过教学使学生掌握正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径，求幂级数的和函数，把一个函数展开成幂级数的方法，了解如何把一个周期函数展开成傅里叶级数。重点难点1重点正项级数的审敛法，幂级数的收敛半径，求幂级数的和函数，把一个函数展开成幂级数；2难点求幂级数的和函数，把一个函数展开成幂级数。教学提纲第十五讲 无穷级数讨论一、 级数的基本概念1数项级数的基本概念2数项级数的性质二、数项的级数的审敛法1.比较判别法 比较法的极限形式 比值判别法 根式判别法4 绝对收敛与条件

2、收敛三、 幂级数1 幂级数的基本概念2 幂级数的收敛半径3 幂级数的逐项求导与逐项积分3 求幂级数的和函数的步骤4 把一个函数展开成幂级数的方法四、傅里叶级数1.基本概念2. 傅里叶级数的推广教学过程与内容教学后记第十五讲 无穷级数讨论一、级数的基本概念1数项级数的基本概念（1）称为无穷级数，简称级数。（2）为级数的第n项部分和。（3）若，则称级数收敛，记为；否则称级数发散。(4)三个重要级数调和级数:发散;P-级数：几何级数： 这三个级数是判定一般级数收敛的参照级数。2数项级数的性质(1) 若收敛于s，则收敛于，即(2) 若，分别收敛于，则收敛于，即(3)级数去掉、加上、改变有限项收敛性不变

3、。(4)收敛级数任意加 括号仍收敛，且和不变。(5)(级数收敛的必要条件)若收敛，则说明:收敛的必要条件常用于判定级数发散。例如,由于，故级数发散二、级数的审敛法1正项级数审敛法 若则称为正项级数正项级数的部分和数列单调递增，即,所以 正项级数收敛的充要条件是部分和数列有界（1）（比较判别法）均为正项级，且,则若收敛，则收敛；若发散，则发散。()（比较法的极限形式）均为正项级，若为正数，则的收敛性相同；若，则当收敛时，必有收敛；若，则当发散时，必有发散。(2) （比值判别法） 为正项级数，若，则收敛；若，则发散；若，则可能收敛可能发散。(3)（根式判别法） 为正项级数，若，则收敛；若，则发散；

4、若，则可能收敛可能发散。例1：求级数的和。【解】例2:判定下列级数的收敛性（1） （2） (3) （4） (5) 【解】（1） ,又发散，故原级数发散 （2）取参照级数为因为，又级数收敛，故原级数收敛.(3) 取参照级数为,收敛。 （4），故级数收敛。 (5) ，故级数收敛。例3： 证明 【证明】 设，只须证正项级数收敛 因为 又 所以由比值法知收敛，故收敛 由收敛的必要条件可知2. 一般项级数的收敛性（绝对收敛与条件收敛）除正项级数和负项级数以外的无穷级数称为任意项级数。任意项级数的收敛性主要通过其绝对值级数的收敛性转化为正项级数处理，另外交错级数用莱布尼兹判别法判定收敛性 若正项级数收敛，

5、则级数必收敛，称之为绝对收敛。若发散，而收敛，则称条件收敛。定理1:绝对收敛的级数是收敛的；(1)交错级数:，称级数为交错级数.定理2（莱布尼兹判别法）：若交错级数满足: 则该级数收敛。 例如：收敛，而发散，因一般项不收敛到0。 例：判定下列级数的收敛性。若收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛？（1） 绝对收敛（2） 条件收敛例：正项数列单减，且发散，问级数是否收敛？【解】正项数列单减，所以存在，设。发散，由根式判别法知级数收敛。例6：，求；证明（）收敛【解】 = ,收敛，因而收敛三、 幂级数1 幂级数的基本概念(1) 函数项级数称为关于的幂级数。当级数称为关于的幂级数。转换(2)(收敛域特点)如

6、果幂级数当时收敛，则时，绝对收敛；如果当时发散，则时，发散。()设正数为幂级数的收敛半径；区间称为幂级数的收敛区间。注：在收敛区间的内部，点点绝对收敛；在收敛区间的外部，点点发散；在收敛区间的端点，可能不收敛，可能条件收敛，也可能绝对收敛。()收敛半径的求法 如果满足，,则收敛半径例7：（）已知在条件收敛，求收敛半径和收敛区间；（）求的收敛域；（3）求的收敛域；（）求幂级数的收敛域【解】（）由幂级数收敛区间的特点知，是收敛区间的中心，是收敛区间的端点，所以收敛区间为。（），收敛半径为3,当时级数发散， 当时级数收敛，收敛域。（），后者的收区间为（，），原级数的收敛域为（，）（）【分析】对于缺项

7、幂级数，不能按函数项级数收敛域的求法计算，一般把它看成数项级数，用比值判别法求收敛半径。记，则. 所以当时，所给幂级数收敛；当时，所给幂级数发散；当时，所给幂级数为，均收敛，故所给幂级数的收敛域为2 幂级数的逐项求导与逐项积分(1)幂级数的和函数在其收敛区间上可积，并有逐项积分公式 (收敛半径不变)(2)幂级数的和函数在其收敛区间上可导，并且有逐项求导公式 （收敛半径不变）3求幂级数的和函数 求幂级数的和函数的步骤 (1)为计算方便,把把幂级数拆分成两个幂级数 (2)用逐项求导或逐项积分方法,化为下级数求解 (3)用逐项积分与逐项求导方法,求和函数.例8：求幂级数在的和函数.【解】在内，而 ，

8、所以 ，又，于是 .同理 ，又 ，所以 .故 . 例9：求幂级数的和函数及其极值.【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【解】 上式两边从0到x积分，得 由f(0)=1, 得 令，求得唯一驻点x=0. 由于 ，可见在x=0处取得极大值，且极大值为例10：求幂级数的和函数【分析】许多题目需要把一个级数分成两个级数，分别求得和后再把和相加。【解】例11：求幂级数的收敛区间与和函数.【分析】 先求收敛半径，进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到. 收敛半径为1, 和函数例12：求级数的和【分析】的和为的和函数在的函数值

9、，结果为：. 4 把一个函数展开成幂级数（）求的导数，或裂项化成的形式；（）用公式 展开成幂级数；()用逐项积分方法,求的展开式；.例13：将函数展开成x1的幂级数，并指出其收敛区间.【解】= = 其中，第一个幂级数的收敛区间为，第二个幂级数的收敛区间为，故幂级数的收敛区间为：，即例14：将函数展开成的幂级数,并求的和。【解】令得，四、傅里叶级数.基本概念（）若以为周期的函数，在可积，称+为在上的傅里叶级数。= n=01,2, = =1,2,3,称为函数的傅里叶系数（）设是以为周期的函数，如果它满足条件:在一个周期内连续或至多只有有限个第一类间断点，则+收敛，当是的连续点时，级数收敛于；当是的间断点时，级数收敛于.当是端断点时，级数收敛于.例15：，求在上的傅里叶级数，并求的和【解】由为偶函数，则 所以 取，得, 所以 在一个三角级数中，若只含有正弦项，则该级数称为正弦级数；若只含有余弦项，则称为余弦级数一般地，有下述结论：若是以为周期的奇函数，则的傅里叶级数只含项；：若是以为周期的偶函数，则的傅里叶级数只含项；例16 设是以为周期的函数，它在上的表示式为= (-)将展开为傅里叶级数【解】 因为函数是奇函数，所以它的傅里叶级数是正弦级数因此=0, =0 (=1,2,3);= (=1,2,3