2020届广东省中山纪念中学高三年级上学期12月月考数学(文)试题(解析版)

1、第1 1页共 1616 页2020届广东省中山纪念中学高三年级上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1 1 .设集合Ax1 x 3,B x 2x3c 3A A.3,B B.3,-22【答案】D D【解析】根据 兀一次不等式的解法得到集合【详解】3 2x 3 0的解为x，故集合B23所以A B x | x 3。2故选：D.D.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题。3 0则AI B()d d3 33 3C C.1 1,D D . ,3,32 22 2B B,再运用集合的交集运算可得选项3X | X ，又TAx21 x 3,2.已知 z z 是纯虚数，若a i z 3iA A. 1 1B B

2、. 3 3【答案】B B【解析】【详解】设z mi（m 0），则ami m 3i 13随着中央决定在海南省全岛建立自贸区的政策公布以来，海南各地逐步成为投资热点 有 2424 名投资者想到海南某地投资，他们年龄的茎叶图如图所示，先将他们的年龄从小到大编号为号，再用系统抽样方法抽出6 6 名投资者，邀请他们到海南某地实地考察其中年龄不超过 5757 岁的人数为（）3y4o11:5366T- ?&8890u0-12A 5-4 5D D .不确定【答案】C C【解析】求出样本间隔，结合茎叶图求出年龄不超过 5757 岁的有 1212 人，然后进行计算即可1，则实数a的值为（）C C. -1-1D D

3、 . -3-3am 3, m 1,a3，选B.B B. 2 2第2 2页共 1616 页【详解】样本间隔为24 64，年龄不超过 5757 岁的有 1212 人，则需要抽取12 43人，故选: :C.C.【点睛】本题主要考查茎叶图以及系统抽样的应用，求出样本间隔是解决本题的关键，属于基础题. .4 4 .已知 a a1 1ln8,ln8, b b6 6|ln5,|ln5, c c InIn /6 InIn 2 2 ,则( () )A A.a bcB B. a a c c b bC C.cabD D.c b a【答案】B B【解析】 直接利用对数的性质判断大小即可【详解】1 1 aln8ln2,

4、b1ln5,cln、6 ln . 2 hn36 222Q ln2 ln3 ln5a c b故选 B B【点睛】本题考查了对数值大小的比较方法，一般找中间量0 0 ”或 1 1 ”，以及转化为底数相同的对数，再由对数函数的单调性进行判断，考查了转化思想5 5.双曲线、备=1 1 的焦点到渐近线的距离为（）A A . . .B B.C C. .D D .【答案】A A【解析】 试题分析：双曲线焦点到渐近线的距离为卜，所以距离为 H H 瘀.【考点】双曲线与渐近线.6 6 .设向量a cos , 1 ,b (2,sin )，若a b，则tan第3 3页共 1616 页【答案】D D7 7.要得到函数

5、f xsin2x的图象，只需要将函数g x cos2x的图象1iA A .向左平移一个周期B B .向右平移一个周期2211C C.向左平移一个周期D D.向右平移一个周期44【答案】D Dn【解析】 将函数g x cos2x的图象向右平移 一个单位，即可利用诱导公式，即可求4得答案.【详解】n将函数g xcos2x的图象向右平移个单位,4sin2x f x的图象，即向右平移 丄个周期 4故选 D.D.【点睛】本题考查了三角函数图象的平移，运用诱导公式化简成同名函数，然后运用平移变换规律求出结果，本题较为基础 8 8 .下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是减函数的是（）A.y2xB B.D

6、D.3sinxy xC.yxylg 2 x Ig 2 x【答案】D D【解析】逐一按奇偶性以及单调性定义验证与判定 【详解】 因为y 2x在其定义域上既是非奇非偶函数又是减函数，B B.C C. -1-1D D. -3-3【解析】分析：利用a即可得出.r bra rb0，即可求出tan，再利用两角和的正切公式raOS2Corbra0，即tan 2故选 B B.点睛：利用r bra rbra0，以及合理运用两角和的正切公式是解题的关键.，口n可得y cos 2 x 4第4 4页共 1616 页y x3在其定义域上是奇函数，在,0和0,上是减函数，sinxy在其定义域上是偶函数，xy lg 2 x

7、 Ig 2 x在其定义域上既是奇函数又是减函数因此选 D,D,【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)(1) 定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域;(2)(2) 判断 f(xf(x) )与 f f( (- x)x)是否具有等量关系.9 9 .等差数列an中的a1,a4035是函数f13. 2xx 4x312x 1的极值点，则lOg2a2018( )A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D . 4 4【答案】B B【解析】根据已知条件得f (x) x28x 120的两个根是aa4035，再由根与系数的关系得aia40358，根据

8、等差数列的性质，得a20i84，代入可求得值. .【详解】13 2由于ai,a4035是函数f x x 4x 12x 1的极值点，3-f (x) x 8x 12 0的两个根是44035，由根与系数的关系得a1a40358,由等差数列的性质，得a1a4035a2018a2018,a20184,lOg2a2018log24 2,故选：B.B.【点睛】本题考查极值点的应用和等差数列的性质，以及一元二次方程的韦达定理的运用，属于基础题 In x1010 .函数y的图像大致为()x第5 5页共 1616 页【考点】 两角和与差的正余弦公式【答案】D D【解析】 【详解】分析：禾U用详解：由题意可知，函数

9、In x y一的定义域为(，0)U (0,),x且满足f( x)山xIn xx为奇函数，图象关于原点对称，排除 A A、C C ；又x 0时，y ,1时，y 0，排除 B B,故选 D D.点睛：本题主要考查了函数的基本性质和函数图象的识别问题,着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力.1111.已知sinsin30，则COSB B.【答【解试题分析：sin农+ 4 sin茲茂+岂225=costz匸皿二一sin a, sin八,故选项为 B.B.C C .第6 6页共 1616 页1212 .已知f x3 xx e2ax(e为自然对数的底数)有二个零点，则实数a的取值范围是()2222A

10、A.a2B B.a2C C .2a 0D D .a2eeee【答案】A A【解析】分析：先化简得2 xx e 2a0还有一个非零的根，再利用导数研究函数单调性，结合函数图像确定有一个非零的根的条件，解得实数a的取值范围 详解：因为f x x e 2ax 0，所以x2ex2a 0还有一个非零的根令g(x) x2ex2a g (x) (x22x)ex0 x 0, 2，所以当x 0时g (x)0,g(x)g(0)0,g(x)(2a,)；4当2 x 0时g (x) 0, g( 2) g(x) g(0), g(x) 2a,p 2a；e4当x 2时g(x) 0,0 g(x) g( 2),g(x)(0,飞2

11、a)；e42因此当 2a 0时x2ex2a 0还有一个非零的根；即a ，ee选 A.A.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.二、填空题1313 若命题“x R,x2x a 0”是假命题，则实数a的取值范围是 _1【答案】-,4【解析】根据特称命题是假命题进行转化即可【详解】第7 7页共 1616 页Q命题“x R, x2x a

12、 0是假命题，则命题“x R, x2x a 0是真命题，第8 8页共 1616 页1则n 1 4a 0，解得a -41则实数a的取值范围是丄，4【点睛】本题主要考的是命题的真假判断和应用， 系是解题的关键，属于基础题.2X1414 .过抛物线y焦点F，向圆:8FP _【解析】由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，再利用圆的方程求得圆心和圆的半径, 求出焦点与圆心的距离，利用勾股定理可求得所求的距离【详解】2Xo22由抛物线y得x28y，二焦点F(0,2)，设圆：x 3 y 316的圆心8为Q 3, 3，半径为R 4，则| FQ |、32(2 3)2. 34，-|FP|，、34彳163 2，故答案为

13、：32. .【点睛】熟练掌握一元二次不等式的解集与判别式的关2 2x 3 y 316作切线，切点为P，第9 9页共 1616 页本题考查抛物1515 .设D为ABC所在平面内一点,直线与圆的位置关系,UULTAD1uuu求圆的切线长，属于基础题. .4101UUV AC, 若BC3uuu/DC R,【答案】-3-3【解析】直接利用向量的线性运算求出结果.【详解】D为ABC所在平面内一点UUU/, ,AD1 uuv AB34UUU/-AC,3- -B B, C C,D D 三点共线 若BCuuv DCR ,uuv二ACuuvuuvACuavAD，【详解】第 8 8 页共 1616 页3. .即答

14、案为-3.-3.【点睛】本题考查的知识要点：向量的线性运算及相关的恒等变换问题.a1616 .在VABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若一bcosB，贝 U Ua a的值为_.3b【答案】79a【解析】分析：先根据正弦定理将条件1 2cosC化为角的关系，再根据cosBb求出cosC，代入即得结果 a详解：因为一1 2cosC,sin A 所以12cosCsin(B C)1 2cos Cbsin Bsin BsinC cosBsin B cosCsin B sin(CB) sin B C BB,C 2B.2因为cosB ，所以cosCcos2B 2cos24B 12 11399点睛

15、：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条 件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的 三、解答题1717 已知二次函数f X同时满足以下条件：(1)f 1 X f 1 X；(2)f X的最大值为 8 8;(3)f(X)= O的两根的平方和等于 1010,求f X的解析式 【答案】fX2X24X6【解析】由(1)(1)可知函数 f f(X)关于X 1对称，根据(2)(2)有最大值 8,8,可设2f (X) a(x 1)8和f(x) 0的两根平方和等于 10,10,由此即可求出 f(x)f(x)的解析式 化为：AuU=-=-AEV+ +1 uuvuuu1 u

16、uv4uuv1AC,与AD=- AB+ +4AC,33比较可1解1 2cosC，且第1111页共 1616 页由题意可知，f X的对称轴为x 1,设fx a2x 18 a 0,即f xax22ax a 8, ,令fx 0,即ax22ax a80， 设此方程的两根为 x x,x,x2，则x1x22,彳8%x21 1 -,-,a而为22x2xx222x1x24216a即42少10，则a 2故:fx2x24x 6. .【点睛】此题主要考查二次函数的图象及其性质，还有其解析式的求法，是一道基础题，考查的二次函数的知识点比较全面 . .1818 某房产销售公司从登记购房的客户中随机选取了5050 名客户

17、进行调查，按他们购一套房的价格（万元）分成 6 6 组：50,100,100,150,150,200,200,250,250,300,300,350得到频率分布直方图如图所示 用频率估计概率. .房产销售公司每卖出一套房，房地产商给销售公司的佣金如下表（单位：万元）房价区间50,100100,150150,200200,250250,300300,350佣金收入1 12 23 34 45 56 6（1 1）求a的值;第1212页共 1616 页(2)(2) 求房产销售公司卖出一套房的平均佣金；(3)(3)若该销售公司平均每天销售 4 4套房， 请估计公司月(按 3 30 0天计)利润(利润=

18、=总 佣金销售成本) 该房产销售公司每月(按 3030 天计)的销售成本占总佣金的百分比按下表分段累计计算:月总佣金不超过 100100万元的部分超过 100100 万元至200200 万元的部分超过 200200 万元至300300 万元的部分超过 300300 万元的部分销售成本占佣金比例5%10%15%20%【答案】(1 1)a 0.0060(2 2)3.2万元(3 3) 337.2337.2 万元【解析】(1 1)根据频率直方图由500.0008 0.002 0.0024 0.00400.0048 a 1，可求得a;(2)设卖出一套房的平均佣金为X万元，由各房价区间的佣金收入乘以各房价

19、区间的概率再求和可得平均佣金 . .(3) 总佣金减去各房价区间的销售成本之和可得公司月利润【详解】(1) 由50 0.0008 0.002 0.0024 0.0040 0.0048 a 1，得a 0.0060. .(2)设卖出一套房的平均佣金为X万元，则x 1 0.002 50 2 0.004 50 3 0.006 50 4 0.0048 50 5 0.0024 50 6 0.0008 503.2所以房产销售公司卖出一套房的平均佣金为3.2万元；(3) 一个月的总佣金为3.2 4 30384万元，月利润为y 384100 5%100 10% 100 15%84 20%384 46.8337.

20、2万元，第1313页共 1616 页所以公司月利润为337.2337.2 万元. .6第1414页共 1616 页【点睛】本题考查完善频率直方图，根据频率直方图求得平均值和月利润等相关的问题，于明确概率统计的计算原理，将生活实际中的数据转化为数学中的理论数据，属于基础题 1919 .某学生用 五点法”作函数f(x)= Asi n(3X+萼+ B(A 0,的图像时，在列表过程中，列出了部分数据如下表:x0 0223 3222x3712y3 3-1-1(1)(1)请根据上表求f x的解析式;将y f x的图像向左平移个单位，再向下平移 1 1 个单位得到y g x图像,1212若g 6(为锐角)，

21、求f的值 45【答案】(1 1)f x 2sin 2x 1(2 2)8 4 365【解析】 分析：(1)(1)根据最值求出 A.B,A.B,再根据点坐标得，方程组，解方程组得4方关系得sin2-，最后代入f得结果. .5详解：31解：(1 1)B1 , A 3 1223712f x 2sin 2x61. .,(2)(2)根据平移规律得g x，代入g6解得cos245-，根据平5关键在第1515页共 1616 页题目中，所以也必须熟练掌握 无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言. .2 22020已知椭圆 C C：务与1(a b 0)的左、右焦点分别为Fi,F2且离心率为丄2,a b2过

22、左焦点F1的直线 I I 与 C C 交于 A A , B B 两点，VABF2的周长为4,2-1求椭圆 C C 的方程；2当VABF2的面积最大时，求 I I 的方程.2【答案】(1)(1)今y21； (2)(2)x 1. .c【解析】试题分析：1根据椭圆定义及ABF2的周长为4、2得出a 2，利用 e e a知c ea 1，求出b21,进而得到椭圆C的方程；2将三角形分割，以F1F2为底，A、B两点的纵坐标差的绝对值为高表示三角形面积, 运用基本不等式求得结果解析：(1 1)由椭圆的定义知4a 4-、2,a 2, c _由e知c ea 1ab2a2c212所以椭圆C的方程为y212(2 2

23、)由(1 1)知F11,0 ,F21,0,F1F22(2)g x2sin 2 x1 1 2sin2x12 6g42sin 22又为锐角，二sin245f2sin 216c 4,33 12 一15 2526 .-5-cos2352 sin2 coscos2 sin 1668 4.35先平移，后伸缩”但先伸缩，后平移”也常出现在点睛：三角函数的图象变换，提倡第1616页共 1616 页设A Xi, yi, B X2,y2,l：x my 12联立x my 1与工y22坐标差的绝对值，为简化计算，由于直线过横坐标上一定点，故设直线方程2当 a a 0 0 时，三种情况进行讨论，对a进行参变分离，令h

24、x 4ln x x 2x, x 0,对其求导函数，分析其导函数的正负，得出函数的单调性和最值，可求得a的范围. .【详解】44 x(1 1)依题意，当 a a 1 1 时，函数f x的定义域为0,，且f x - 1xx所以0 x 4, f x 0;x 4, f x 0,2 21得到m 2 y 2my 10,y1y22、2 ,m21m22SABF22.2m21m2222.21m21 2当m211,m0时，SABF2最大为 血，l：x 1点睛: 在求过焦点的弦与另一个焦点构成的三角形面积时可以对其分割,转化为两点纵my 12121 .已知函数x 4a In x ax 1. .(1(1)若 a a

25、1 1，求函数f X的单调区间;(2(2)若函数x ax x1在(0,+?)上恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1 1) 函数fX在0,4上单调递增，在4- -上单调递减(2 2)【解析】(1 1) 依题意，当 a a 1 1 时，f x4 x，分析f x的正负，从而得x出函数f X单调区间;(2)由f xax x1，得4a | nx ax22ax 10，分当a0时，当a 0时,第1717页共 1616 页所以函数f x在0,4上单调递增，在 4,4,上单调递减；ax x1，故4aInx ax22ax 10，当a 0时，显然不成立;(2)因为f x第1818页共 1616 页所求a的取值范

26、围是【点睛】本题考查运用导函数研究原函数的单调性，解决不等式恒成立问题中求参数的范围，对不等式进行参变分离，构造新函数，运用求导得出导函数的正负，得出所构造的函数的单调性和最值，是常用的方法，属于常考题，难度题. .2222 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线 C Cx 2cos的参数方程为( (是参数) )，直线I的极坐标方程为y v3sin23. .(1) 求直线I的直角坐标方程和曲线 C C 的普通方程；(2)设点 P P 为曲线 C C 上任意一点，求点 P P 到直线I的距离的最大值.x2v2JT5 4/3【答案】(1 1) L 1； (2 2)154 3432【解析】 试题分析：(1 1)利用极坐标和直角坐标的互化公式把直线 I I 的极坐标方程化为 直角坐标方程.利用同角三角函数的基本关系消去 a 把曲线 C C 的参数方程化为直角坐 标方程.0时，化为:14ln xa2x 2x:0 0 时，化为:x22x:当x4ln x2x, x，则42xx2x22x2x1x2(0,1)时,h (x)0时，x(1, h (x)0在0,1是增函是减函数,h xmax因此不成立，要成立，只要1a3,所以cos第1919页共 1616 页(2 2)设点 P(2cosP(2cos