2019届江西省景德镇市高三第二次质检数学(文)试题(解析版)

1、第1页共14页2019 届江西省景德镇市高三第二次质检数学（文）试题一、单选题1.已知集合厂二；丁二：，则集合 中元素个数为（）A.3B.4C.5D.6【答案】C【解析】根据函数的定义域可解得x的范围，结合，即可求出A中元素的个数。【详解】由题意得IAI：i X：）,即 z 丨：*食：打解得，又,所以满足条件的x为1,2,3,4,5，共5个，故选C【点睛】本题考查函数的定义域问题，考查了一元二次不等式的解法，属基础题，2若i；：二为虚数单位），则复数-；：在复平面内对应的点所 在的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】 化简可得i-；：.-i十乙十i：.!

2、,根据两复数相等的原则，解出a,b,即可得结果【详解】由题意得i -,i 1 = b-1所以：,所以.=,所以复数I在复平面内对应的点为（3,-2）在第四象限【点睛】本题考查两复数相等的概念，即两复数实部与实部相等，虚部与虚部相等，属基础题。3.袋子中有四张卡片，分别写有瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后 瓷”都”两个字都取到记为事件A，用随机模拟的方法估计事件A发 生的概率.利用电脑随机产生整数0,1,2,3四个随机数，分别代表 瓷、都、文、明” 这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232321230023123

3、021132220001第2页共14页231130133231031320122103233由此可以估计事件A发生的概率为（）125A.B.C.9918【答案】C【解析】 事件A即为表中包含数字0和1的组，根据表中数据，即可求解【详解】 事件A包含 瓷”都”两字，即包含数字0和1，随机产生的18组数中，包含0,1的组有021,001,130,031,103，共5组，故所求概率为P =，故选C18【点睛】 本题考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属基础题。4.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（B.1【答案】C【解析】由题意得7-;二-:,代入分段函数，即可求解。【详解】因为角

4、的终边经过岂-R,所以m = =，所以hn： ；I,则i；： ?-.i| r： :.，故选C【点睛】718【解析】 通过三视图的俯视图可知,该几何体是由两个旋转体组成，故选5.设函数5xi4 (x0),若角的终边经过门的值为（）【答案】BB. W【详解】第3页共14页本题考查三角函数的概念，分段函数求值，考查计算化简的能力，属基础题。2x_y 0 aMa3+ 2a 0解得厂1,又 ，所以同理当 时，解得，所以.I I -【点睛】 本题考查利用导数求函数极值问题，考查计算化简，推理想象的能力属中档题 三、解答题16.已知首项为1的等差数列 的前项和为，已知为与的等差中项.数列 满 足(1)求数列

5、 与的通项公式；(2)求数列 的前项和为.【答案】(1),; (2)-【解析】(1)设公差为d，则：|I：!,li,即可求出d，代入等差数列的通项公式，即可求解。(2)利用错位相减法，即可求出前项和为所以，故答案为：由题意得第11页共14页【详解】(1)设等差数列 的公差为，依题意可列方程：丨!-1|，解得：，几鼻n =斑+(11 - 3.ii(n -1)T务十as，/ .(2)【解1】：如b厂(4n-3) V,八-. !r7!：；1，下式减上式，即：Tn = (4n - 3) 2+ 1- 4(22斗严 + +2n)- 2=(甸冷)- 4 *7 _2!i；1 !，【解2】:气 I ！r./-:

6、 - 1 | ,：:-: Tn= aibi 4 ajba + + anbn=1(- 3) 22-(- 7) 21! + Lr2J- (-3)T221 + - +l4n- 7) 2111 1- (4n - 11 ) 211!= (4n-了)r211 1 JI 14.【点睛】本题考查等差数列性质的运用，通项公式的求解，错位相减法求数列前n项和，考查计算化简，分析求解的能力，属基础题。17.如图，在三棱锥P-ABC中，PA丄面ABC,AC丄AB，出 =.4 二2DC =1,AE = AB=返C(1)求证：二卩丄平面 ；（2）求三棱锥,.：的体积.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）由题意得4

7、II山为正三角形，所以二.：和，结合余弦定理，可得.=.-.1: .二：即-I - I，又根据线面垂直的性质定理可得I - I -I，再根据线面第12页共14页垂直的判断定理，即可得证。（2）由题意得：-.：.、：_匕.: 一 .门，代入数据，即可求解。【详解】（1） &心 占C：,叮：=叮，.,】；宀 r 注二，又山f.tt为正三角形，上-：. 丄II；又:.:,二叮由余弦定理可知 二匸 、.二 一二J：.1.：I- . . I :.：根据勾股定理可知.又 1/.1吃、：、丄：， 一 匚-I；.I丨1,.（2） 二：i二I：ir ，-. ：. 一汁.:f:*；. T_ J1，a/3Ji-1

8、| |、叮-.|=.|I - ,!即三菱锥的体积为.本题考查空间几何元素垂直关系的证明， 考查空间几何体体积的求法，意在考查学生对 这些基础知识的掌握程度，属基础题。18某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可参加一次抽奖.随着抽 奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多， 该商场对前5天抽奖活动的人数进 行统计， 表示第 天参加抽奖活动的人数，得到统计表如下：k12345|y50607080100第13页共14页经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系.（1） 若从这5天随机抽取两天，求至少有1天参加抽奖人数超过70的概率；（2） 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于

9、的线性回归方程h并 估计该活动持续7天，共有多少名顾客参加抽奖？爲=阿-局* eV5参考公式及数据：，： -l-y， ，.=：*：、ZJXT - L1K，丄1-1 L【答案】（1） _：= ；; （2） .：二:；-.H, 588名【解析】（1）列出5天中随机抽取2天的所有情况，共10种结果，选出满足条件的情 况，代入公式，即可求解。（2）求出，的值，结合题中条件，求出，代入即可求出回归直线方程=I .-并预测第6,7天参与抽奖的人数，即可求出总人数。【详解】（1）设第 天的人数为-，从这5天中随机抽取2天的情况为：（yi,yj，丿，（y$yJ，（yyJ，丿，&3,丫丿，共10种结果；这5天中

10、只有第4，5天的人数超70人，至少有1天参加抽奖人数超过70人的情况为：，共7种结 果；则所求事件的概率为_112 1 i + 4 + 5_50 I 60 + 7CH 30100(2)依题意，厂产旳=1X50 + 2X60 + 3X?0 + 4XS。十5 x 100 = 1200a = 72-123 = 36亍=1+ 恥，x =石时丫 =1 OR，% = 7时v = 120，则此次活动参加抽奖的人数约为汇一沁W .：；：-，:：二汽.线性回归方程，若该活动持续7天，共有588名顾客参加抽奖【点睛】第14页共14页本题考查古典概型，回归直线的求解与应用，仔细审题是解题的关键，属基础题焦点，FE

11、=2.(1)求椭圆E的方程；(2)过椭圆E的上顶点A作斜率为ki,k2的两条直线AB,AC,两直线分别与椭圆 交于B,C两点，当kik2二1时，直线BC是否过定点？若是，求出该定点；若不是， 请说明理由。x2f八【答案】(1) 一 y2=1；(2)0,-2，13丿c/2【解析】(1)由题意e =,F1F2=2c = 2，结合a, b, c的关系即可求解。a 2(2)设直线IBC：y = kx m m = 1 ,B x,如，C X2,y2，联立方程可得222V11 V212k21 x24kmx 2m2-2=0，又kh11,结合韦达定理可得X1X2kx1 m T kx2 m T X1X2= 0，化

12、简计算即可求解。【详解】(1)因为F-iF2 2c = 2,所以c=1,又e = E=，所以a = J2，b2= a2 c2= 1 a 22椭圆的方程为y2=1；2(2)因为k1k20，所以直线BC斜率存在设直线IBC：y = kx m m = 1,B为，如,C X2, y2消y理得2k21 X24kmx 2m2-2 =0佃.已知椭圆2 2X VE：p -4 =1(a b .0)的离心率为a b422Fi,F2分别是它的左、右y = kxmx22y2X-|x2=4km2k21，x1x22m2-22k21(x1x2=-1理得如 Ty-1 2x1X2 =0第15页共14页即kxim -1 kx2m

13、一1i亠=02 2所以k 1 XjX2 k m -1捲x2亠m -10()代入得22o2 k 2 m -14k2m m -12k2+11整理的3卄=0得，所以直线BC定点_0,-.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，直线恒过定点问题，意在考查学生对这些基础知识的理 解程度和掌握水平，属中档题。20.在平面直角坐标系中，已知直线 的方程为瓷二一二、，曲线是以坐标原点 为顶(1)分别求出直线 与曲线 的极坐标方程:(2)设A【p，则+ 3,不妨令關ME(Ol)4cos0tos;(9 + /2叔心縮丽)sinJe=2血(cot日-cot20) = -2iy/2(cot8 - |0A&取最大值为22m102k21点，直线 为准线的抛物线.以坐标原点 为极点,轴非负半轴为极轴建立极坐标系(2)点 是曲线上位于第一象限内的一个动点,点是直线上位于第二象限内的一个动点，且1止；1? j；,请求出亍的最大值.【答案】(1):I ,：匸-;【解析】(1)利用直角坐标和极坐标的转化关系，即可得答案。/|0A|PJ sin(2)设，则.，所以，化简整理，即可得结果。【详解】(1)直线的极坐标系方程为.宀：I曲线的平面直角坐标系方程为4,极坐标系方程为：+;4OHB* |0A| pi at3eb ;，代入数据，即可求解。【详解】（1） 若时，不等式即匚十工1,解得，此时无解，若上时，不等式即- : i