2019届湖南省师范大学附属中学高三下学期模拟(三)数学(理)试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页”兀3 3.cos()_ 5一 ?则COS271的值为（)2417_1A.-B B.C.-816813162019届湖南省师范大学附属中学高三下学期模拟（三）数学（理）试题一、单选题1 1 .设A=x x 1 ?,B=x x? 一x - 2：0?，则（CRA）门B二（）A A .：X XB B. ：X -1：: X_ 仁C C .：x 1：x : 1D D. x 1：x：2-【答案】B B【解析】 先求集合 B,B,再利用补集及交集运算求解即可【详解】由题得CRA = x | x -1, B B =x=x | | -1-1 ： x x ：22，所以CRAP|B = x

2、| -1： ：x _ 1. .故选B. .【点睛】 本题考查集合的运算，二次不等式求解，准确计算是关键，是基础题1 i2 2 .已知 i i 为虚数单位，复数 z z 满足-=2=2 + + i i，贝 V V z=z=（）1+zA A. 1 1B B.3C C.5D D. 5 5【答案】A A【解析】 先利用复数的除法运算求解 z,z,再求模长即可【详解】由题可得1 -i -(2i)(1 - z)，则 z=z= -12 + i(2+i)(2- i)5 5,故选A. .【点睛】本题考查复数的运算，模长公式，熟记运算及公式准确计算是关键，是基础题第2 2页共 2121 页【答案】A A【解析】先

3、利用诱导公式求解sin，再利用二倍角公式求解即可4【详解】因为cosb +工=-7，所以sin0 = -7，所以cos2日=1一2sin?日=1. .I 2丿448故选A. .【点睛】本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题4 4.如图是 20192019 年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，给出下列4 4 个结论1深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高；2深圳和度厦门往返机票的平均价格同去年相比有所下降；3平均价格从高到低位于前三位的城市为北京，深圳，广州；4平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津，西安，上海其中正确结论的个数

4、是（）A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D . 4 4【答案】C C【解析】根据图表逐项判定即可【详解】变化幅度看折线图，越接近零轴者变化幅度越小，位于零轴下方者表明价格下跌；平均 价格看条形图，条形图越高平均价格越高，所以结论都正确，结论 错误. .故选C. .【点睛】本题考查折线图和条形图，准确理解题意是关键，是基础题第3 3页共 2121 页5 5斜率为 2 2 的直线 l l 过双曲线- 宀的右焦点，且与双曲线的左右两支 分别相交，则双曲线的离心率e e 的取值范围是A AB B.C C1 e 4a*a*解得双曲线的离心率:汐亦,故选 D D .【点睛】本题主要考查

5、利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率范围，属于中档题求离心率范第4 4页共 2121 页围问题，应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的不等式，从而求出的取值范围. .第5 5页共 2121 页x -2y仁06 6 .已知实数x,y满足xy-1_0，则z=2x y的取值范围是()x c24 114 5A A.0,5B B.4,=C C.-,5D D .0,5)323 2【答案】D D【解析】 画出不等式组所表示的区域，利用z z 的几何意义求解即可【详解】画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，、 cc、x-2y1=0做直线l :2x y = 0，平移|可知过 C C

6、 时 z z 最小，过 B B 时 z z 最小，联立得x+ y _1 = 01 2C C ,，同理 B(2,-1)B(2,-1)3 3即 z z 的取值范围是0,5). .故选D. .【点睛】 本题考查线性规划，数形结合思想，准确计算是关键，注意边界的虚实，是基础题易错题7 7 .函数 f f( x x) =xln|x|=xln|x|的大致图象是(第6 6页共 2121 页【答案】A A【解析】：函数:.-:八，可得 i i-Ji.v,是奇函数，其图象关于原点对称，排除 C,C, D D；当七时，l.I,令得：匚，得出函数ii在厂厂上是增函数，排除 B B，故选 A.A.点睛：在解决函数图象

7、问题时，主要根据函数的单调性、奇偶性作出判断本题首先根据，得出是奇函数，其图象关于原点对称再利用导数研究函数的单调性，从而得出正确选项8 8本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面， 数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（）A A7272 种B B. 144144 种C C288288 种D D360360 种【答案】B B【解析】利用分步计数原理结合排列求解即可【详解】第一步排语文，英语，化学，生物4 4 种，且化学排在生物前面，有A4 =12种排法；第二步将数学和物理插入前 4 4 科除最后位置外的 4 4 个

8、空挡中的 2 2 个，有=12种排法, 所以不同的排第7 7页共 2121 页表方法共有12 12=144种选 B B【点睛】本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题T T T T9 9在ABC中，A =90,AB =1,AC = 2，设点D、E满足AD - AB，AE = (1 -，) AC( R)，若BE C5 =5，则，=()19A A . B B. 2 2C.C. - -D D . 3 335【答案】D D【解析】将BECD表示为(1 -，)AC一AB (，AB AC)利用数量积计算求解即可【详解】因为.A=90，则AB?AC=o，所以BECD =(AEAB)

9、(ZD - 7C)_ T T ,T T , -T2=(1 - )AC AB*(*AB - AC) - -(1 - )AC AB =4(13，- 4由已知，3，-4 = 5，则，=3.选D. .【点睛】本题考查平面向量基本定理，考查数量积的运算，熟记定理，准确计算是关键，是基础题1010 .若即时起 1010 分钟内，305305 路公交车和 202202 路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2 2 分钟的概率为()A A . 0.180.18B B. 0.320.32C C. 0.360.36D D . 0.640.64【答案】C C【解析】利用面积型几何

10、概型求解即可【详解】0兰x10设 305305 路车和 202202 路车的进站时间分别为X、y，设所有基本事件为W, ,进10兰y10站时间的间隔不超过 2 2 分钟”为事件A，贝UA二( x, y) |0乞x乞10,0乞y乞10,| x - y匸2,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，贝U S =10 10-8 8 =36，则P(A)选C. .【点睛】玉=笑=0.36S100*第9 9页共 2121 页本题考查几何概型，考查不等式组表示的区域，准确转化题意是列不等式组是关键，是 第 6 6 页共2121 页第 8 8 页共 2i2i 页中档题 1111.设数列Q的前n项和为Sn，且印=1a

11、n【答案】【详解】由an- 2(n -1) n N得Sn二na.- 2n(n -1),n当n一2时，an= Sn- Sn=nan-( n-1)an J4(n-1)，整理得所以订奁是公差为 4 4 的等差数列，又31 =1,所以an=4n-3 n N,从而Sn- 3n埜3n=2n22n =2n(n 1),2故选C. .【点睛】本题考查递推关系求通项公式，等差数列的通项及求和公式，裂项相消求和，熟记公式,准确得an匚是等差数列是本题关键，是中档题 1212.长方体ABCD - A1BQ1Dr中，AB = BC =1,BB)= . 2,设点A关于直线BD1的对称点为P，则P与 C C1两点之间的距离

12、为（）A A. 2 2B B. .3C C. 1 1D D.-2【答案】C C【解析】 先求A关于BD1的对称点，再求距离即可-Sn2(n-1)(nN )，则数列nSn3n的前 1010 项的和是（）A A. 290290B B.9201110D D .1【解由3n/如“N）得曲为等差数列，求得an=4n3 n N,Sn3n 2n(n 1)2 n n 1利用裂项相消求解即可所以1Sn3n1 1112n(n 1)2 .n n 1S. 3n511数列1的前第1111页共 2121 页【详解】将长方体中含有ABDi的平面取出，过点A作AM _ BDi，垂足为M，延长AM到AP，使MP二AM，则P是A

13、关于BDi的对称点，如图所示，过P作PE _ BG，垂足为E，连接PB，PCi，依题意AB =1，AD .3，BDi = 2，. . ABDiABDi =60=60 ,.BAM =30，. PBE = 30，PE=】，BE =，所以PC i. .22【点睛】本题考查空间几何体的性质，平面上两点之间的距离，空间立体平面化的思想，是基础题、填空题q i-q6由题知公比q，所以 二=i q7，解得q二-丄，所以S3d(i-q3)8M2i -q2ia?二aiq. .【答案】i8【解析】57i由等比数列的求和公式及得q，再利用通项公式求68r 22-8-8 即可1313 .等比数列 的前n项和为Sn,1

14、 1aiai = = _2 2S4若-，右&7，则a3 =8a3- aiq【详解】故选C. .第 8 8 页共 2i2i 页8故答案为8【点睛】本题考查等比数列的通项及求和公式，熟记公式准确计算是关键，是基础题1414下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为【答案】20:【解析】 将三视图还原利用体积公式求解即可【详解】由三视图还原为如图几何体：一个圆柱和一个圆锥可得，V二二224 1223 = 20二.3故答案为20 :【点睛】本题考查三视图，考查圆柱和圆锥的体积公式，熟记公式准确计算是关键，是基础图21515已知点A 0,1,抛物线C:y二ax a 0的焦点为

15、F,连接FA,与抛物线C相 交于点 M M，延长FA,，与抛物线C的准线相交于点N，若FM : MN =1:2，则实数a的值为_【答案】心3【解析】 过M作抛物线的准线的垂线且垂足为K,连接MK，由抛物线的定义得第1313页共 2121 页MF|=|MK，由|FM |:| MN | = 1:2，得|KN |:| KM |=J3:1，利用斜率得 a a 的方程 求解即可3第1414页共 2121 页【详解】依题意得焦点F的坐标为a,0,14丿过M作抛物线的准线的垂线且垂足为K，连接MK,由抛物线的定义知MF = MK，因为| FM |:| MN |=1: 2，所以| KN |:| KM |= J

16、3:1，4_a，-册3，所以-a3，解得却【点睛】本题考查抛物线的定义及简单几何性质，熟记定义，准确转化题意是关键，是基础题0 -1a小-04故答案为.心3又kFN1616 .已知函数1f(x)二3xjX1，则当函数F(x)二f (x) -ln x, x 1时，实数a的取值范围是【答案】【解析】由题方程f(x)二ax恰有两个不同的实数根，得y = f (x)与讨二ax有 2 2 个交点，利用数形结合得 a a 的不等式求解即可【详解】由题可知方程f(x)二ax恰有两个不同的实数根，所以y = f (x)与y =ax有 2 2 个交点,因为a表示直线y=ax的斜率，当x 1时，f(x)1，设切点

17、坐标为x,y ,x所以切线方程为y -y。二丄X-X。，而切线过原点，所以X。所以直线1 11 111的1I I2的斜率为所以实数a的取值范围是故答案为第1515页共 2121 页【点睛】本题考查函数与方程的零点，考查数形结合思想，考查切线方程，准确转化题意是关键,是中档题，注意临界位置的开闭，是易错题若cosA =3，B = 2A，b = 3.4先求cosB二丄，再利用余弦定理得c,进而得SABC=bcsin A =，再利用8砰216SACM_|CM丨_|AC| _3 _6S.ABM- | BM| AB 一5求解ABM的面积即可2【详解】由El，得，所以sin B二si n 2A = 2si

18、n A cos A二27*344由正弦定理旦二旦，可得a二沁=2.=2.sin A sinBsinB(2)cosB二cos2A = 2cos2AT =2- -114丿在匚ABC中，由余弦定理b2二a2 c22ac cos B，得2c2c10 = 0，M在边BC上，且AM平分.BAC，求.ABM的面积【答案】a=2SABM75 7176【解析】 （1 1）先求sin A，sin B =sin 2A =4结合正弦定理求解 a a 即可；（2 2）83、78已知点(2(2)A,B,CA,B,C 的对边分別为a, b,c，三、解答题第1616页共 2121 页5解得c=或c - -2(舍去)SABCb

19、csin A =-ABC2 16S.ACMI CM I I AC I 36因为S；打二丽=屈=5 =5，2【点睛】本题考查正余弦定理，二倍角公式，同角三角函数基本公式，三角形面积公式，熟记公 式定理，准确计算是关键，是中档题1818 .在四棱锥 P PABCDABCD 中，EOEO = = RDRD = = DCDC= =2323,= = PDPD = = PBPB = = 2 2 .(1) 若点 为 的中点，求证：.V.V；平面齐匸;(2)当平面平面时，求二面角匚-1：一 的余弦值.【答案】(1 1)见解析；(2 2)严. .【解析】(I)(I)结合平面与平面平行判定，得到平面 BEMBEM

20、 平行平面 PAD,PAD,结合平面与平面性 质，证明结论.(II).(II)建立空间坐标系，分别计算平面 PCDPCD 和平面 PDBPDB 的法向量，结合向量数 量积公式，计算余弦值，即可【详解】( (I) )取.的中点为，连结由已知得，二二二为等边三角形，一匕”玄.厶二厶 n二匸-,二叮二：丿ll：.l 1:厂= = 9090 口，BWADBWAD . .又 I I . .：li=li=平面:厂平面.-I, * /平面D，./为的中点，卜 1 1 为的中点，H/. .所以SABMSC11A1116176第1717页共 2121 页又平面 .，平面.：.、匸，m II平面. .i i ,平

21、面-ri-.-ri-.- /平面. .1.1:.:.：平面y.=：= /平面 m m（n）连结，交二二于点，连结 ，由对称性知，为丄的中点，且 i i 八，丄二 c c. .平面 m m平面 w w: : :.i.i 1平面 飞，二=土门=1=1 , ,弋=. .以 为坐标原点，的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 G.-G.-;:;: . .则（0 0,: 0），（3 3，0 0，0 0），（0 0，0 0，1 1）. .易知平面干；二的一个法向量为:：-.设平面 的法向量为，_ b,_ _ 一 _niDC = O则出丄 DCDC，血丄 DPDP ,1 1 先-竟=Q,设二面角的大小为，则

22、. .本道题考查了平面与平面平行判定和性质，考查了空间向量数量积公式 ，关键建立空间坐标系，难度偏难. .DC=（玉版O）DP = S【点睛】5 5第1818页共 2121 页佃.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了 100100 位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额 （单位：千元）,网购次数和支付方式等进行了问卷调査第1919页共 2121 页经统计这 100100 位居民的网购消费金额均在区间0,30内，按10,5,5,10,10,15,15,20 ，20,25 1，25,30 分成 6 6 组，其频率分布直方图如图所示(1) 估计该社区居民最近一年来网购消费金额的

23、中位数；(2)将网购消费金额在 2020 千元以上者称为 网购迷”补全下面的2x2列联表，并判断有多大把握认为网购迷与性别有关系男女合计网购迷2020非网购迷4545合计100100(3)调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不影响统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲8080404016162424乙9090606018181212将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购 2 2 次，记两人采用支付宝支付的次数 之和为，求的数学期望. .2“、亠2(a+b + c + d丫ad

24、 be )附：观测值公式：K2(a +b )(c+d a +c J(b +d )临界值表：第2020页共 2121 页PK2k0 )0.010.010.050.050.0250.0250.0100.0100.0050.0050.0010.001第2121页共 2121 页k02.7062.7063.8413.8415.0245.0246.6356.6357.8797.87910.82810.828【答案】（1 1）中位数估计为 17.517.5 千元. .（2 2）见解析；（3 3）- -3【解析】（1 1）利用频率分布直方图的中位数公式求解即可（2 2）由直方图知，网购消费金额在 2020

25、千元以上的频数为0.35 100 = 35，得 网购迷”共有 3535 人，列出列联表计算K2即 可得出结论；（3 3）设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X，Y，据题意得x LB 2,1，YL B 2,-， 计算E（X）,E（Y），由.=X Y，即可求解I 2丿I 3丿【详解】（1 1）在直方图中，从左至右前 3 3 个小矩形的面积之和为（0.01 0.020.04） 5 = 0.35，后 2 2 个小矩形的面积之和为（0.04 0.03） 5=0.35，所以中位数位于区间15,20 1内 . .设直方图的面积平分线为15 x，则0.06 x 5 035 0.15，得x=2.5，所以该社区

26、居民网购消费金额的中位数估计为17.517.5 千元. .（2 2） 由直方图知，网购消费金额在 2020 千元以上的频数为0.35 100 = 35， 所以 网购迷”共有 3535 人，由列联表知，其中女性有 2020 人，则男性有 1515 人. . 所以补全的列联表如下：男女合计网购迷151520203535非网购迷454520206565合计60604040100100600: 6.5935.024，查表得91P K25.0241=0.025,所以有 97.5%97.5%的把握认为网购迷与性别有关系（3 3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为因为K22100(45 2

27、0 -15 20)60 40 35 65第2222页共 2121 页设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为X,Y，据题意，X L B 2,1,V 2丿YLB 2|. .1| 4所以E(X) =21,E(Y) = I23 3因为.=X Y，则E( E(X)E(Y)=-，所以 的数学期望为-.33【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题2 22020已知椭圆C:笃爲=1(a b 0)过点2-.3,占3，右焦点F是抛物线y2=8x a b的焦点. .(1 1)求椭圆C的方程；(2 2)已知动直线|过右焦点F,且与椭圆C分别交于M,N两点. .试问x轴上是

28、否存135在定点Q，使得QM QN恒成立？若存在求出点Q的坐标：若不存在，说明理16由. .2 2【答案】L L1(2)(2)见解析16 12【解析】由椭圆C过点(2、.3,-、.3)，得，由抛物线的焦点为2,0，a b123得C = 2，利用 上2 1即可求解 a a 则方程可求；(2 2)假设在x轴上存在定点a a -421355Q(m,0)，当直线I的斜率不存在时，由QM QN =(2 -m)-9，解得m =-1641113511或m = ；当直线l的斜率为 0 0 时，由QM QN =m2-16，解得m或4164恒成立设直线l的斜率存在且不为 0 0 时，其方程为y二k(x - 2)(

29、k = 0)，与椭圆联立达定理即可11 11卄才，可得口盲，得点Q的坐标为11,0. .再证明当m二11时QM QN二4413516消去 y y 得韦达定理，向量坐标化得-11, y2整理代入韦4第2323页共 2121 页【详解】135第2424页共 2121 页123(1)因为椭圆C过点(2 . 3. 3)，所以 r2=1，-b123所以%a a -42 2所以椭圆C的方程为x y116 12QN =(2 -m,-3)，时兀()2 16当直线I的斜率为 0 0 时，则M(-4,0) , N(4,0) , QM =(-4-m,0) ,QN = (4 - m,0)，1351111由QM QNw

30、 -16菲，解得m才或心才1111、由可得心匚，即点Q的坐标为,011135F面证明当心匸时，QMQN花恒成立当直线I的斜率不存在或斜率为0 0 时，由知结论成立当直线I的斜率存在且不为 0 0 时，设其方程为y = k(x - 2)( k 0)，M x1, y1，. . 2 2 2 2N X2,y2直线与椭圆联立得3 4k x -16k x 16 k -3=0，2 2 2yM = k % -2 *k x2-2 = k x1x2-2k % x2i亠4k，石恒成立135又抛物线的焦点为2,0，所以c=2. .=1，解得a2=3(舍去)或a?=16(2)假设在x13516当直线I的斜率不存在时，则

31、M (2,3),N(2,-3)，QM =(2 -m,3),11135，解得16k2直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且x1x2刁 ，xx =4 k十3216 k -34k23所以QM$1-”2X1 X2 y24416=1 k2x1x2- 2k2111214k2二1 k2 16 k 3- 2k2164k23卜11 16k2卜1214丿4k2+3164k2综上所述，在x轴上存在点Q口,0，U丿第2525页共 2121 页使得QM QN恒成立16第2626页共 2121 页【点睛】 本题考查椭圆方程，直线与椭圆的位置关系，定值问题，向量运算，利用特殊位置得定点再证明一般情况成立是解决定点问题

32、的基本方法，准确计算是关键，是中档题1 -a2121 .已知函数f (x) - -a In x x. .x(1) 当a_2_2 时，求函数 f(x)f(x)的单调区间；x2-(2) 设g x=emx -3，当a =e 1时，对任意为1J,存在1,=),2使f(Xi) 2e _g(X2)，证明：mze2-e. .【答案】(1)(1)见解析；见证明【解析】(1 1)求导f(X)? 1写皿严1)，讨论x = 1与x = a-1x xx的大小关系得单调区间；当a = e2亠1时，由(1 1 )得 f f (x)(x)在1, :上的最小值为f(e2)=Y2-3，由题f (xj+2e2=g(X2)转化为g

33、(x)?臌臌(为)2e2min，得2 xe e h(x)2求其最大值即可证明x【详解】(1(1)函数 f(x)f(x)的定义域为(0,=),由f (x) =0，得x = 1或x二a -1当a 2即a -11时，由f (x)：0得1：:x：a1，由f (x厂0得o： ：x : 1或x a -1；当a= 2即a -1=1时，当x 0时都有f (x)一0；当a 2时，单调减区间是1,a -1，单调增区间是0,1,a-1,匸：；当a = 2时，单调增区间是0,匸：，没有单调减区间；2 2(2)当a =e2 1时，由(1 1)知 f f (x)(x)在1,e单调递减，在e ,匸：单调递增从而 f(x)f

34、(x)在1,=：上的最小值为f(e2)=-e2-3. .对任意咅1,存在X2 1：，使gX2乞f为2e2,即存在1,=,使的值不超过f x2e2在区间1,r上的最小值e2-3. .2 xex- mx2乞e2，分离m得m乞e-e，构造函数x* a又f (x)1xa -1(x-1)x-(a-1),x第2727页共 2121 页:2、3 si nr. .(1(1)求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程;X2y22、3y =0 .土2【解析】 (1)(1)利用参数方程与普通方程互化及极坐标与普通方程互化求解即可;线参数方程与曲线 C C 联立，利用t的几何意义扃| PB |t1t222 x2x22由-e -3 2e _ e mx3得e mx e，. m2 xee2 x令h(x) =ee2，则当X1, V时，m空h(X)max. .X:h(x)二x2c2xLx丄 cJ2x-e x2 ee x xe 2 eex3当X 1,2时h(x)：0；当X 2,：)时，xex2 e2XXXe xe -2e - 0,h(X)0.2故h(x)在1,：)上单调递减，从而h(x)max=h(1)=e -e, ,从而实数m ：e2_ e【点本题考查函数的单调区间，不等式有解及恒成立问题，分离参数求最值问题，转化化归能力，是中档题2222 .选