PDE数值计算的有限差分法

1、PDE数值计算的有限差分法图像处理的PDE方法对给定的PDE往往很难求其解析解，尤其是在实际问题中，这就需要求助于数值计算以获取该问题的近似解，常用的PDE数值方法有有限差分法、有限元法和谱法等，其中，有限差分法应用得最为广泛。因为待处理的图像通常已经是在二维空间中，按等采样而得到的离散化数字图像，这就自然构成了有限差分法所需要的等分网格（Grid）。1、有限差分格式有限差分的基本思想是：利用相距有限距离的两邻点的函数值的差与两点间距离的比值来近似函数对变量的偏导数。例如，用向前差分来近似对时间的偏导数，即对于空间中的一阶偏导数，除上面的向前差分外，还有向后差分、中心差分等，如下：向前差分：后

2、向差分：中心差分：根据泰勒展开式，有因此可得说明向前差分和向后差分是一阶精度的。同时，由于可得说明中心差分是二阶精度的。当偏微分议程中含有二阶偏导数时，同样采用有限差分进行处理，先求出两个半点处的一阶偏导数中心差分，如下：，然后再利用这两个一阶差分，作一次中心差分，得：对于二阶偏导数，同样采用类似的方法来处理，如下：其中因此，2、显式、隐式和半隐式方案以一维Burgers方程来说明几种PDE的数值计算方案。首先建立如下图所示的网格，然后利用上面的有限差分来近似其中的导数。（1）显式方案。假定在时刻的函数值已经求出，为了计算下一时刻的函数值。我们对左边采用向前插分，右边采用向前插分，则该方程可以

3、表示为即这样可以直接计算出所有的层的未知数据。（2）隐式方案。如果在建立差分方程时，右边所有与有关的全部采用层的数据，如上式可以改写为：这样一来，在为已知的条件下，得到了一个方程组，用来求解。隐式方案得到的方程组往往是非线性的，虽然可以采用某些方法求解，但相比显式方案毕竟困难得多。它的主要优点是稳定性高。（3）半隐式方案。为了利用隐式方案的稳定性，有时将其中的一部分数据使用层的数据，另外一部分采用层的数据，这样的方案称为半隐式。可以利用半隐式方案将非线性方程变为线性方程，在数值求解上容易得多，同时还具有高稳定性的优点，因而半隐式方案是使用较广泛的一种数值方案。3、一致性、稳定性与收敛性将有限差

4、分离散化，通过显式、隐式或半隐式的方案，从一个偏微分方程得到一个代数方程组，根据初始条件，逐步计算出。问题：这样计算的结果与实际的解有多大的差距？（1）一致性。将差分方程用有限差分表示出以后，会得到如下的形式：如果假设是PDE问题的真实解，用和替换上式中的左边和右边，则等式不再成立，其差值为称之为截断误差。如果假设在第层是精确的，即（），代入差分方程后所得到与真实解之间的误差。例如，对时间偏导采用向前差分，而对空间偏导采用中心差分，则所得到的截断误差可以表示为。不论差分方案是一阶精度，还是更高阶精度，它至少可以保证当时，有满足该式的有限差分格式被称为是一致的。（2）稳定性。满足一致性只是差分方

5、程的一个最基本的要求，它没有考虑在多次迭代中误差的积累和传播性质。当在迭代过程中所产生的误差始终保持在足够小的范围之内， 这种有限差分才是实现PDE的可用的数值方案。具有这种性质的有限差分格式称为稳定的。对有限差分格式的稳定性分析没有普遍适用的格式，以Fourier分析作简单的介绍。首先，对第层数据作序列Fourier变换（SFT），可得当序列平移时，根据SFT的性质，有根据有限差分，可以得出利用SFT的性质，可以求出层数据的SFT与第层数据的SFT这间的关系。当差分算子为线性算子时，这种关系可以表达为这说明，一次迭代计算可以看成是一个线性滤波，而就是算子数字滤波器的传输函数。进一步，利用迭代

6、算法的递推性质，可得该式表明，为使初始时的误差不至于无限扩大，应该要求例 考虑线性对流方程的稳定性。，若对两个偏导数都采用向前差分，则可得（1）其中称为网格比。不失一般性，可取，此时网格比取决于时间步长。对（1）式两边做SFT得因此有进一步可得因此无论时间步长如何取值，只要，该方案都是不稳定的。例 线性热方程。采用显式方案，有即其中。进行SFT变换得因此有因而当时，只要，则，方案是稳定的。对于隐式方案和半隐式方案，可以采用同样的方法分析其稳定性。（3）收敛性。利用有限差分作数值计算时，同时需要关心的问题有：差分方程的解与偏微分方程的真实解之间，在任何网络点的误差在时，是否趋向0？如果有这一性质

7、，则称其为收敛的。对于收敛性的判断较一致性和稳定性更为复杂。我们直接套用一个结论：有限差分格式同时具有一致性和稳定性等价于该差分格式具有收敛性。4、CFL条件其主要目的是讨论PDE的稳定性条件，例如讨论为保证迭代的稳定性对网格比提出的要求等。5、边界条件的离散化实现方法讨论PDE的定解问题时，发现PDE的定义域是一个开域，即不含边界，的边界用表示。有时将内的点称为内点，将上的点称为边界点。只有内点参与PDE计算，但在计算中需要用到边界点的值。以下讨论常用的第一类和第二类边界条件的实现。（1）为矩形。对第一类边界条件（Dirichlet条件），如果假定是的矩形，给定的（）可用四个一维数组来表示，分别是、，其中，定义如下：这样，除四个角未确定外，已经将扩大为的二维数组，如下：对于第二类边界条件（Neumann条件），在矩形边界的情况下，左边界的法方向与轴一致，因此有因此有。右边界的法方向与轴方向相反，因此有即。在实现第二类边界条件的扩展时，边界点的函数值是随时间发生改变的，即使中不含有时间，它们也会随内点值的改变而改变，因此拓展要在每次迭代中进行，这一点区别于第一类边界条件。那里，如果