2020-2021学年广东省中山市高二上学期期末数学试题(解析版)

1、第1页共 18 页2020-2021 学年广东省中山市高二上学期期末数学试题、单选题1 .已知 0 X 1 ,0 y 1，记Mxy, Nx y 1,则M与N的大小关系是（）A .M NB.M NC.M -ND .M与N的大小关系不确定【答案】B【分析】利用作差法比较即可【详解】解：因为 M xy, N xy 1,所以 N M x y1 xy x(1 y) (1 y：)(1 y)(x1),因为 0 x1 , 0y 1，所以 x1 0,1y0 ,所以(1 y)(x 1)0，所以N M0,即MN故选：B2 .在 ABC 中，角 A, B,C 的对边分别是，a,b,c ,右 a2 2,A45 , B

2、60，则b=A .3B.、2C. 1D . 2.3【答案】D【详解】试题分析： 由正弦定理得asin Bh2 .2 sin602、3.故选D .usin Asin 45【解析】正弦定理.3 .在等差数列an中，若a4a5as15, 则 a2a8()A . 6B. 10C. 7D . 5【答案】B【分析】由等差数列的性质可得：a4a6a2a82 a5，代入可得 兔5,而要求的值为2a5，代入可得.【详解】由等差数列的性质可得：a4a6a2a82a5所以a4日厶日点15，即 3a515 ,a55 ,故q日82$2 510,故选：B.4.音乐与数学有着密切的联系，我国春秋时期有个著名的三分损益法”：

3、以 宫”为基3本音，宫”经过一次 损”，频率变为原来的-，得到 徵”；徵”经过一次 益”，频率变2第2页共 18 页3为原来的3，得到 商”；依次损益交替变化，获得了4音阶据此可推得（）叽即可得答案;【详解】设宫”的频率为3a，由题意经过一次 损”，可得 徵”的频率是-a ；2徵”经过一次益”，可得9商”的频率是-a ,8商”经过一次损”，可得27羽的频率是a ；16最后 羽”经过一次 益”，可得 角”的频率是乞 a ,649 81 由于a,：a,a 成等比数列，所以 宫、商、角的频率成等比数列.864故选：A.【点睛】本题考查等差、等比数列在数学文化中的运用，考查逻辑推理能力、运算求解 能力

4、5.已知双曲线的一条渐近线方程为y 2x,且经过点2,2.5，则该双曲线的标准方程为2y21B.x21422y1D.y2x144【答案】B【分析】对选项逐一分析排除，由此得出正确选项1【详解】对于 A 选项，双曲线的渐近线为 y x，不符合题意对于 B 选项，双曲线 的渐近线为y2x，且过点 2,2.5，符合题意对于 C 选项，双曲线的渐近线为y 2x，但不过点 2,2 5，不符合题意对于 D 选项，双曲线的渐近线为 y x , 不符合题意综上所述，本小题选 B.【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，考查双曲线标准方程的求法，属于基础题宫、徵、商、羽、角”五个A 宫、商、角”的频率成等比数

5、列C 商、羽、角”的频率成等比数列【答案】A【分析】根据等差等比通项公式，分别计算B 宫、徵、商”的频率成等比数列D 徵、商、羽”的频率成等比数列宫、徵、商、羽、角”五个音阶，再对照选2xA 4C x2第3页共 18 页6 测量河对岸某一高层建筑物AB 的高度时，可以选择与建筑物的最低点B在同一水4【答案】B第 3 页共 18 页平面内的两个观测点C和D，如图，测得BCD 15,BDC 30,CD 30m，并 在C处测得建筑物顶端A的仰角为60，则建筑物 AB 的高度为A. 30 .6mB. 15 6mC. 5.6mD. 15 .2m【答案】B【详解】分析：先根据三角形内角和为180，求得CB

6、D，再根据正弦定理求得 BC ,进而在Rt ABC中，根据 AB BC tan ACB 求得 AB.详解：在BCD中，BCD 15,BDC 30, CBD 135 ,所以 BC 沁竺 15 2 ,sin 135故选：B.点睛：本题考查了解三角形的实际应用，考查学生的计算能力面 AAC1C 所成角的正弦值等于（）B.4由正弦定理得BCsin BDCCDsin CBD在Rt ABC中，AB BC tan ACB15 /2315.6 .7.如图，正三棱柱 ABC ABG 中，AB1 , AA, 2 ,D是 BB!的中点，贝 U AD 与平第5页共 18 页【分析】以C为原点，在平面ABC中，过C作

7、CB 的垂线为x轴，CB 为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AD 与平面 AACiC 所成角的正弦值.【详解】 解：以C为原点，在平面ABC中，过C作 CB 的垂线为x轴，CB 为y轴，CCi为z轴，建立空间直角坐标系，TAB 1，AA12，则A（3，2，0），C（0，0，0），Ci（0，0，2），D（o，1，1），CA2，2，0），CCi（0， 0，2），AD（-2，2，1），设平面 AAC1C 的法向量n（x，y，z），_ . -31则nCA2x3y 0，取 x 1，得n （1,3 ,0）,n CC12z 0设 AD 与平面AAC1C 所成角为，.|AD-n |晶庸则

8、sin|AD|n|旳4AD 与平面 AAC1C 所成角的正弦值为6.4本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系考查数形结合思想，属于中档题.b ie 1,be 0, aeiae 4，则 a bi iae的C.5 一D. 5.322，由 b ie 1 ,be 0，可得 b e忑，设【点睛】等基础知识，考查运算求解能力,8 .已知平面向量 a,b,e 满足： 最小值为 （）A .4B. 4 旋【答A第6页共 18 页e b e “ ,第7页共 18 页2 2a (b e) 2 a a (b e)，从而可求出其最小值【详解】解：因为 a e ia e 4,16 ,所以al

9、因为 be 1,be 0，所以 b eJ2,设 S a b)a e，则 S a b a e I b e近,22一一|一2r 一S2a2 2a (be)2 aa (be),2当 aa (be)0 时，S2(舍去)，当 a2a (be)0 时，S2佗 4a(b?)佗 4 同|be 佗 迈(4 近)2， 所以 a bi I ae 的最小值为 4返，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律的应用，考查向量的性质的应用， 解题的关键是由已知条件得a 2，b e V2，令 S a b .a e，贝U2 一一一 2r_S 2a 2 2a (b e) 2 a a (b e)，然后化简可求得结果，

10、考查计算能力，属于 较难题、多选题A. a b 10, 5, 2C.ab 10D. a 6【答案】BC【分析】利用向量坐标运算法则直接求解.【详解】解：向量a (4, 2, 4),b (6, 3,2),a b (10,5,2)，故A正确；a b ( 2, 1 ,6)，故B错误；a b 24 6 8 22，故C错误；、22a-2所以 2a2 2, 1216，所以a9.已知向量a 4, 2, 4 ,b6, 3,2，则下列结论不正确的是(B. a b2, 1,6第8页共 18 页|a|16 4 16 6，故D正确.故选：BC .10 .下列不等式中可以作为x21 的一个充分不必要条件的有（)A .

11、x1B. 0 x 1C.1 x 0D.1 x【答案】BC【分析】由题意解不等式，再由集合间的关系、充分不必要条件的概念逐项判断即可得解【详解】解不等式 x21,可得1 x1因为11 x 1 xlx1, x 1x 110 x 1,11x 1x 1 x0,所以 x21 的一个充分不必要条件有：0 x 11 x 0.故选：BC.【点睛】 本题考查了充分不必要条件的判断，考查了转化化归思想，属于基础题11设an是等差数列，Sn是其前 n 项的和，且 S5& ,S62，则下列结论正确的是（）A .d0B. S6与 S7是 W 的最大值C . S9S5D. a70【答案】ABD【分析】设等差数列

12、an的公差为 d，根据 S5S6,S6S& ,可得 a6a15d 0 ,a7a16d 0,a*a17d1 0即可得出结论【详解】设等差数列 an的公差为 d ,打S5S6,SiS7S8日6日15d0,a7a16d 0,a8a17d 0.d 0,a0,a70,S6与 S7是 Sn的最大值.因此 A,B,D 正确.对于 C.SsS59a36d(5a110d)4a126d2（a7鬼）0，可得 S9S5，因此不正确故选：ABD .12 .下列函数中，最小值为2 2的有（）第9页共 18 页B y sin x0 xsin xD.y log2x 2logx22 _x -时，即x 2取等号，此时取得

13、最小值2 2，故A成立;当t 0时，y Iog2x 2logx2 log2X - t-2-2-2,Iog2Xt2 _当且仅当t2时，即 t 2 取等号，此时取得最小值2、-；当t 0时，y Iog2x 2logx2 t (2胪2 2,t2当且仅当t-时，即 t2 取等号，此时取得最大值2.2 .综上述 y：:;2 2或庐2 2，故D不成立.故选：AC.三、填空题13 .命题“ x R , x22x 40 ”的否定为_ .【答案】 x R,x22x 40【详解】根据全称命题的否定是特称命题可知，原命题的否定为 “ x R,x22x 4 01214抛物线 y -x 的准线方程是 _ .4【答案】y

14、 112 2【分析】 将 y -x2化成抛物线的标准方程 x24y，利用抛物线的性质求解即可.4xxe 2e【答AC【分由已知结合基本不等式及函数的单调性分别检验各选项即可判【详当且仅当对于由0 xn可得 0 sin x；1,sin x (0,1, y2t 在(0 ,1上单调递减,t1时取得最小值 3,故B不成立;对于C:令 t ex，则t0，则y t牛2 t 2 22,当且仅当t 2时，即2 取等号，此时取得最小值2 2,C成立;对于D， 由于R,所以设 Iog2x= t,2 2,2对于A : y x 2x第10页共 18 页【详解】由 y 4x2 3 4得：x24y，所以 2p 4，即：-

15、21所以抛物线 y -x2的准线方程为：y -1.42【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题.15 .已知关于X的不等式(mx m26)(x 4)0(其中m R)的解集为A，若满足A 门 Z B (其中 Z 为整数集)，则使得集合B中元素个数最少时m取值范围是 _【答案】2 m 3【分析】先对m分类讨论，利用一元二次不等式的解法求出解集确定出A,再根据A 门 Z B (其中 Z 为整数集)，写出当集合B中元素个数最少时m的取值范围【详解】分情况讨论：四、双空题2 2x y22216.把半椭圆： 1x0 和圆弧：x 1 y a x 0合成的曲线称为 曲 a b圆”其中点F 1,0是半

16、椭圆的右焦点， A，A2分别是 曲圆”与x轴的左、右交点，B，B2分别是 曲圆”与y轴的上、下交点，已知BFB2120，过点F的直线与 曲圆”交于P,Q两点，则半椭圆方程为 _(x 0),亠APQ 的周长的取值范围是【分析】由椭圆的焦点坐标以及B1FB2120，可得椭圆的标准方程和圆的方程，从2 2【答案】 16,8430时,x 40，解得0时,2小m 6 =m m2 64，解得Am260时,解得 Am26x因为 A 门 Z集合B中元素个数最少，所以0 不符合题意;当 m 0 时,26 6mm - 2 .6 4，所以要使集合B中元素个数最少, m解得 2 m 3.故答案为 2 m 3.【点本题

17、主要考查不等式的解法，不等式的整数解问题需要关注边界值的影响，稍有难度,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养第11页共 18 页而得到半椭圆方程；易知 Ai是椭圆的左焦点，过椭圆的右焦点F的直线与曲圆可得P,Q，在直线转动的过程中由P，Q 的位置可得三角形的周长的取值范围.【详解】 解：由(x 1)2y2a2(x 0),令y 0，可得x 1 a以及A( 1 a,0),再由椭圆的方程及题意可得A2(a,0) , B2(0, b) , B1(0, b),b由BFB2120，可得-,c由 F(1,0)可得 b 、3 ,所以a 2,2 2所以半椭圆及圆弧的方程分别为- 乂1(焊：0), (x 1)2y

18、24(x 0),43所以A1( 1,0), A2(2,0), Bg . 3), B2(0, 3),可得 A 相当于椭圆的左焦点， APQ 的周长为PF PA1AQ QF,当P从A(不包括A)向B2运动时，PA PF 2a 4,当 Q 在y轴右侧时，AQ QF 2a 4，所以这时三角形的周长为8,当P从B2向 A 运动时，Q 在第四象限，则AQ QF 2a 4,PF这时三角形的周长小于8,当P运动到 A1时，Q 在A处，不构成三角形，三角形的周长接近2人乓6, 由曲圆的对称性可得P运动到X轴下方时，与前面的一样,综上所述， APQ 的周长的取值范围为(6,8.故答案为：2 2丄1 1;6,8.4

19、3PA,；2r A1B22 a 4,第12页共 18 页彳虽Bl五、解答题217 .已知函数 f(x) mx mx 12.(I)当 m 1 时，解不等式 f (x)0；(n)若不等式 f (x) 0 的解集为R,求实数m的取值范围m 0求解即可.0【详解】(I)当m 1时，不等式为 x2x 120,x 3 x 40,解集为 xx 3 或x 4(n)若不等式f x 0的解集为R,则当m 0时，12 0恒成立，适合题意；m0m 0当m 0时应满足，即2解得48 m 0由上可知，48 m 00m 48m 0【点睛】这个题目考查了不含参的二次不等式的求法，以及二次不等式在 R 上恒成立的应用，在整个实

20、数集上恒成立，即满足判别式小于0,开口方向满足条件即可，若在小区间上恒成立，则可转化为轴动区间定的问题218 .已知点P 2,m是抛物线C:y 2px p 0上的点，F为抛物线的焦点，且PF 4，直线l:y k x 2与抛物线C相交于不同的两点A,B.【答案】(I) xx 3 或 x 4 ； (II)【分析】(I)当m 1时，不等式为 x2(n)分两种情况求解，当m 0时,48 m 0.x 120,结合二次函数的特点解出不等式即可;12 0恒成立,适合题意；当m 0时应满足第13页共 18 页(1)求抛物线 C 的方程;第14页共 18 页(2)若AB 16，求k的值.【答案】(1) y28x

21、 ； (2) 1 或-1.【分析】(1)根据抛物线的定义得出 PF 2*4 ,即可求得P值，即可求出抛物线C的方程；(2)设A儿， ,B X22，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理以及抛物线的焦点弦公式，结合已知AB 16，即可列式求出k的值【详解】解：(1)抛物线C: y22px 的准线为 xP,由|PF| 4得：2P4 p 4 ,所以抛物线的方程为 y28x.(2)设A儿， ,B X2,y2,由；28x)，可得kx4k28 x 4k20,则64k264 0,冷 X24k28/直线I经过抛物线C的焦点则 AB4k28人X2pk416 ,解得：k 1,所以k的值为 1 或-1.【点睛】本题考查

22、根据抛物线的定义求抛物线的标准方程,考查直线与抛物线的位置关系的应用，涉及联立方程组、韦达定理、以及抛物线的焦点弦公式，考查分析解题能力和运算能力19 已知数列 an的前n项和为S，且满足 Sn2n 12 . g 为等差数列，其前n项和为Tn，如图 _,Tn的图象经过 A,B 两个点122第15页共 18 页（1）求数列 an的通项公式;（2）求数列an d的前n项和Rn从图 1，图 2，图 3 中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答（2）由bn为等差数列，再由图知T1与 Ta的值，可得 bn的通项公式，进而求得 ann，再利用错位相减法求得其前n项和Rn.【详解】（1）由 Sn2n 1

23、2，得当 n 1 时，a1s 2 ；当 n 2 时，anSnSn 12n 122n22n，综上所述，an2n；（2）设等差数列bn的公差为 d，选图 1 :可得 T 1，Ta3，b11即 3b Ud，解得【答案】（1）an2n； （ 2）选图 1 :Rn5 2n 2n 110,n N；选图 2:Rnn 12n 12, nN；选图 3：Rn3n 92n 118,n N【分析】（1）由 Sn2n 12，再根据 anS,n 1SnSn 1,n2 直接求解;3第16页共 18 页则bn1 22nanbn2n2n,223235 2n 2n 13 2n 2n2Rn12223242n 2n3 2n 2n 1

24、得:Rn12n 12n 22n 210n2n 2化简得Rn52n2n10,n选图 2 :可得 TT3b11即 3 23 bid2解得bid则bnanbn2n22232n2n2Rn1222 233 242n2n 1得:Rn2 22232n2n2n2n化简得Rn2门12,n选图 3：可得 T13, T30b1即3bib1解得b1d则bn3n 6,anbn3n 62n,第17页共 18 页得:223233n92n 13n 62n2Rn3220 232-3n 92n3n2n 1第18页共 18 页Rn3 本题难点在于第二问中不会结合正弦定理(a c)bac将式子变形解三角形时，最常用5的方法由正弦定理

25、、余弦定理边角互化3n3 22162n13n183n 9化简得尺3n92n 118, n N20 .在亠ABC中,角A,B,C的对边分别为a,已知(ac)b12 ac 5(1)若 a，b，c 成等差数列，求cosB的值;(2)是否存在厶ABC满足B为直角？若存在，求sin A的值；若不存在,请说明理由4【答案】(1)-;(2)不存在，详见解析.1212【分析】 由2b a c以及(a c)b ac可知2b2ac,结合余弦定理55cosB邑卫2ac b即可求解cosB.2ac12一当 B 为直角，则sinB 1,sinC cosA,由(a c)bac,进行边角互化得到6sin A cosA -s

26、in 2A,式子平方整理得(9sin 2A 5)(4sin 2A5，5)0不符合题意，即可判断.【详解】解:(1)因为a,b,c 成等差数列，所以2b a c2 2 2 2由余弦定理可得cosB(a c) 2ac b 3b 2ac更2ac 2ac12b262ac122因为(a c)b12ac,所以2b255ac，即一-，所以cosBac 52ac若 B 为直角，则sin B 1,sinCcosA12由(a c)b ac及正弦定理可得5sin A sin C12sin Asin C5、12所以sin A cosA sin A cos A,即 卩sin A cosA 5:6sin2A,上式两边同时

27、平方536可得1 sin2A sin22A,所以(9sin 2A 5)(4sin252A 5) 0().又0 sin 2 A 1,所以9sin2 A 50,4sin2 A 5 0,所以(9sin 2A 5)(4sin 2A5)0与()矛盾，所以不存在亠ABC满足B为直角.【点睛】本题考查了等差中项，考查了余弦定理，考查了二倍角公式，考查了同角三角函数的基本关系第19页共 18 页21 如图，在四棱锥P ABCD中，PAB是等边三角形,BCAB, BC CD 2 3 ,(1) 若PB 3BE，求证：AE/平面PCD;(2) 若PC 4，求二面角A PC B的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2

28、) 3 卫5【分析】(1 )作 EF /PC，交 BC 于F，连接 AF ,分别证明 AF/平面PCD,EF平面PCD，进而可证明平面AEF/平面PCD，可得AE/平面PCD；(2)计算可知 PC2PB2BC2，所以BC PB，结合BCAB,可知BC平面 PAB ,从而可知平面PAB平面ABCD，在平面 PAB 内作Bz平面ABCD，以 B 点为坐标原点，分别以BC, BA, Bz所在直线为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz，求m n出平面 BPC 的法向量m,平面APC的法向量n,再结合cos.m，n石；，可求出sin m,n.，.(1)如图，作 EF /PC，交 BC 于

29、F,连接 AF .因为PB3BE, 所以因为ABAD2,因为BCAB, 所以因为tan ACBABBC因为tanAFBABBF因为AF平面PCDE是PB的三等分点，可得 BF -BC 匕33BC CD 2.3 , AC AC，所以ABCADC,ADC ABC 90,23，所以ACB ACD 30，所以BCD 60,2.33翕启，所以AFB 60，所以AF/CD,3,CD平面【详第20页共 18 页又 EF/PC ,EF平面PCD,PC平面PCD，所以EF/平面PCD.因为AFEF F, AF、EF平面AEF，所以平面AEF/平面PCD，所以AE/平面PCD.(2)因为PAB是等边三角形，AB 2，所以PB 2.又因为PC 4, BC 2.3，所以 PC2PB2BC2，所以BC PB.又BCAB,AB,PB平面 PAB , AB PB B，所以BC平面 PAB .因为BC平面ABCD，所以平面PAB平面ABCD.在平面 PAB 内作Bz平面ABCD，以 B 点为坐标原点，分别以BC,BA,Bz所在直线为x, y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz，则 C(2 -3,0,0)，A(