2019届云师大附中高三适应性月考(九)数学(理)试题(解析版)

1、本题考查复数的四则运算，属于基础题第 1 1 页共 2424 页2019 届云师大附中高三适应性月考（九）数学（理）试题一、单选题2 2x y 1,x Z,y Z则A中元素个数为（）A A . 4 4B B. 5 5C C. 8 8D D . 9 9【答案】B B、22【解析】根据集合 A A,得出表示圆x y 1上及其内部的整数点，结合图象，即可求解 【详解】由题意，集合A x, y |x2y21,x乙y Z表示如图所示的圆x2y21上及其内部的整数点，共 5 5 个. .本题主要考查了集合表示，其中解答中正确理解集合表示表示方法是解答的关键，着重考查了数形结合思想，属于基础题112.-()

2、i1 i13.13A A .iB B .2222【答案】A A【解析】由复数的四则运算公式，求得答案 【详解】11.11.13.iii,i 1+i2 222故选：A A【点睛】1第2 2页共 2424 页23 3 已知双曲线的焦点C,到它的一条渐近线|：y x的距离是 1,1,则该双曲线的2方程为（）（）x2y2A A 1422C C y212第3 3页共 2424 页【答案】C CB B.2y_4x221D D.2y2x12【解由焦点c,至y直线| y 2 x2的距离为求得c ,3, ,再结合双曲线的几何性质,求得a,b的值，得到双曲线的方程【详由焦点2C,至煩线| : y -x的距离为21

3、 1，可得又由焦点在x轴上，且渐近线的方程为l:y所以-a因为a2b2c2, ,即（，2b）2b23，解得a 2，b 1,2所以双曲线的方程为：y21. .2故选：C.C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用,其中解答中双曲线的几何性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题4 4.已知函数A A . -1-1【答案】C C厂为奇函数，则2B B.C C.3【解析】根据f 0 a10, ,解得a2即可求解【详解】由题意，函数厂的定义域为xR， 且x为奇函数, ,第4 4页共 2424 页曰11上11可得f 0 a 0, ,解得a,所以fx-22 2

4、2x11所以f 1-. .6故选：C.C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的应用，以及函数值的求解，其中解答中函数的奇偶性，合理应用求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题5 5.棱长为 2 2 的正方体截去四个小三棱锥所得几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的体积是（）20A A . 4 4B B.3【答案】B B【解析】由几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为锥的底面是腰长为 1 1 的等腰直角三角形，高为2 2,结合体积公式，即可求解【详解】根据给定的几何体的三视图，可得该几何体表示一个棱长为 2 2 的正方体被截去的小三棱锥的底面是腰长为1 1 的等腰直角三

5、角形，高为 2,2,则该几何体的体积1 120V 2 2 2 42. .3 23故选：B.B.【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算， 在由三视图还原为空间几何体的实际形状 时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线 在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视 图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解22C.32 2 的正方体被截去的小三棱I 1【解析】 设学生甲？乙两人到校时间为x分钟, ,y分钟，得到第 4 4 页共 2424 页A A.S S 2n 1B B.S S 2n1C C.S

6、 2SD D.S 2S 1【答案】D D【解析】 根据给定的程序框图，逐项验证，即可求解，得到答案【详解】当空白框填入S S 2n1时, ,执行程序框图，得S 21222100100;当空白框填入S 2S时, ,执行程序框图，得S 0;空白框填入S 2S 1, ,第 1 1 次循环: :S 1, ,n 1, ,不满足条件n 100；第 2 2 次循环: :S 1 2 1, ,n 2，不满足条件n 100;2第 3 3 次循环：S 22 111 2 2, ,n 3, ,不满足条件n 100；由此可知，第 101101 次循环：S 1 21222100, ,n=101, ,满足条件n 100. .

7、故选: :D.D.【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的计算功能，其中解答中认真审题， 根据给定的程序框图，逐项验证是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. .7 7 .某校上午 7:407:40 开始上课，学生甲？乙两人均在早上 7:157:15 至 7:407:40 之间到校，且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的，则甲比乙至少早 5 5 分钟到校的概率为（）82164A A .B B.C C.D D . 一255255【答案】A A6 6 为计算S 121222100, ,设计了如图所示的程序框图, ,则在空白框内应填入由题意，当空白框填入S S 2n 1时

8、, ,执行程序框图，得S 212221002仙仙( ( ) )第6 6页共 2424 页0 X 25,0 y 25, y x 5，再求得A为甲比乙至少早 5 5 分钟到校所表示的集合A，结合面积比的几何概型，即可求解 【详解】由题意，设学生甲？乙两人到校时间分别为x分钟, ,y分钟,则x， y 0 x 25,0 y 25, y x 5，设事件A为甲比乙至少早 5 5 分钟到校贝 U UA x, y 0 x 25,0 y 25, y x 5，故选A.A.r2S2015105to05 10 15 20歸 x【点睛】本题主要考查了几何概型的概率的计算问题，解决此类问题的步骤： 求出满足条件 A A

9、的基本事件对应的 几何度量N(A)”，再求出总的基本事件对应的几何度量N”，然后根 据p =求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题N8 8 在朱世杰所著的四元玉鉴中有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升 ”其大意是 官府陆续派遣 18641864 人 前往筑堤坝，第一天派出 6464 人，从第二天开始每天派出的人比前一天多7 7 个，修筑堤坝每人每天发大米 3 3 升, ,在该问题中，设第n天派出的人为an, ,则a3a6a9a12( () )A A 238238B B. 354354C C. 438438D D . 8348

10、34【答案】C C【解析】得到每天派出的人数构成首项为64, ,公差为 7 7 的等差数列，即可求解玄3比a9ah的值，得到答案 【详解】x, y如图所示，可得S 25 25625，阴影部分面积为SA120 202200, ,所以P A200 862525第7 7页共 2424 页所以a3a6a9a12a33a9q 2d 3 a 8d 438. .故选：C.C.【点睛】本题主要考查了等差数列的应用，其中解答中认真审题，得到每天派出的人数构成首项为64, ,公差为 7 7 的等差数列是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题 图象上两点，若ab的最小值是 1,1,则f13()

11、)A A .旦7B.-C C 亟7D.-2 2222【答案】D D【解析】由函数fx为偶函数，求得2，得到fx 3 cos x,再根据a b的最小值是 1 1，求得，得到函数的解析式，代入即可求解. .【详解】由题意，函数f xsin x3为偶函数，所以一k ,k Z, ,2因为0，所以，所以2f x 3 cos x, ,由于a b的最小值是1 21,1,可得丄21, ,所以，即f x 3 cos x, ,则f173 cos332故选：D.D.【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础

12、题上，则椭圆的离心率是（）B B.由题意，每天派出的人数构成首项为ai64，公差d 7的等差数列an9 9 .已知函数f x sin x30,0为偶函数, ,A a,3, ,B b,3是其2x1010 椭圆-y-yab21 a b 0的左焦c,0关于直线y -x的对称点P在椭圆c第8 8页共 2424 页【答案】B B2bc【解析】连接FP, ,依题意得到FP，设椭圆的右焦点为a【详解】如图所示，连接FP，交直线ybx于M点，c依题意, ,FP等于F c,0到直线ybx的距离FM的 2 2 倍，即FP空ca设椭圆的右焦点为F, ,则FP 2OM，又由a2b2c2, ,化简整理得b c, ,即a

13、 /2c，故离心率c_2 .a 2【点睛】本题考查了椭圆的定义及椭圆的几何性质一一离心率的求解，其中椭圆的离心率（或范_c围），常见有两种方法： 求出a,c，代入公式e；只需要根据一个条件得到关a于a,b,c的齐次式，转化为a,c的齐次式，然后转化为关于e e 的方程，即可得 e e 的值（范围）1111设M，N，P分别是长方体ABCD AiBGDi的棱AB,CC,CCi, ,CiDi的中点，且AB 2, ,BC CCi1, ,Q是底面ABCD内一个动点，若直线 D DiQ Q 与平面MNP没有公共点，则三角形BBiQ的面积的最小值是（）（）F, ,则FP 2OM，得出FP2c2，再利用椭圆的

14、定义，求得a2C，即可求得椭圆的离心率，得到答案因为FMOMb，所以OM2,于是FPa2c2a由椭圆定义，可得2bc2c22a，故选：B.B.第9 9页共 2424 页A A .6B B.3C C. -I-ID D.6434【答案】A A【解析】作出过M,N, P三点的截面与底面ABCD的交线MM -得到Q点在AC上, ,得出当线段QB最短时，BBiQ面积的最小，在Rt ABC中, ,QB -5, ,利用面积公式，3即可求解. .【详解】如图甲，作出过M，N, P三点的截面与底面ABCD的交线MM则平面 ACDACDiP P 截面MMiNP, ,故Q点在AC上， 由于BBiD是Rt, ,且直角

15、边BBi1, ,故当线段QB最短时，BB1Q面积的最小，此时QB AC, ,AB BC2 i6如图乙，在Rt ABC中, ,QBAC33所以BBiQ面积的最小值为i上i2 36故选：A.A.甲乙【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征及其应用，其中解答中熟记空间几何体的结构特征，得出截面的形状，结合面积公式求解是解题关键，着重考查了数形结合思想，属于 中档试题. .1212 如图所示，一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成，屋顶的形状是四棱锥P ABCD，四边形ABCD是正方形，点0为正方形ABCD的中心，PO平面ABCD;下部的形状是长方体ABCD ABCD 已知上部屋顶造价与屋顶面积

16、成正第1010页共 2424 页比，比例系数为k k 0，下部主体造价与高度成正比，比例系数为8k. .若欲造一个上、下总高度为 lOlOm, ,AB 8m的仓库，则当总造价最低时,PO（）A1片A A.更B B4爲mC C. 4 4m53【答案】B B【解析】取BC的中点为E,表示 0E0E,由于PO平面ABCD，在Rt POE中，设PEO，表示PO,PE，从而分别表示上部屋顶面积，下部主体的高度，进而表示仓库的总造价的函数关系，利用求导分析单调性，再求得最小值，即为答案【详解】如图，设BC的中点为E，连接PE, OE，则 0E0E 4 4 . .由于PO平面ABCD，则有PO OE；在Rt

17、 POE中，设PEO, 则有PO44tan,PE -cos所以上部屋顶面积为S4SPBC64F部主体的咼度为h 10 4tan,cos2 sin所以仓库的总造价为yS k h8k 32k80k. .cos、2 sin2sin 1设f0，所以f2 令f0,得sincos2cos所以-;则当06时，f0,f在0,上单调递减;6时2时，0，f在6 2上单调递增;第1111页共 2424 页4；3m,3所以当有最小值，此时PO第1212页共 2424 页当r 3时，常数项T4C；a3160，所以a 2. .故答案为：2 2【点本题考查由二项式展开项中指定项的值求参数，属于简单题uuur1414 .已知

18、ABC的外接圆圆心为O，半径为 7 7,AOuuu uuur口棋AB AC，且AOuuuAB，则uuu ULTCA在CB方向上的投影为【答案】辽2 2uuur uuu umr uuu【解析】 由AO ABAC得OBuuurAC，则四边形OBAC是平行四边形，由uuuruuuAOABOAB是正三角形，则四边形OBAC是菱形，由故选：B B【点睛】本题考查利用导数解决实际生活中的造价最低问题，还考查了立体几何的图形关系，属于难题 、填空题61313.若ax的展开式中的常数项为-160-160，则a _.x【答案】2 2【解析】表示展开式中的第r 1项，由常数项的未知数的指数为零构建当方程，求得第几

19、项，代入即可 【详解】6ax的展开式中的第r 1项为Tr 1C6xr;二c；?（1）r鬃x2r-6，所以ABC的外心, ,又第1313页共 2424 页投影的运算公式即可求得答案【详解】菱形,uuu uruuu7/3所以CA在CB方向上的投影为CA cos-. .6 2故答案为：LJ2 2【点睛】本题考查平面向量的投影的运算，属于中档题. .1515 在锐角ABC中，B-，角A, B, C的对边分别为a, b, c,3cosAco，则a c的取值范围是 _ .a c 2ac丄uuir uuu uuur/口uuu由AO AB AC，得OBuiurAC，所以四边形OBAC是平行四边形,uuur因为

20、O是ABC的外心，又AOAB，所以OAB是正三角形，则四边形OBAC是第1414页共 2424 页【解析】由已知关系结合余弦定理化简整理可得b b,再由正弦定理表示外接圆半径以及a a, c c 边，并由辅助角公式整理为一个角的三角函数，又由三角形为锐角三角形构建不等式关系求得角 A A 的取值范围，从而可求得a+ca+c 的范围. .【详解】由cosAacosCc3b结合余弦定理得2ac2c2a22 . 2 2a b c-,/3，化简得2ac2bc2abcab 0,2由正弦定理，得ABC的外接圆直径2Rb1si nB则a csi nA sinC si nA sinA、-3sinA _36又A

21、BC为锐角三角形，则有解得A，故2第1515页共 2424 页A -363所以a c3sin A,3. .6 2故答案为：3八32【点睛】本题考查求三角形两边和的取值范围，常由正弦定理转化为角的关系，由锐角或钝角三角形求得角的范围，进而解决问题，属于较难题1616.函数f x的定义域为t,，若存在一次函数g x kx b，使得对于任意的x t,，都有f X g X 1恒成立，则称函数g x在t,上的弱渐进函数 下列结论正确的是_ .（写出所有正确命题的序号）1g x x是f x, x21在1,上的弱渐进函数；12g x2x1是f X3x在1,上的弱渐进函数；x3g x3x4是f xxlnx在1

22、,上的弱渐进函数；x4g xx1是fxxx在1,上的弱渐进函数 e【答案】【解析】根据弱渐进函数的新定义，对 4 4 个命题分别构建f x g x1构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确；2构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误；3构建关系，取特值G e，其绝对值大于 1 1,不符合题意，错误；4构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确【详解】x - 1，当x 1时，F x 1，不符合F x 1,x所以错误;由于f x g x1设F x 3x 2x 1x1,所以1,所以正确;第1616页共 2424 页设G x xl nx 3x 4,Ge 4 2e 1,G e

23、1，不符合G x 1，所以错误；设Hx1,H xeJ，当xe1时，Hx1xx0,Hex 4 1e在1,上单调递减，所以H xH 111;又x1时，二0,eeH xx11，即1H x110,所以Hx1,正确， 综上，ee正确. .故答案为：【点睛】本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题 三、解答题1717 .已知正项等比数列an的前n项和Sn满足4Sn 2Sn6. .(1)(1)求数列an的首项a1及公比q；1log1Tn 1，求数列bn的前n项和Pn. .2【答案】印1, ,q12n巳巳2n 116, ,两式相减得a4-a2, ,求4【解析】由4&2Sn6，得到4

24、S336, ,4S4S2ZB1得q，再由24S3S6,求得a1的值；由知an1n21n n 1，求得T丄丄2, ,进而得到bn2n21 1，再结合裂项法，n n 1即可求解. .【详解】(1)(1)由题意，正项等比数列an的满足4Sn 2Sn6, ,12a41两式相减得a44a2, ,所以q- 4, ,解得q(2)(2)若an的前n项积为Tn, ,bn可得4S3S16, ,4S4S26, ,又由4S3S16，可得4 a1a2比a6，解得a11. .第1717页共 2424 页n 11由知ana“q2所以T011122b1 221 1所以nlog1Tn 1n n 1 n n 1，则巳2 1111

25、22 3【点睛】熟记等比数列的通项公式和前n n 项和公式，合理利用 裂项法”求和是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于常考题 1818 .如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为 2 2 的菱形，PA平面ABCD，ED PPA,且PA 2ED 2. .(1) 证明：平面PAC平面PCE;(2) 若直线PC与平面ABCD所成的角为 4545求平面CPB与平面CDE所成锐二面 角的余弦值. .【答案】(1 1)证明见解析；(2 2)7【解析】(1 1)连接BD交AC于点0，取PC的中点F，连接 OFOF ,EF,由中位线定 理，和空间中平行的传递性可证四边形OFEDOFED 为平

26、行四边形，即OD/EF，由已知线面垂直和菱形证得0D平面PAC，所以EF平面PAC，再由面面垂直的判定定 理得证；(2 2)由直线PC与平面ABCD所成的角为 4545。求得 APAP,分别以AM , AD, AP所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系A xyz，有空间坐标表示法表示点P,C,E,D,B,P,C,E,D,B,进2nn 1本题主要考查了等比数列的通项公式及前n n 项和公式，以及 裂项法”求和，其中解答中第1818页共 2424 页而求得平面CPB和平面CDE的法向量，由向量的数量积求夹角的公式求得，法向量的夹角，观察已知图形为锐二面角，作答即可【详解】(1) 证明：如图，

27、连接BD交AC于点0，取PC的中点F，连接 OFOF ,EF,/ 0, F分别是AC, PC的中点，1 1 OF /PA，且 OFOFPAPA ,2 21 1 DE/PA，且 DEDE PAPA ,2 2 ，OF /DE, ,且OF DE,四边形 OFEDOFED 为平行四边形，OD/EF. . PA平面ABCD,OD平面ABCD,PA OD,又ABCD是菱形，AC OD,PAI AC A,OD平面PAC, EF平面PAC,又EF平面PCE,平面PAC平面PCE. .(2)由直线PC与平面ABCD所成的角为 4545知，PCA 45o, AC PA 2,ABC为等边三角形 设BC的中点为M,则

28、AM BC. .如图，分别以AM , AD , AP所在直线为x, y , z轴建立空间直角坐标系A xyz,第1919页共 2424 页则P 0,0,2,C31 , 0,E 0 ,21,D0,2 ,0,uuu/PCx31,2uuv,CEuuv.311,DE0,01设mx, y, z为平面CPB的法向量，rnrtmuuvPC0,Rn.3xy 2z 0,人2,可彳则ruuv即y令xm CB0,2y 0,2即m2,0 , 3. .3,uuivDEuuvCEz,0,13x-iy-iz令x1，可得n0,1 八3 ,0,所以cosrh,nmn 2_ “rh|n|2祈7xz为平面CDE的法向量,设nXi,

29、yi, zuuv,CB0, 2 ,0,B 3 , 1 ,0,2第2020页共 2424 页本题考查立体几何中面面垂直的证明，还考查了求空间中二面角的余弦值,21919 .在平面直角坐标系xOy中，A, B为抛物线C : y 2px p 0上不同的两点，且OA OB，点D1,2且OD AB于点D. .(1) 求P的值；(2) 过x轴上一点Tt,0 t 0的直线I交C于Mx-i,y!, N NX X2, y y2两点，M , N在C的准线上的射影分别为P,Q,F为C的焦点，若SPQF2SMNF，求MN中点E的轨迹方程 1答案, (1)2；(2)y2夕25与抛物线方程由韦达定理可表示yA约B，进而表

30、示XAXB,再由OA OB，得uuu uuuOA OB 0构建方程，解得 P P 值；(2 2)分别表示SPQF与SMNF,由已知SPQF2SMNF构建方程，解得 t t 的值，设MN的中点E的坐标为x, y，当MN与x轴不垂直时，由KMNKTE构建等式，整理得 中点轨迹方程；当MN与x轴垂直时，T与E重合，综上可得答案【详解】1则AB的方程为y 2x 1，即x 2y 5,2设AXAJA,BXB,yB,属于较难题. .【解析】(1 1)由点D 1,2且0DAB于点D,可求得直线 ABAB 的方程，联立直线方程(1)由0DAB及D 1,，得直线AB的斜率k第2121页共 2424 页轨迹方程问题

31、，属于难题园的单个 糖心苹果”的果径（最大横切面直径， 单位：mm）在正常环境下服从正态分联立2px,消去x得2y 5,2y 4py 10p0,216p40p 0,由韦达定理，得YAYB10P，于是XAXB仏YB2p2p由OA OB,e uuu uuu口0，则得OA OB 0，即XAXBYAYB5解得p. .100 p225 10p0,(2)1 1）得抛物线的焦点5F ,0，设C的准线与x轴的交点为4PQFFG| PQ|V1 yd，1SMNF2FT I PQitPQF2SMNF，得t设MN的中点E的坐标为x,则当MN与x轴不垂直时,KMNKTE,可得y2y1y 0y2yiX2Xi2y252yi

32、y2yi2yy5,x -225当MN与x轴垂直时,T与E重合,5所以MN的25本题考查由已知关系求抛物线的标准方程,还考查了在抛物线中线弦的问题下求中点的2020 某果园种植 糖心苹果”已有十余年,根据其种植规模与以往的种植经验，产自该果22【点第2222页共 2424 页布N 68,36(1(1) 一顾客购买了 2020 个该果园的 糖心苹果”求会买到果径小于 5656mm的概率;(2(2)为了提高利润，该果园每年投入一定的资金，对种植、采摘、包装、宣传等环节进行改进 如图是 20092009 年至 20182018 年，该果园每年的投资金额润增量y(单位：万元)的散点图:45403G302

33、520n -该果园为了预测 2012019 9年投资金额为2 20 0万元时的年利润增量, 归模型;模型：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：? 2.50X 2.50； 模型：由图中样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线:10对投资金额x做交换，令t In x，贝U y b t a，且有tii 110 102ly 569.00,ti250.92. .i 1i 1(i i)根据所给的统计量，求模型中y关于x的回归方程；(IIII )根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数R2，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测投资金额为2020 万元时的年利润增量(结杲保留两位小数) 回归模型模型

34、模型回归方程?2.50 x 2.50? blnx a10yi?2i 1102.28102.2836.1936.19x(单位：万元)与年利建立了y关于x的两个回y bl nx a的附近,1022.00,yi230,i 1第2323页共 2424 页_ 2yiy?=42.89（万元），【解析】（1 1）由已知满足正态分布，则可知， 的值，由正态分布的对称性可知，可求得买一个苹果，其果径小于5656mm的概率1P X 561 P 22，由独立重复试验概率的运算方式，求2得购买 2020 个 糖心苹果”中有果径小于 5656mm的苹果概率；（2 2）（ I I）由最小二乘法求得模型 中y关于x的回归方

35、程；（IIII ）分别计算两种模型的相关系数的平方，得模型的相关系数的平方更大其拟合程度越好，再代x= 20进行计算，求得预测值. .【详解】 （1 1）由已知，当个 糖心苹果”的果径X则68，6. .由正态分布的对称性可知，1 1P P X X 56561 1 P P 6868 1212 X X 6868 12122 2设一顾客购买了 2020 个该果园的糖心苹果附:若随机变量2，则P20.9544,0.9974；样本ti,yii 1,2,n的最小乘估计公式为ntiri 1nti1，a? y相关指数R2参考数据:0.9772200.6305，0.9987200.9743,In20.6931，

36、In5 1.6094. .【答案】 （1 1）0.36950.3695 ；25I n x 32, , （|）模型的R2小于模型，说明回归模型刻画的拟合效果更好，当x= 20时，模型的年利润增量的预测值为N，2，11 1 P P2 22 21 11 1 0.95440.95442 22 2”其中果径小于5656mm的有个，则0.02280.0228第2424页共 2424 页B 20,0.0228，第2525页共 2424 页又由题，得y ?23 25 2.2032102.28102i 1yiy36.19当x 20时，模型 的年利润增量的预测值为（万元）， 这个结果比模型的预测精度更高、更可靠【

37、点睛】难题. .2121 .已知函数f xexx（2 2）由（1 1）可知当a e时，得f x的单调性，从而表示o；将所证不等式x 1所以,模型中y关于x的回归方程? 25lnx32. .所以模型 的R2小于模型 ，说明回归模型刻画的拟合效果更好,故P 11 P 0201 1 0.0228 10.9772200.3695，所以这名顾客所购买 2020 个糖心苹果”中有果径小于5656mm的苹果概率为 0.3695.0.3695.(2(2) (I I)由10ti22.00,i 110yi230，可得Ti 12.20，y 23，ni 1tii 1ini 1titt y y=-2i 1in_iw 1

38、0t yn 22i 1ti10ti 1i569.0 10 1 222325，50.92 10 2.20 2.20(II(II由表格中的数据，有102.28 36.19，即? 25 ln20 32 25 2ln2 ln5 32252 0.6931 1.609432 42.89本题考查统计涉及正态分布求概率、独立重复试验的概率运算以及利用最小二乘法还考查了由相关系数的平方比较模型的拟合程度,属于(1(1)若x 1是f x的极小值点，求实数a的取值范围;(2(2)若xa e，证明：当m 2时， 一x 1x m In xx22【答(1)(1)a，e；（2 2）证明见解析【解（1）求得f x的定义域，并

39、求导，利用分类讨论当a 0时，分析单调性显然成立；当a 0时，令f x 0，得x分别分析单调性讨论是否成立，得到当0不成立，最后综上得参数的取值范围；1或x Ina,再利用分类讨论两根的大小，a e时成立，当a e时与当a e时，都第2626页共 2424 页f xln x等价转化为不等式m x2对任意的x 0,11,都恒成立，构x 1xInx建g xx x 0，利用导数求得值域g x g 11，最后由不等式的性x质即可得证原不等式成立 【详解】（1 1）f x的定义域为x R，f x x 1 exa1当a 0时，x R，则exa 0，令f x 0，得x 1，当X 1时，f X0，所以f x在

40、,1上单调递减；当x 1时，f x 0，所以f x在1,上单调递增；此时x 1是f x的极小值点，符合题意；2当a 0时，令f x 0，得x 1或x lna. .（i i）当0 a e时，则lna 1，所以当x Ina时，f x0,所以f x在，lna上单调递增；当In a x 1时，f x 0，所以f x在In a,1上单调递减；当x 1时，f x 0，所以f x在1,上单调递增，此时x 1是f x的极小值点，符合题意；（iiii ）当a e时，f x x 1 exe，当x R时，f x 0，所以f x在R上单调递增，x 1不是f x的极值点. .（iiiiii ）当a e时，则Ina 1，

41、所以当x 1时，f x 0，所以f x在,1上单调递增；当1 x Ina时，f x 0，所以f x在1,Ina上单调递减；当x Ina时，f x 0，所以f x在Ina,上单调递增，此时x 1是f x的极大值点，不符合题意. .第2727页共 2424 页所以方程g x 0的唯一解为x 1，所以当0 x1时，g x 0，所以g x在0,1上单调递增;恒成立. .【点睛】本题考查含参函数利用导数解决由极值点讨论参数取值范围问题，还考查了利用导数解决不等式证明问题，属于难题. .x2222 .在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为综合，得a,e(2(2)证明：由(1 1)可知当a e时,x在0,上单调递增;又f 10，所以当0 x1时,x 0；当x 1时,所以当0 x 1或x1时，都有0. .要证不等式x m Inx x22x对任意的x 0,11,都恒成立,f xinx即证不等式mxx 1x2对任意的x 0,11,都恒成立,Inx x x0，则g x1 Inx x2设h x 1 Inx x2，h 10且h x在0,上单调递减;当x 1时，g x 0，所以g x在1,上单调递减;所以当x 0时，g1. .当m 2时，mg x