2019-2020学年必修二空间几何体复习学案

1、空间几何体复习【学习目标】1整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识；2能熟练画出几何体的直观图或三视图，能熟练地计算空间几何体的表面积和体积，体会通过展开图、截面化空间为平面的方法.要点归纳主干梳理点点落实1 空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积有两个面互相平行，其余fi11S侧=Ch,棱柱各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共C 为底面的周长，hV= ShJ 8为高边都互相平行多有一个面是多边形，其余1S侧=?Ch,面棱锥各面都是有一个公共顶1 V=；ShC 为底面的周长，h3体/ XvL_ A广点的三角形/ /为高AB用一个平行于棱锥底面1 ,S侧=

2、2（C+ C ）h,1v二（S上棱台的平面去截棱锥，底面与.如J iAiC, C 为底面的周+ S下+J- VT.ffi截面之间的部分s长，h 为高VS上S下）h以矩形的一边所在直线*il 底面r为旋转轴，其余三边旋转S侧=2nh,V= Sh=圆柱一制制形成的面所围成的旋转-林r 为底面半径，h 为咼n2h体AE面以直角三角形的一条直旋角边所在直线为旋转轴，AS侧=nl,V= sSh=转圆锥其余两边旋转形成的面r 为底面半径，h 为咼_12体e* *3nh所围成的旋转体庇1ST二轴V=（S上+ S下+用平行于圆锥底面的平S侧=n1+r2)i,1,匕为底面半径，h圆台面去截圆锥，底面和截面wJ母

3、纯J1之间的部分为高USS下）h莊面r12=31+2r2+12)h球以半圆的直径所在直线 为旋转轴，半圆面旋转一 周形成的旋转体12S球面=4dR,R 为球的半径43v=护2 .空间几何体的三视图与直观图(1) 三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括正视图、侧视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出熟记常见几何体的三视图画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.(2) 斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：1画轴；画平行于

4、x、y、z 轴的线段分别为平行于 x、y、z轴的线段；截线段：平 行于 x、z 轴的线段的长度不变，平行于y 轴的线段的长度变为原来的一半.三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化(3) 转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面1曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段.2等积变换，如三棱锥转移顶点等.3复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等题型探究类型一 三视图与直观图例 1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为/ 耳2 *41 2 图人. B.3nD.6n答案 B解析将三视图还原为实物图求体积.由三视图可知，此几何

5、体(如图所示)是底面半径为 1,高为 4 的圆柱被从母线1的中点处截去了圆柱的 4，3所以 V=X nX12X4= 3n.4反思与感悟由三视图确定几何体分三步.第一步： 通过正视图和侧视图确定是柱体、 锥体还是台体若正视图和侧视图为矩形， 则原 几何体为柱体；若正视图和侧视图为等腰三角形，则原几何体为锥体；若正视图和侧视图为 等腰梯形，则原几何体为台体.第二步：通过俯视图确定是多面体还是旋转体若俯视图为多边形，则原几何体为多面体;若俯视图为圆，则原几何体为旋转体.第三步：由“长对正、高平齐、宽相等”的原则确定几何体的尺寸. 跟踪训练 1 一几何体的三视图如图所示.(1) 说出该几何体的结构特征

6、并画出直观图；(2) 计算该几何体的体积与表面积.KctrIE视图侧飆凰俯视團解(1)由三视图知该几何体是由一个圆柱与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其 直观图如图所示.由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为8 cm,高为 20 cm 的圆柱，上部为底面直径为 8 cm，母线长为 5 cm 的圆锥.易求得圆锥高 h=- 52 42= 3(cm),体积 V= n 0+3n =336ncm3),表面积 S=n + 2n 4+2J0-4=196Xcm ).该几何体的体积为 336ncm3，表面积为 196ncm2.类型二柱体、锥体、台体的表面积和体积例 2 圆柱有一个内接长方体ACi，长方体对角线长

7、是 10.2cm，圆柱的侧面展开平面图为矩形，此矩形的面积是 100ncm2，求圆柱的体积.解 设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm.如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它的内接长方体的体对角线长， 则2r2+h2=10 .22,2nh=100nr=5，h=10.V圆柱=Sh= nh= nX5x10=2507t(cm ).圆柱体积为 250ncm3.反思与感悟几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，在计算中应 注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系，特别是特殊的柱、锥、台体，要注意其中 矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的应用.跟踪训练 2 正四棱柱的对角

8、线长为 3 cm，它的表面积为 16 cm2,求它的体积.解 设正四棱柱的底面边长为 a cm，高为 b cm,B2a2+ b2= 32则|4ab + 2a = 16,_2324271123所以该正四棱柱的体积V= a b= 4X1 = 4(cm )或 V = a b= (3)x=27(cm ).类型三几何体的有关最值问题例 3 如图，在底面半径为 1,高为 2 的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁，它要围绕圆冲|匚二柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？解 把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形 一一矩形，如图所示，连/接 AB ，日12 则AB 即为蚂蚁爬行的最短距离.A

9、B = A B = 2,AA为底面圆的周长,且 AA =2nX1=2n AB =A B 2+ AA2=P4+（2n2=2 寸 1+ n，即蚂蚁爬行的最短距离为2 1+n.反思与感悟有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题，一般是利用展开图中两点的直线 距离最小来求解；有关面积和体积的最值问题，往往把面积或体积表示为某一变量的二次函 数的形式，然后利用二次函数的知识求最值.跟踪训练 3 有一根长为 3ncm，底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求铁丝的最短长度.解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD（如

10、图所示），解得/=2,b = 1,4a=3，3 .某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )由题意知 BC= 3ncm , AB = 4ncm，点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度.AC=AB2+BC2=5ncm,故铁丝的最短长度为 5ncm.达标检测1 .湖面上浮着一个球，湖水结冰后将球取出，冰上留下一个冰面直径为24 cm，深为 8 cm的空穴，则这个球的半径为（）A . 8 cm B . 10 cm C. 12 cm D. 13 cm答案 D解析 冰面空穴是球的一部分，截面图如图所示，设球心为0,冰面圆的: 圆心为 01,球半径为 R,

11、-c1由图知 0B= R, 01B= 2AB= 12 ,001= 0C 0Q= R 8,在 Rt 001B 中，由勾股定理 R2= （R 8）2+ 122，解得 R= 13（cm）.2.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？ ”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？ ”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米约有（）A . 14 斛 B . 22 斛 C. 36 斛 D . 66

12、斛答案 B解析由题意知：米堆的底面半径为慣尺），体积V=3x1斟=帑 （立方尺）所以堆放的320米大约为我猛 22（斛）.当堂检测巩固反愷如下图是一个奖杯的三视图，求这个奖杯的体积.四棱台=3X5X(152+15X11+112)=2；55(cm3),112A. B. C. D. 1633答案 C112解析4.如图所示，已知正三棱柱 ABC-A1B1C1的底面边长为 1,高为 8，一质点从 A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路径的长为 _.答案 10解析 如下图所示，将两个三棱柱的侧面沿侧棱AA1展开并拼接，则最短路径为 1=62+ 82= 10.由三视图可以得到奖杯的结构，底座是一个四棱台, 杯身是一个长方体，顶部是球体.正视團 侧锲團餚觇图廨视图3V长方体=18 X 8X8=1 152(cm ),433V球=znX3=36ncm ),o所以，这个奖杯的体积为6 0113