【论文】利用导数解决函数问题探微

1、【论文】利用导数解决函数问题探微赵品华（高中数学老师）中学数学引入导数的内容使教学内容增添了更多的变量数学，拓展了学习和研究的领域，高考中增加的这部分内容，可以加强对考生的的辩证思维的教育，是考生能以导数为工具研究函数的变化率，为解决函数极值问题提供更有效的途径、更简捷的手段，加深对函数及其性质的理解和直观地认识。从2000年开始，高考新课程卷已连续使用了八届，纵观这 些试题，不难发现：一是试题向新增内容倾斜，新增内容相关试题所占比例高达60%；二是高考热点试题聚焦在向量、导数、概率为纽带的知识网络的交汇处。以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性质、几何意义及其应

2、用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向。下面对其考点进行分析，希望能对同学们做好复习备考工作，提升解题能力有所帮助和启示。一、 导数在函数最值问题中的应用设y=f(x)为可导函数，函数f(x)在某点取得极值的充要条件是该点的导数为零或不存在且该点两侧的导数异号；定义在闭区间上的初等函数必存在最值，它只能在区间的端点或区间内的极值点取得。高考常结合求函数极值（最值）、参数取值范围、解决数学应用等问题考查导数最值性质在函数问题中的应用。例1、 求函数在0，2上的最大值和最小值。（2004年全国高考题）解：令解得x=1或x=-2（舍去）。当故为函数f(x)的极大值。又故在0，2上函数

3、f(x)的最小值为f(0)=0,f(x)的最大值为f(1)=。本小题主要考察函数的导数计算、利用导数数讨论函数的性质、判断函数的最大值和最小值以及综合运算能力，因此，平常需要加强函数导数的计算的训练，特别是对数函数、指数函数和复合函数的求导计算，这部分既是考生的薄弱环节又是考试热点。例2、（2004年高考理科天津卷）已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值，讨论f(1)和f(-1)是函数f(x)的极大值还是极小值。解：，依题意得，即，解得：a=1,b=0，故：x=1或x=-1。若在上是增函数，且在(1,+)也是增函数；若上是减函数，所以f(-1)是极大值，f(1)是

4、极小值。本题是一道很基础的题，考察了函数和函数极值的概念，运用导数研究函数性质以及分析和解决问题的能力，但这题所给的函数是一个三次函数，求三次函数的极值，以考生现有的知识水平，只能用导数来求。这说明一定要让学生掌握用导数求函数极值或最值的方法。例3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值0，则f(2)= 。错解：由题意得：解之得：于是f(x)=x3+4x2-11x+16或f(x)=x3-3x2+9，所以f(2)的值是18或11。分析：粗略一看，不容易发现问题，进一步检验，当f(x)=x3-3x2+9时，此时，尽管满足了，但在1的左右两侧的导数符号为同号，亦即x=1不是f(x

5、)=x3-3x2+3x+9的极值点。其错误的根源是在于忽略了运用导数求极值的第三步判断在极值点两侧的导数的符号。因而，正确的答案应为f(2)=18。二、导数在函数单调性问题中的应用设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果则f(x)为增函数；如果，则f(x)为减函数。反之亦然。高考常以函数单调区间、单调性证明等问题为载体，考查导数的单调性质和分类讨论思想的应用。例4、在（a,b）内是f(x)在（a,b）内单调递增的（ ）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件分析：该题一般都认为是选C，依照教科书上的结论：“一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个

6、区间内，那么y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么y=f(x)为这个区间内的减函数。”致错的原因是没有准确理解上述这段话的逻辑关系，事实上这是一个充分非必要条件。例如，函数f(x)=x3在（-，+）是单调递增的，然而却有。例5、已知函数为自然对数的底数。（1） 讨论函数f(x)的单调性；（2） 求函数f(x)在区间0，1上的最大值。（2004年湖南高考题）（3） 解：（1）（2）。 。 。这道题主要考察应用导数研究函数单调性的方法和分类讨论的数学思想，同时，也要求对指数函数积的导数的计算必须熟练掌握，计算要准确，否则前功尽弃。如果对此题只是从单调函数的定义出发，则难以再变形到

7、能与0比较，从而导致无法解决此题。因此，此题不再是仅停留在考察函数的单调性上，而是考察导数作为工具的灵活运用。变式：已知在区间-1，1上是增函数，求实数a的值组成的集合A。本题的题设和所求刚好与上题相反，主要考察的知识点也是函数的单调性，导数的应用和不等式的有关知识，考察数形结合及分类思想。三、导数在函数值域问题中的应用。对于函数的值域，一般是利用换元法、判别式法、数形结合法等，但有时这些传统方法会带来很复杂的计算或分类讨论等，而利用导数就可以很简洁的解决。例6、求函数的值域。解：设则令，又。本题中，也可先求出函数的定义域-1，6，注意到，可采用三角代换法或数形结合法。然而这不是很容易的。若利

8、用导数，借助函数的单调性和最值，显然较为简捷。四、导数在函数不等式证明问题上的应用。构造函数，运用导数在函数单调性方面的性质，可解决不等式证明、参数取值范围等问题。设置此类试题，旨在考查导数基础性、工具性、现代性的作用，以强化数学的应用知识。例7、已知函数f(x)=ln(1+x)-x，g(x)=xlnx。求函数f(x)的最大值；设0<a<b，证明：（2004年四川高考题）解：函数的定义域为（-1，+）。令得x=0，在x=0附近，由左正到右负，故函数f(x)有最大值为f(0)=0。设则当0<x<a时，因此，F（x）在（0,a）上为减函数当a<x时，F（x）在（a,+

9、）上为增函数，从而，当x=a时，F(x)有最小值F(a)。因为F(a)=0，b>a，所以设G(x)=F(x)-(x-a)ln2，则当x>0时，因为G(a)=0， b>a，所以G(b)<0，即本题是不等式的证明问题，通过构造函数，然后求导，再利用函数的单调性来证明，从更深的层次考察了学生对导数基本性质的掌握情况和综合运用所学数学知识解决问题的能力，导数和不等式的结合考察往往离不开函数的单调性。五、导数在函数实际问题中的应用。设计导数与此同时数学建模问题，旨在考查将实际问题抽象为数学问题，运用导数性质或不等知识去解决最优化问题的数学应用意识与实践能力。求此类问题时，可从给定

10、的数量关系中选取一个恰当的变压器量，建立函数模型，然后根据目标函数的结构特征，确定运用导数最值理论或不等式性质去解决问题。例8、（2004重庆卷）某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x（吨）与每吨产品的价格P（元/吨）之间的关系为P=50000+200x元，问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入-成本）解：每月生产x吨时的利润为由解得：x=200（x=-200舍去）故最大值为f(200)=3150000（元）答：每月生产20吨时，利润达到最大，最大利润为315万。这是一道实际生产中的最大值值问题，一般先建立目标函数，通过配凑变形转化为符合二元或三元均值不等式

11、的形式求最值，但配凑过程是一个难点，运用导数知识求目标函数的最值则变得非常简单。六、导数在函数图象切线问题中的应用。函数f(x)在点x0处的导数是曲线y=f(x)在点（x0,f(x0)处切线的斜率。高考常结合函数图象的切线及其面积、不等式等问题对导数几何意义的应用进行考查。例9、设曲线y=ex(x0)在点M(t,et)处的切线L与x轴、y轴围成三角形面积为S(t)，（1）求切线L的方程；（2）求S(t)的最大值。（2004年浙江高考题）解：（1），故kt=-et切线L的方程为y-et=-et(x-t)。即etx+y-et(t+1)=0(2)令y=0得x=t+1，令x=0得y=et(t+1)当0

12、<t<1时，当t>1时。故S(t)的最大值为。例10、92004江苏南通调研题）过三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)上异于对称中心的任一点P1(x1,y1)作f(x)图像的切线，切于另一点P2(x2,y2)，再过P2(x2,y2)作f(x)图像的切线，和f(x)切于点P3(x3,y3)，如此下去，得到P4(x4,y4)、P5(x5,y5)、···、Pn(xn,yn)，1） 求xn与xn-1的关系2） 试问当n时，点Pn趋近于坐标系所在平面内的哪一点？解：1），设直线PnPn-1是过点Pn且与f(x)的图像切于点Pn-1的切线，则一

13、方面切线的斜率为，另一方面切线的斜率为：=所以即又因为，所以，即。3） 利用待定系数法易知：，故数列为等比数列，所以，即，则，不难看出当n时，点列P1、P2、P3、Pn趋近于对称中心。七、合理构造函数，灵活运用导数除了前面提到的利用导数解决函数数问题类型之外，导数的应用还非常广泛，只要细心去挖掘，经常会有以外的收获。例11、求证：证明：，两端对x求导数，得：，令x=1得：点评：本题的解题思路是建立在敏锐的洞察式子特征的基础上的，联想熟悉的函数关系式，并求导和赋值，又隐去了函数的表象。同样的思路和方法可借下面一道题：变式：的值。（利用两次求导即得）例12、对某一目标射击，直到击中为止，如果每次射击的命中率为p，求1）射击次数的分布列；2）射击次数的期望；3）射击次数的方差。解：1）分布列为：123n概率pp(1-p)2) 。设1-p=q，显然0<q<13）设1-p=q，则所以。点评：本题的特色是用导数避开了一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列的求和采用的错位相减法，尤其是在求方差时，“反向”“正向”连用两回导数，退到了等比数列的求和，再求导，方便了运算。这两道题的解法，依赖于解题者熟悉常