2019届江苏省常州市高三上学期期末考试数学(理)试题

1、页1第江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试数学理参考公式：n, n样本数据洛必,|凶的方差S2=_E （x -x）2，其中xJ實x. ni丄n匸L柱体的体积V =Sh，其中S为柱体的底面积，h为高.4. 一个算法的伪代码如右图所示，执行此算法，若输出的y值为1,则输入的实数 x 的值为_5._函数 y = J1 -In x 的定义域为,6.某校开设 5 门不同的选修课程，其中 3 门理科类和 2 门文科类， 某同学从中选修 2 门课程，则该同学恰好选中 1 文 1 理的概率为_ .2 27已知双曲线C:与-每=1（a0,b 0）的离心率为 2,直线 x，y，2=0 经过双C的焦点，则双

2、曲线C的渐a b近线方程为_.A8. 已知圆锥SO，过SO的中点P作平行于圆锥底面的截面，以截面为上底面作圆柱PO,圆柱的下底面落在圆锥的底面上（如图），则圆柱PO的体积与圆锥SO的P.?体积的比值为 _ .丨：O9. 已知正数x,y满足 x +=1，则1+仝的最小值为 _. 丿xxy-.x一（第 8 题）10. 若直线 kx-y-k=0 与曲线 y=e（ e 是自然对数的底数）相切，则实数k =_ .一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1已知集合 A =0,1, B =1,1，则 AB=_ .2已知复数z满足 z（1+i）=1i （i是虚数单位），则复数 z=_

3、3.已知 5 位裁判给某运动员打出的分数为9.1,9.3,x,9.2,9.4 ,且这 5 个分数的平均数为9.3，则实数x =_.Read xIf x 1The n2y x 2x 2Elsex+ 1x1End IfPrint y页2第11. 已知函数 f(x)二 si nC .X JC . .0,R)是偶函数，点(1,0)是函数 y=f(x)图象的对称中心，贝U最小值为 _ .12. 平面内不共线的三点 O,A,B，满足|OA|=1,|OB|=2，点C为线段AB的中点，.AOB的平分线交线段AB3于D，若 |OC |=专，则 |OD |=_.13. 过原点的直线 I 与圆 x2y2=1 交于

4、P,Q 两点，点A是该圆与 x 轴负半轴的交点，以 AQ 为直径的圆与直线I有异于 Q 的交点N，且直线AN与直线AP的斜率之积等于1，那么直线I的方程为 _.n*214. 数列 ,bn满足 bn=务1(-1)a.(n N ),且数列bn的前 n 项和为 n ,已知数列a.-n的前2018项和为 1，那么数列an的首项玄勺=_.解答题：本大题共 6 小题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14 分)如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，点 M , N 分别是 AB, CC1的中点.(1) 求证：CM /平面 AB1N;(2) 求证：平面 A1BN

5、 丄平面 AA1B1B.页3第(1)求角 A 的大小;+ c216.(本小题满分 14 分)已知在 ABC 中，a, b, c 分别为三个内角2A, B, C 的对边，且 b -bcsinA=a2（第 15题）页4第(2 2)若 tanBtanC = 3,且 a = 2,求厶 ABC 的周长.2 2 2 2xOy 中，椭圆 Ci：予+ *= 1 的焦点在椭圆 C2： *+p=1(1)求椭圆 C1, C2的标准方程;(2)过 y 轴上一点 P 的直线 l 与椭圆 C2相切，与椭圆 C1交于点 A , B,已知 PA= PB,求直线 l 的斜5率.17.(本小题满分 14 分)已知在平面直角坐标系

6、上，其中 ab0,C1,C2位于第一象限的交点.且点屮，椭圆页5第18.（本小题满分 16 分）某公园要设计如图（1 ）所示的景观窗格（其结构可以看成矩形在四个角处对称地截去四个全等三角形所得，如图（2）中所示的多边形 ABCDEFGH ），整体设计方案要求：内部井字形的两根水平横 轴 AF =BE = 1.6 m，两根竖轴 CH = DG = 1.2 m,记景观窗格的外框（图中实线部分，轴和边框的粗细忽 略不计）总长度为I m.2n（1）若/ ABC =才，且两根横轴之间的距离为 0.6 m,求景观窗格的外框总长度；（2）由于预算经费限制，景观窗格的外框总长度不超过5 m,当景观窗格的面积（

7、多边形 ABCDEFGH的面积）最大时，给出此景观窗格的设计方案中/ABC 的大小与 BC 的长度.（第 18 题）19.（本小题满分 16 分）已知在数列an中，ai= 1,且 a*+1+ 3a*+ 4 = 0, n N .（1）求证：an+ 1是等比数列，并求数列an的通项公式；（2）数列an中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？若存在，求出满足条件的项；若不存在，请说明理由.页6第220.(本小题满分 16 分)已知函数 m(x)= x ,函数 n(x) = aln x+ 1(a R).页7第(1) 若 a= 2，求曲线 y= n(x)在点(1, n(1)处的切线方程

8、；(2) 若函数 f(x)= m(x) n(x)有且只有一个零点，求实数 a 的取值范围；(3) 若函数 g(x)= n(x) 1 + ex ex 0 对 x 1 ,+ )恒成立，求实数 a 的取值范围.底数，e= 2.718 28 )(e 是自然对数的页8第江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试数学附加题21.【选做题】在 A、B、C 三小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共 20 分.解答时应写出必要的文 字说明、证明过程或演算步骤.A.选修 4-2 :矩阵与变换7 1 xL已知点(1, 2)在矩阵 A= |对应的变换作用下得到点(7, 6).-2 y求矩阵 A;(2)求矩阵

9、A 的特征值及对应的特征向量.B.选修 4-4 :坐标系与参数方程在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系.直线I 的参数方x=2t+1,/、程为(t 为参数)，曲线 C 的极坐标方程为p=2 . 2sin0+4，求直线 I 被曲线 C 所截的弦长.y= 2tC.选修 4-5 :不等式选讲已知 a0， b0，求证：a+ b+ 1 ab+ a + b.页9第【必做题】第 22, 23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.(本小题满分 10 分)如图，在空间直角坐标系 Oxyz 中，已知正四棱锥 PAB

10、CD 的高 0P= 2，点 B,D 和 C，A 分别在 x 轴和 y 轴上，且 AB = ,2,点 M 是棱 PC 的中点.(1) 求直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值；(2) 求二面角 APBC 的余弦值.(第 22 题)一一一n (n +1)223.(本小题满分10 分)是否存在实数 a, b, c 使得等式 1 3 5+ 2 4 6+ n(n + 2)(n + 4)=4 (an +bn+c)对于一切正整数 n 都成立？若存在，求出 a, b, c 的值；若不存在，请说明理由页10第江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试数学参考答案及评分标准1. 12. - i 3. 9.5

11、4. 35. （0, e 6. |7. y=lx 8. 89. 410. e211.n12. |13. y=士. lx 14. |O 为 AB1的中点，又因为 M 为 AB 的中点，所以 OM / BB1，且1 1OM = 2BB1.因为 N 为 CC1的中点，CN =龙。，所以 OM = CN，且 OM / CN，所以四边形 CMON 是平行四边形，（5 分）所以 CM / ON，又 ON?平面 AB1N, CM?平面 AB1N，所以 CM /平面 AB1N.（7 分）在正三棱柱 ABCA1B1C1中，BB1丄平面 ABC , CM?平面 ABC，所以 BB1丄 CM.（9 分）因为 CA

12、= CB , M 为 AB 的中点，所以 CM 丄 AB，又由（1）知 CM / ON，所以 ON 丄 AB , ON 丄 BB1.又因为 ABnBB1= B, AB , BB1?平面 AA1B1B，所以 ON 丄平面 AA1B1B.（12 分）又 ON?平面 A1BN，所以平面 A1BN 丄平面 AA1B1B.（14 分）22222J 32216. （1）由余弦定理得 a = b + c - 2bccosA，又 b - 了 bcsinA + c = a , 所以 b2-2bccos A + c2= b2-233bcsinA+ c2,即 2bccos A =233bcsin A, （3 分）从

13、而 sinA = , 3cosA，若 cosA = 0,贝 U sinA = 0，与 sin2A + cos2A = 1 矛盾，所以 cos A 工 0,所以 tanA= 3.又 A（0, n,所以 A= n（7 分）315. （1）令 ABi交 AiB 于点 O,连接OM , ON，在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1/ CC1, BB1= CC1,且四边形 AA1B1B 是平行四边形，所以tanB 土 ta nC1 tan BtanC=tan（B 土 C）=tan（nA）=tan 再，3.（9 分）3（第 15题）页11第又 tanBtan C= 3，所以 tanB + tanC = -

14、 . 3X（ 2） = 2 .3，解得 tanB = tanC = . 3.（11 分）2页12第nn又 B, C (0,n,所以 B = C= 3.又因为 A = 3，所以 ABC 是正三角形,由 a= 2，得ABC 的周长为 6.(14 分)2 2 2x y、C17. (1)椭圆 Ci：孑+弃=1 的焦点坐标为(, 0)，代入椭圆 C2的方程有 b= 1 ,3的坐标代入椭圆 Ci, C2的方程有 Ci： 322+聶=1,2r c 彳 b2=1,所以a=b+C,解得 a2= 2, b2= c2= 1, (3 分)2 2看+看=1，2 2所以椭圆 Ci, C2的标准方程分别为 乡+ y2= 1

15、, : + x2= 1.(5 分)(2)由题意知直线 I的斜率存在，设直线 I 的方程为 y= kx + m, A(xi,由y= kx + m,即 1 +k；x2+ kmx + 牙1 = 0,即 k2+ 2-m2= 0.(7 分)+ y2= 1 ,2由2消去 y，得于+ (kx + m)2= 1,y= kx + m,即纭+k?x?+ 2kmx + m? 1 = 0,因为直线 l 与椭圆 Ci相交，有= 4k2m2 4 2 + k2(m2 1) = 4 k2 m2km 4k m +xi,2=f3f3因为 PA = 5PB，即(xi, yi- m) = 5(x2, y2- m),贝 U1 = 0,

16、= k2m2 4 1 +yi), B(X2, y2), P(0, m),x2= 1,(kx + m)22消去 y，得一+ x2= 1,2 1 2,22：(9 分)2+20(*)，页13第4 - . k2 m2+1或 km = 4 k2琉+1, =16 k2 *m2+1.(12 分)则 CN = rsin a, BN = rcos a,所以 AB=CH2CN=1.22rsina,CD=BE2BN=1.62rcosa,所以 2(1.22rsina+2(1.62rcosa+4r；.(8 分) (当且仅当 4r (sina+即 k2m2又因为 k2+ 2 - m2= 0，解得 k2= 2,12 /m

17、= 4或=k=4,符合（*）式，所以直线 l 的斜率为2 或2.（14 分）m = 6,18. (1) 记 CH 与 AF , BE 的交点为 M , N ,由/ABC =2n,得在 BCN 中，/ CBN =n,361其中 CN = HM = 2(1.2 0.6) = 0.3 m,CNCN0.33所以 BC =-m,sin / CBN. n5si n：0.33,3CN,_八、BN= m, (2 分)tan/CBN +n10 )ta n：6所以 CD = BE 2BN = 1.6 空=83 3，则55AB + BC + CD + DE + EF+ FG + GH + HA = 2AB + 2C

18、D + 4BC = 1.2 +16 6*3 . 1234 6、3 ,八、5.(5 分)346.13答：景观窗格的外框总长度为一m.(6 分)AB + BC + CD + DE + EF + FG+ GH + HA = 2AB + 2CD + 4BC 5,设/CBN =a 0, 2 , BC = r,km =2页14第3cosa1)=3时取等号设景观窗格的面积为S,有S=1.2X1.6-22Sinasa459sinacosa200(sina+cosa1)页15第令 t=sina+cosa (1,2，则 sinacosa=t2 1t2 14892= 4821200 (t 1)2= 219400-1

19、+占，其中1十当且仅当 t= 2,即a=才时取等号,（12 分）48所以 SW4825400即 SW741-圧400200 2 48V2 1.厂 25当且仅当 4r (sina+cosa1)= |1+2t 1W254001+97419 2亦 0(3+2,2) = 400200，且a=所以当且仅当，取等号，r =3（2 +1）且a20,S 取到最大值.(15 分)答：当景观窗格的面积最大时，此景观窗格的设计方案中/ABC =35且 BC =43 ( 2+1)2o_(16 分)19. (1)由 an+1+3an+ 4=0，得 3n+i+1= 3(an+1),N*, (2 分)其中 a1= 1,所以

20、 a1+ 1 = 2 工 0,可得 an+ 1 工 0, n N*,(4 分)an+1+ 1所以=3, n N ,所以an+ 1是以 2 为首项，一 3 为公比的等比数列,an十1(6 分)所以 an+ 1 = 2( 3),所以数列a*的通项公式为 an=2（ 3）1, n N.（8 分）若数列an中存在三项 am, an, ak（mnf(1) = 0 ,页12 第所以 n(特 2,又 n=1,所以切线的方程为 y 1 = 2(x 1),即卩 y= 2x 1.(3 分)f(x) = x2 aln x 1,定乂域为(0,+ )，其图象是一条不间断的曲线,2,a 2x af (=2x-=x x若

21、aw0，贝 U f (x)对 x (0,+ )恒成立,所以 y= f(x)在(0,+ )上单调递增，又 f(1) = 0,所以 y= f(x)在(0 ,+ )上只有一个零点，符合题意.若a0,令 f (= 0,得 x = yj*或 x =舍去).所以函数 f(x)在即 f(a)0 ,又因为 f0,且函数 f(x)在2,+R上单调递增,上有且只有一个零点,x。,龍Wl,+Tf (x)一0+f(x)?极小值?仁若21，即 a2，此时 a肓，则2)=0, f(a) = a aln a 1.因为函数 f(x)在 0,=1,即即 a= 2,2。若页18第函数 f(x)在(1,+s)上单调递增，所以 f(

22、x)f(1)=0,故函数 f(x)在(0,+ )上有且只有一个零点，符合题意.，即 0a2，此时 0e1e0=1, 0寸 20,所以函数 f(x)在(0, 1)内必有零点,a又因为 1 是函数 f(x)的零点，不符合题意，舍去. (9 分)综上，a 1 时，g(x) = aln x+ e ex.令 G(x) = ex ex, x 1,贝UG (xex e 0 对 x 1 ,+ )恒成立，所以函数 y=G(x)在1,+s)上单调递增，所以G(x)G(1)=0.1若 a0，则当 x 1 时，In x0，所以 g(x) = aln x + ex ex0 恒成立，符合题意.(11 分)2若 a 1，贝

23、 U H (x)= ex月0 恒成立，xxx所以 H(x) =a+ ex e 在1,+ )上单调递增，x且 H(1) = a0.因为 a1，所以 G(1 a)G(1) = 0，即 e1ae(1 a). (12 分)所以 H(1 a)= + e1a e + e ea e= ea= + (1 a) 2 (e 1)a,1 a1 a1 a 1 a1因为 a1，所以 + (1 a)2, (e 1)a0，因为 H(x) =a+ ex e 在1 , + )上单调递增，其图象是一条不间断的曲线，且x=a0,所以存在唯一的 x (1, 1 a)，使得 H(x)= 0，即 g 0 x= 0,当 x(1,x0)时，

24、g (x),所以函数 y = g(x)在(1 , X0)上单调递减，此时 g(x) 0.(16 分)H(1)3。若所以)=0,又 f e页19第江苏省常州市 2019 届高三上学期期末考试页20第所以 sina= |cosn ,AM |=“ 雪|n| |AM|I23 卡4 .1339,(5 分)数学附加题参考答案及评分标准所以矩阵 A 的特征值为* = 1, * = 4,对应的一个特征向量分别为B.直线 I 的普通方程为 x 2y 1= 0,曲线 C 的直角坐标方程为(x 1)2+ (y1)2=2,(4分)C 是圆心为 C(1, 1)，半径为 r = 2 的圆，(6 分)C.因为 a0, b0

25、，由柯西不等式可得 (a+ b + 1)(b+ 1 + a)(,ab+ .a + . b)2, 当且仅当亠a=:Vb 1又因为 a+ b + 10, ； ab+ ,a + ； b0,所以 a+ b + 1 ab+ , a+ b.(10 分)22. (1)记直线 AM 与平面 PAB 所成的角为aA(0, 1 , 0) , B(1 , 0 , 0) , C(0 , 1 , 0) , P(0 , 0 , 2),M 0 , 2，1，则 AB= (1, 1, 0) , PA= (0 , 1, 2) , AM = 0 ,2，1，n AB= 0 ,n = (x , y , z),所以 n -FA = 0

26、,21. A. (1)f(皆* = 4.(5 分)入一 1 2 * 2：；=7即 2+ 2y= 6,解得 k 2,所以A=1: 1 322(3 分)=(11)(12) 6 =*一 31 4，令 f(为=0，得 *一 3 入一 4= 0，解得 入=一 1 ,时,2x 3y= 0,2x 3y= 0,取,x=3,所以属于* = 1 的一个特征向量为 ,y= 2,厂2当*= 4 时,3x 3y= 0,2x+ 2y= 0, = 1 所以属于*= 4 的一个特征向量为 ”1(9 分)-J J10分)所以圆心 C(1, 1)到直线 I 的距离为 d =|1-迄-11壘(8分).1+(- .2)2= 3,(8

27、分)所以直线I 被曲线 C 所截的弦长为 2 寸2 d2=所以曲线所以(a + b+1)2(QOb +pb)2.设平面PAB 的x+ y = 0 ,即仁-2z=0,取n=(2，一2，1)，24 3 八3= 3 .(10分)等号，页21第即直线 AM 与平面 PAB 所成角的正弦值为393.（6分）39（2）设平面 PBC 的法向量为 ni= （x, y, z）,亠n (n+1)2,x,23.在 1 3 5 + 2 4 6+-+ n(n + 2)(n + 4) =4 (an + bn+c)中,2令 n = 1，得 15= 4(a+ b + c);6令 n = 2，得 63= 4(4a+ 2b + c);12令 n = 3，得 168= (9a + 3b+ c),a+ b+ c= 30,a= 1,即 s4a+ 2b+ c = 42,解得彳 b = 9, (3 分)|9a+ 3b+ c = 56,c= 20.下面用数学归纳法证明