2019届河北省示范性高中高三4月联考数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 1818 页2019 届河北省示范性高中高三 4 月联考数学（理）试题一、单选题1 1 .若集合血二门卜m，：；| ： :-： = r，则 的取值范围为（）44A.丨B B.-、C C.D.D.- -【答案】C C【解析】【详解】因为、：、*- - - -；i i，上.汎: :或.：丨：，、丨；，；，H H ,所以：.I I ,解得H、.故选：C C【点睛】本题考查并集及集合间的关系，二次不等式的解法，不等式的性质等知识，考查运算求解，是基础题.2 2已知匚、一，复数二-；-I-I, ,二二 匸，且 为实数，则（）2 2A.B B.C C. 3 3D D. -3-3【答案】A A

2、【解析】把代入，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用虚部为 0 0 求得 m m 值.【详解】因为 I I -I-I：.|.|. . ：i.i.为实数，所以-r-.-r-. - - , ,解得二-：.故选：A A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.3 3设等比数列的前项和为 ，若 ,，贝 U U（）A A. 6161B B . 6262C C. 6363D D. 7575【答案】C C【解析】分析：利用等比数列的性质求详解：由题得论-二成等比数列，所以 3,123,12,成等比数列，所以 1 1J J = =三m .=-点睛：（1 1）本题主要考查等比数列的性

3、质，意在考查学生对等比数列的性质的掌握能力. .（2 2）等比数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等比数列，即X 七.1.1 山：匚|：辽 J J 成等比数第2 2页共 1818 页列 本题利用这个性质解答比较简洁，如果直接代等比数列前 大 4 4九章算术是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：今有圆堡瑽（c c o o ng,ng,周四丈八尺，高一丈一尺。问积几何？ ”意思是 今有圆柱体形的土筑小城堡， 底面周长为4 4 丈 8 8 尺，高 1 1 丈 1 1 尺。问它的体积是（）？ ”（注：1 1 丈=10=10 尺，取.=）A A . 704704 立方尺B B. 21122112 立方

4、尺C C . 21152115 立方尺D D . 21182118 立方尺【答案】B B【解析】 根据题意，由底面圆周长，得到底面圆半径，再由体积公式求出其体积【详解】设圆柱体底面圆半径为：，高为，周长为 因为匕二，所以一=二?C24S2KH所以 （立万尺） 故选 B B 项 【点睛】本题考查圆柱的底面圆半径、体积等相关计算，属于简单题5 5.已知向量：满足卜I I 丨=：i i ,； = ;.；，且在方向上的投影是 V V, ,则实数二二（）A A.B B.C C. 2 2D D.【答案】D D【解析】先得到的坐标，然后表示出在 方向上的投影，得到关于 的方程，得到答案 【详解】向量-,满足

5、二F F；=门=：所以，上：mW= 7. .=,所以!丨 -1即.：-!解得山：一一二【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量投影的表示，属于简单题6 6 若某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（n n 项和公式，计算量有点第3 3页共 1818 页【答案】B B【解析】 将三视图还原成几何体，然后分别求出各个面的面积，得到答案【详解】 由三视图可得，该几何体的直观图如图所示, 延长血交 ITIT 于点，其中好-以-訓-,，所以表面积 ；- !.本题考查三视图还原几何体，求组合体的表面积，属于中档题7 7函数（其中.，）的部分图象如图所示，将函数的图象向左平移 个单位长度，得到的图象，则

6、下列说法正确的是（）A A 函数为奇函数B B 函数为偶函数C C 函数的图象的对称轴为直线D D 函数的单调递增区间为：小”：二：宀：!I I【答案】D D【解析】 根据图像，求出解析式，再得到的解析式，再分别验证四个选项，得B B. 264264C C. 274274D D . 282282【点睛】故选 B B 项. .【详解】第 4 4 页共 1818 页到答案. .【详解】由函数；,：.：.：!.（其中 ，）的部分图象 可知：二匚35 f心3 n由-，得2?12IE所以:=. = .=:1il代入点得 MiMi： !/!/解得：广：:，取* =二，得:!：可得：将函数的图象向左平移个单

7、位长度得八； ：、 ：.：|-的图象，由函数解析式可以验证只有 二土 J J 的单调递增区间为K KI-I- I-I-F-正确 故选 D D 项 【点睛】本题考查由正弦型函数部分图像求解析式，三角函数图像的平移变换，正弦型函数的奇偶性，对称轴和单调区间，属于中档题 8 8 某学校对 100100 间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为, 、四个等级，其中分数在为 等级；分数在为 等级；分数在 为 等级；分数在 肥心 为 等级. .考核评估后，得其频率分布折线图如图所示，估计这 100100 间学 生公寓评估得分的平均数是（）A A . 80.2580.25B B. 80.4580.4

8、5C C . 80.580.5D D. 80.6580.65【答案】C C【解析】 根据折线图，得到每组的频率，利用每组的中点值计算出平均数第5 5页共 1818 页由折线图可知，等级分数在I I 频率为等级分数在|：频率为 ，二-1717 = =二药等级分数在 2：；频率为 .：J J： （.-.-：! !等级分数在频率为：！：, J J： i.li.l 平均数为、-、；、 2 2 - -:、.故选 C C 项 【点睛】本题可考查通过折线图计算数据的平均数，属于简单题9 9.定义:皿 Uh =.仇，由集合：*二：亍I I；确定的区域记作，由曲线:：|：；二：厂和轴围成的圭寸闭区域记作 闻，向

9、区域 内投掷 1200012000 个点，则落 入区域闻的点的个数为（）A A. 45004500B B. 40004000C C. 35003500D D. 30003000【答案】A A【解析】 根据题意求出对应区域的面积比，得出对应的概率值，再计算对应的频数值.【详解】试验包含的所有事件对应的集合Q Q = (x x, y y) |0|0 2 2 0 0 今 w 11则=2X12X1 = 2 2,画出函数的图象，如图所示； :-:故落入区域 M M 内的概率为 P P 土_.上I 28所以落入区域 M M 的点的个数为 120001200045004500 （个）.故选：A A.y y

10、= = mintx,mintx, - - 2x2x 卜 3)3)= =x,x, 0 x0 x 1 1、-2x-2x 十* 1 x | ,第6 6页共 1818 页【点睛】本题考查了几何概型，函数的性质，分段函数的图像，考查作图能力，准确计算是关键, 是中档题.1010 .已知是定义在 上的偶函数，且 罕；匕，如果当，卜；.！：时， -,则亍 u.u.二()A A . 3 3B B. -3-3C C. -2-2D D . 2 2【答案】D D【解析】由得 周期为，将. 转化为 ，再由偶函数得 ，代入解析式，得到答案. .【详解】由,得 心口童惑所以是周期为 8 8 的周期函数，所以 工.：兀飞门

11、； -又是偶函数，所以2)=2)=耳 2)=2)=昭.4=2.故选 D D 项 【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，属于中档题x2y21111.已知双曲线的右焦点为，直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直，直线 与双曲线的右支交于不同两点 ，人，若，则该双曲线的离心率 为()A A.B B.C C.D D.【答案】B B【解析】 表示出直线 的方程，与双曲线联立，得到，由-=二 1 1, ,得到第7 7页共 1818 页-/：.，得到关于的方程，结合+_；-厂，得到离心率【详解】由题意得直线 的方程为，不妨取“，则.；小；：.且将 i i 代入：=得卜 I卜1设，T，一沁门，C-肓，八二厂.由

12、丽 *手，得，得宀丁 ),解得 ，所以:/:/：: : ： ：；,= 吩，若对，一 H H 且，使得心 2,则实数 的取值范围是()八I -A A B B.C C D D 【答案】C C111 ax - 1【解析】对？x x(0 0,e e),f f(x x)的值域为,5 5), gg (x x)=，推导出 a a0 0,g g (x x)min= g g ( )= 1 1 + + 1 1 nana，作出函数 g g (x x)在(0 0, e e)上的大致图象，数形结合由求 出实数 a a 的取值范围.【详解】匸、1113K- I当 时，函数 的值域为 D D 由可知：当时，与第8 8页共

13、1818 页题意不符，故令=；=：,得 ，则. ，所以八门：-：,. | -,作出函1 1 + + InaIna 5 5，解得- a a 【点睛】本题考查导数与函数的单调性， 考查导数的性质、函数与方程的思想，最值等基础知识,考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题.二、填空题1313.已知皿丘乙二项式(m(m + + 汀的展开式中以的系数比的系数大 16,16,则皿二 _ .【答案】2 2【解析】 求出二项式的通项公式，求出对应项的系数，建立方程进行求解即可.【详解】由：IT* :I I -，得r-i-r-i-.J-I、:1,解得门或，因为:匚:，所以 =:-.故答案为 2 2【点睛】

14、本题主要考查二项式定理的应用，求出通项公式以及对应项的系数，建立方程是解决本题的关键.y y xx1414.已知实数兀，满足以:;$ 岂，则目标函数 十為1 1 的最小值为 _ .【答案】-4-4【解析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z z 的最大值.【详解】y y作出实数 x x, y y 满足氐 m m 畫 对应的平面区域如图阴影所示；平移直线 y y= = x x，由图象可知当直线 y y 二 x x 经过点 A A 时,1 Z I由 z z= x+2yx+2y - 1 1,得 y y x x ,第9 9页共 1818 页直线 y y x x + +广的纵截

15、距最小，此时 z z 最小.由 I I，得 A A （1 1，-1 1）,此时 z z 的最小值为 z z=- 1 1 - 2 2 - 1 1= - 4 4,本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，是基础题1515.已知抛物线- ；经过点 m m；, ,直线 与抛物线交于相异两点,，若以L的内切圆圆心为（1 1 上），则直线的斜率为_.【答案】-1-1【解析】 先求出抛物线方程，然后直线与抛物线联立，得到，点.和圆心横坐标相同，根据几何关系可知直线和直线：下斜率相反，将所得的代入，得到直线的斜率 【详解】将点 1 1 二.二代入，可得，所以抛物线方程为，由题意知，

16、直线 斜率存在且不为 0 0，设直线 的方程为； i i】；i i 二 小代入- ，得 4：； -.：设 A A（xi-yixi-yi），B B（gygy，贝抹I I 乃=4m4m，yiygyiyg = = -4n-4n，又由 rmrm 的内切圆心为 ，第1010页共 1818 页YT- 2 y3- 2 yi - 2 yj - 2可得.,整理得1- -141从而的方程为匸二 J J 所以直线的斜率为-1.-1.【点睛】 本题考查直线与抛物线的位置关系，设而不求的方法表示交点间的关系，属于中档题 1616 .数列 满足一，且对于任意的 都有，则114- 43aj由题意可得=+n+2+n+2,再由

17、累加法求得 a an n，结合等差数列的求和公式，以及裂项相消求和，计算可得所求和.【详解】由题 =+n+2+n+2齐 一”：，所以讥泊，芷二,，I. z * “(13 + 4曲1 - 1)一：卜、，上式二个式子左右两边分别相加得，即剑 蹲册对2 i i 49S6 987/987.故答案为牙【点睛】 本题考查数列的通项公式的求法，累加法的应用，以及等差数列的求和公式，考查数列 的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于基础题.三、解答题 1717 .在 LABCLABC 中，角 A A ,B,C,C 所对的边分别是a a,b,b ,c,c，且 2sin2sin2B B C C -3cosA-3c

18、osA = = 0.0.(1(1)求角 A A 的大小;(1(1)把 B BC -：- - A A 代入已知条件，得到关于 cosAcosA 的方程，得到 cosAcosA 的值,【答案】98598?【解析】(n + lKn +R窃=；，当 n=1n=1 时，满足题意，所以-,从而(2(2)若【答案】B B , a a = =2 2、3 3，求边长c.c.4 4JI(1)1)3 3 ；(2(2)、. 6 6 .2.2.【解析】从而得到A A 的值 第1111页共 1818 页（2 2）由（1 1）中得到的 A A 的值和已知条件，求出 sinesine，再根据正弦定理求出边长 C.C.【详解】

19、2（1 1）因为 A A B B C C - -二，2sin2sin B B C C ：;-;-3cosA3cosA 二 0 0，所以 2sin2sin2A-3cosA=0A-3cosA=0，2 2 1-cos1-cos A A - -3cosA3cosA 0 0，所以 2cos2cos2A A 3cosA3cosA - - 2 2 = =0 0，即 2cosA2cosA - -1 1 cosAcosA 2 20.0.因为 cosAcosA - - i i 1,11,1，所以 cosAcosA 二丄，2 2因为 A A 三 i0,i0,二，所以 A A . .3 3（2 2） sinCsinC

20、 = = sinsin A A B B 二 sinAcosBsinAcosB cosAsinBcosAsinB.3.3.2.21 1 迈、.6 62 2 2 2 2 2 2 24 4在- ABCABC 中，由正弦定理得c ca asinCsinC sinAsinA c c_ _ 2 2、3 3所以 6 6 囲 2 2 - -3 3，解得 2 24 42 2【点睛】本题考查三角函数公式的运用，正弦定理解三角形，属于简单题1818 .一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端. .某种植户对一块地的広二；个坑进行播种，每个坑播 3 3 粒种子，每粒种子发芽的概率均为，且每粒种子

21、是否发芽相互独立 . .对每一个坑而言， 如果至少有两粒种子发芽， 则不需要 进行补播种， 否则要补播种 . .（1 1）当 取何值时，有 3 3 个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？（2 2） 当时，用 表示要补播种的坑的个数，求的分布列与数学期望. .【答案】（1 1）当 或 时，有 3 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为；（2 2）见解析 【解析】（1 1）将有 3 3 个坑需要补种表示成 n n 的函数，考查函数随 n n 的变化情况，即可得 到 n n 为何值时有 3 3 个坑要补播种的概率最大. （2 2） n n= 4 4 时，X X 的所有可能的取值为 0 0, 1 1

22、 , 2 2, 3 3, 4 4分别计算出每个变量对应的概率，列出分布列，求期望即可.【详解】（1 1）对一个坑而言，要补播种的概率 -有 3 3 个坑要补播种的概率为 第1212页共 1818 页欲使 最大，只需解得匚.匚:;，因为! - ，所以II = =当时，匚当 时，；所以当 或I-J时，有 3 3 个坑要补播种的概率最大，最大概率为 （2 2）由已知，的可能取值为 0 0，1 1，2 2，3 3，4 4：，所以的分布列为|xo o1 12 234 4IP山51ali_16的数学期望【点睛】本题考查了古典概型的概率求法，离散型随机变量的概率分布，二项分布，主要考查简单的计算，属于中档题

23、.佃.在四棱柱ABCD-AJBICIDi i 中，阳庖 -= 90。, ,，ADCADC =60=60 且 ADAD = = CDCD丄平面，一叮 x U U 二（1 1）证明：几二一口二.（2 2）求-丘与平面 y y ；所成角的正弦值. .第1313页共 1818 页【答案】（1 1）见解析；（2 2）二兰. .【解析】（1 1）根据三角形全等证明 ACAC 丄 BDBD，结合 I I 可得 ACAC 丄平面，故而几二:; （2 2）以.， 的交点 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，计算平面的法向量，利用线面角的向量公式求解即可【详解】(1 1)证明：/ ADAD = CDCD , /

24、 DACDAC = Z DCADCA,又/BADBAD = Z BCDBCD , / BACBAC= Z BCABCA , ABAB = ACAC, ABDABD 也厶 CBDCBD , / ADBADB = Z CDBCDB , Z AODAOD = Z CODCOD = 9090 ACAC 丄 BDBD ,又因为-心平面，所以鼻二-EL-EL ,又所以.I I 平面一口 ,因为:平面 SE.L-SE.L-，所以 E.E.二:.（2 2）以.， 的交点 为原点，过 0 0 作平行于 的直线为 z z 轴，建立如图所示的空 间直角坐标系&匡 由（ 1 1）及 BBjBBj 二 2AB2

25、AB = = 2,2,知班扣,0 0）, ,（扣刀心%）,，（-瓠 0 0）, ,所以!： I I - -，q ：】：；./：:，宀 I I 丿.，BiCiBiCi n n = = 0 0 设平面 y y；的法向量为-=，由；，得|x|x = =百所以，令: = -,得 设：打 I I 与平面: :iiiiii；所成的角为-,则、: : : : ii本题考查了线面垂直的判定与性质，考查空间向量的线面角求法，考查推理计算能力,属于中档题.【点睛】第1414页共 1818 页22f-222020.已知椭圆:匸 J 门的离心率为，椭圆 ： 二 I I：卜，1经过（1 1） 求椭圆的标准方程；（2 2

26、） 设点珂是椭圆 上的任意一点，射线论与椭圆 交于点，过点凶的直线 与椭圆 有且只有一个公共点，直线 与椭圆交于 ，-两个相异点，证明：面积为定值. .【答案】（1 1）；（ 2 2）见解析. .【解析】（1 1）根据椭圆的离心率和把过的点代入椭圆方程，根据得到的式子求出 （2 2）当直线 斜率不存在时，易得 .?的面积，当直线 斜率存在时，设为y =与椭圆相切，得到 和.的关系，再由直线 和椭圆联立方程组，得到、，利用弦长公式表示出 / ，再得到 和论门的关系，由至 U U . .的距离，得到门到.的距离，从而计算出的面积 得到结论为定值 【详解】（1 1）解：因为的离心率为,6b2所以，解

27、得 爲x2V211将点.代入二：七，整理得 r1联立，得习- I I ,2 2 = =故椭圆的标准方程为（2 2） 证明：当直线 的斜率不存在时，点为 或，由对称性不妨取：,由（1 1）知椭圆的方程为，所以有. 将 X=lX=l 代入椭圆的方程得,所以JIJI vilvil .I.I; ;匚、.、当直线的斜率存在时，设其方程为上以加将.xy 代入椭圆的方程得! I I .x.x I I ： . . I.I. . .1 1由题意得 I-I-：- I.I.：I I 第1515页共 1818 页整理得-将I；山代入椭圆的方程，得 ：.】丁.-1设：、，円.疋，则可得：叱，心-：解得 -(-舍去),所

28、以7=丸:，从而 IIII : : : :1 1 . .IndInd又因为点到直线的距离为，CT(3-*- 1) Iml所以点到直线的距离为：,所以 IJI.M.IJI.M.- - I IJ J厂 /综上，的面积为定值厂 . .【点睛】本题考查求椭圆的方程，直线与椭圆相切和相交，设而不求的方法表示弦长和三角形面 积等，涉及知识点较多，对计算要求较高，属于难题2121.已知函数二上；二二二厭 JyJy+二立 J -人旅+. .(1)若曲线亍口玄惑在点处的切线方程是；：=丈八，求函数在上的值域；(2)当沙=时，记函数卜：,若函数.：r；-有三个零点，求实数 的取值范围. .【答案】(1 1)I I

29、 -1-1 ;(2 2)【解析】【详解】(1 1)因为；、二-工:厂-：: -7所以r2.r;2.r;4 4 I I - - . . ； -x-,所以-,所以a = 0，即 g(x)g(x) = = 2x2x - - 8x8x 十 7 7 = = 2(x2(x - - 2)2)2 2- -. .所以丨、.：-丨：.】：；1 ! Vjl + X ”価空昧 + 二7 _ 2屈L+ I?3k2+ 1-血12-0-邛y4-+诘嗨一3则 厂 -第1616页共 1818 页，庄沢=1,所以在 I I 工厂上的值域为 I I 丨/ . .(2)(2)( i i)当 a a = = 0 0 时，或 x)x)

30、= = 2 2 宀血 I I 7 7 , ,由曲)=0 0, ,得x = 2 士*气、十边)，此时函数 y y = = h(x)h(x) 有三个零点，符合题意. .(iiii )当 时， 由:沁=二，得当：时，：O O；：；当.：时，叮 N N-若函数上 U 有三个零点，则需满足 J J 丨 且g(2)g(2) 0 0，解得 00 aa吕(iiiiii )当 时， 由得一一 = ,： :.1当，即：，：，： I I 时，因为益心沖弋二加；此时函数.，.匕：；一至多有一个零点，不符合题意；2当 广，即：.二|时，因为，此时函数宀沁至多有两个零点，不符合题意；3当，即二羔* ：时，a若，函数= /.;至多有两个零点，不符题意；i218,2若= ;.，得上，因为、，所以圧此时函数有三个零点，符合题意；若，得，由认匚一存：七：；：，记討宀曲:则|： ! ! r r 丨卜.、:，所以 T T：- -：: :：| |，此时函数. =；有四个零点，不符合题意 综上所述：满足条件的实数 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属难题.笠=百十 2cosa2cosa2222.在直角坐标系中，圆的参数方程为(为参数)，以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. .(1)求圆的极坐标方程；(2)设曲线 的极坐标方