2020届广东省高三1月大联考数学(理)试题(解析版)

1、【点睛】第 1 页共 21 页2020 届广东省高三 1 月大联考数学(理)试题一、单选题1.乞丄在复平面内对应的点位于()2-iA .第一象限B.第二象限C .第三象限D .第四象限【答案】A【解析】根据复数代数形式的乘除运算计算化简，再根据复数的几何意义判断【详解】6 +i (6+i )2+i ) 11 +8i 11 8.解：因为i,在复平面里所对应的点的坐标为2-i (2 -i )(2+i )55511 8,，位于第一象限，5 5所以 口在复平面内对应的点位于第一象限.2 -i故选：A【点睛】本题考查复数的四则运算及复平面，考查运算求解能力，属于基础题2.已知集合M - x|x2-x -

2、12 Of,N - x| -4：x：5，则M门N =()A.RB.-3,4C.4,5D.-4,-3U4,5【答案】D【解析】 求出集合M，再根据交集的定义运算可得 【详解】解：由X2x -12 0，得X：-3或x 4,M一| x2x -12 0| x：-3或x 4；N =、x| -4：x 5:M PN=切45或4xc3=(4,3)U(4,5).【点睛】第 1 页共 21 页故选：D第3页共 21 页本题考查集合的交集，考查运算求解能力，属于基础题【答案】【详解】2 2的方程为匕=1.109故选：B【点睛】本题考查椭圆的方程与性质，考查运算求解能力，属于基础题4. 2019 年庆祝中华人民共和国

3、成立 70 周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称 强军利刃”强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注，还得到了无数外国人的关注某单位有 10 位外国人，其中关注此次大阅兵的有8 位，若从这 10 位外国人中任意选取【解析】至少有-位关注此次大阅兵的对立事件为恰有-位不关注此次大阅兵，根据对立事件的概率公式计算概率 【详解】33 .已知椭圆C:a b 0的焦距为 2,且短轴长为6，则C的方程为2x yA .82B.102y-.i92 2C.

4、136352 2x x “D.【解依题意可得2c =2,2b =6，根据ab2c2即可求出椭圆的标准方程解：依题意可得2c =2,2b =6，贝U c =1,b=3，所以a2二b2 c20，所以 C3 位做一次采访，则被采访者中至少有2 位关注此次大阅兵的概率为（）7A.15【答案】CB.1514C.152930第4页共 21 页解：从这 10 位外国人中任意选取 3 位做一次采访，其结果为Cw =120个,第5页共 21 页2 1恰有2位不关注此次大阅兵有C2C8 =8个，故选：C【点睛】本题考查排列组合的应用与古典概型，考查运算求解能力，属于基础题5.在四棱锥P -ABCD中，PB =PD

5、 =2,AB =AD =1,PC二3PA=3，则AC二【答案】C【解析】由勾股定理的逆定理可得PA _ AB,PA _ AD，即可得PA _平面ABCD,再由勾股定理计算可得【详解】解：依题意可得，PA2AB2=PB2，则PA_ AB，同理可得PA_ AD因为AB * AD = A, 所以PA_平面ABCD，则PA_ AC因为PC h；?3PA =3 所以AC = 32-、3= . 6.故选：C【点睛】本题考查线面垂直，考查空间想象能力，属于基础题角差的正切公式计算可得【详解】二 二二 二3二二3 10则至少有 2 位关注大阅兵的概率P亠算Co1415B.2/2D.23口5 兀A0=6 .已知

6、0 e |-，且sin 1日 +1=-，贝 U tan B =(2丿14丿104A . 2B.C. 33【答案】A125【解析】 由同角三角函数的基本关系计算可得cos一 一、tan -，再根据两I 4丿I 4丿第6页共 21 页解：因为，一，所以，一，又sin:,14 2丿4124丿I 4丿10第7页共 21 页所以心4晋，贝y tan一l 4丿IH H所以tan v - tan II 4故选：A【点睛】tantanI 4丿41 ta ntanI 4丿4-3-12.1-3本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力，属于基础题7 在平行四边形ABCD中，AB=4,AD=1, - BAD =60 ,

7、DDC，2AE DB=9，1B.-4【答案】B【解析】 根据向量的线性运算及向量的数量积计算可得【详解】解：Q AB =4,AD =1, - BAD =60 ,DE = DC,2AE DB=9tTTT TITT.AE二AD DE二AD AB， DB 二 AB ADAE DB二AD DE AB - ADPAD AB AB -AD=-AD _ (AB? 1 - AB AD9=16 -11 -1 4 cos60 =141，所以故选：B【点睛】本题考查平面向量的数量积，考查运算求解能力，属于基础题8 我国古代数学名著九章算术里有一个这样的问题:今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百 问人数

8、、金价几何？ ”为了解决这个问题，某人设计了如图所示的程序框图，运行该程序框图，则输出的x,y分别为（）第8页共 21 页X,y是方程组y _ 3O00 x_30的解，解方y = 400 x -3400y是方程组y = 300 x一100,的解，解此方程y= 400 x 3400可得X=33,y =9800.故选：D【点睛】 本题考查程序框图，考查运算求解能力，属于基础题9 .已知函数f x - -2cosx，若将曲线y = f 2x向左平移衫个单位长度后，得到【答案】根据三角函数的变换规则求得g x的解析式，再根据余弦函数的性质解不等式即可.【详解】结如A. 30,8900B. 31, 92

9、00C. 32, 9500D. 33, 9800【答案】程即可.【详解】【解根据算法的功能，可知输出的解：根据算法的功能，可知输出的x,曲线y=g x，则不等式g(x), 1的解集是(12，kB.k,k二一128，k：D._2-t，2 2k Z【解第9页共 21 页g x二-2cos由g x , 1，得-2cos 2x ,V6丿2k一亍赃x石W , k Z，得f剟k二匸k Z故选：A【点睛】 本题考查三角函数的图象及其性质，考查推理论证能力与运算求解能力10 .现有三条曲线： 曲线y =2ex-2；曲线y二2sin x；曲线y = x3- x - 2.直线y二2x与其相切的共有()A . 0

10、条B. 1 条C . 2 条D . 3 条【答案】D【解析】分别求出函数的导数，根据导数的几何意义一一判断【详解】 解：若f x =2ex-2，则由f x =2ex=2，得x=0,点0,0在直线y =2x上,则直线y =2x与曲线y =2ex-2相切;若f x i=2s inx,则由f x i=2cosx = 2，得x=2k二k Z，当k=0时x = 0, 点0,0在直线y =2x上，则直线y = 2x与曲线y = 2sin x相切；32若f x二x -x-2，则由f x =3x -1=2，得X二1，其中-1, -2在直线y =2x上，所以直线y=2x与曲线y=x3_x_2相切.故选：D【点睛

11、】本题考查导数的几何意义，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于基础题2 211.已知P为双曲线C:卑%=1(a 0,b 0)左支上一点，F1,F2分别为Ca2b2的左、右焦点，M为虚轴的一个端点，若|MP |+ PF?的最小值为F1F2，则C的离解：将曲线y = f 2x向左平移2个单位长度后，得到曲线y = 2cos i 2xJT1，得cos i 2x + I1- 则62，则第10页共 21 页心率为（）A LB.2、6C 纟6D .4.62 2【答案】C【解析】 根据双曲线的定义可得|MP|+PF2MPI+lPR +2a，又|MP | PF.一MFi即可得到关于 e 的方程，解得.【详解

12、】解：|MP|+|PF2=|MP| + PFi|+2aMF.+2a = Jb2+c2+ 2a = 2c,即，2c2- a22a = 2c，化简得2c2- 8ac亠5a2= 0，即2e2- 8e亠5 = 0,解得46或46，所以46.2 2 2故选：C【点睛】本题考查双曲线的离心率，考查化归与转化的数学思想212已知函数f x为偶函数，当X 0时，f X二电x_，则（）f4X2XA.f -2f 9.12f 3“B.f 3皿f 9.1.2f-2C.f -2f 33f 9.143.2D.f 9.r.2f 3皿f-2【答案】DX 121【解析】令g歹-?x-0，则f x=g x4，对g x求导，分析其

13、单调性，再根据指数函数的性质比较9.1亠2，3“.3的大小关系，根据函数的单调性判断大小/.【详解】解:1入x 11，令gx丁？XT,1-xl n22Xx2xr22第11页共 21 页当0,x log2e时，g x 0,g x单调递增;第12页共 21 页当x log2e时，g x : 0,g x单调递减因为g 1 =g 2 =0,所以当0, x : 1时，g x：0,且g x单调递增又0：9.12：9“-34：3皿：1，所以g 9.1皿:：:g 3.2:：: g 1 0,21c1* f X二g X在-:：,0上单调递减，且f xmin：故f 9.1 2f 3.2f -2.故选：D【点睛】本题

14、考查函数的综合应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养，属于难题二、填空题13 上海地铁 11 号线是世界最长的地铁截至2019 年 9 月 28 日，中国已开通地铁的城市有 41 个，按照地铁的全长排名，排在前四名的依次为上海705km、北京637km、广州（478km卜南京（378km ），则这四个城市的地铁全长的平均值为 _km.【答案】549.5【解析】根据平均数的定义计算可得【详解】705 637 478 3782198解：这四个城市的地铁全长的平均值为549.5.44故答案为：549.5【点睛】本题考查统计中的平均数，考查运算求解能力，属于基础题14 .已知3a=12,b =2log

15、32，现有下列四个结论：a =2b，a - b =1:a : 2b:a 3.其中所有正确结论的编号是 _.【答案】【解析】将指数式转化为对数式，再根据对数的运算性质验证【详解】第13页共 21 页解：3a= 12,b = 2log32，得a = log312,b = log34,2b = log316，贝U第14页共 21 页a-b=log33=1,a：2b,a b = log?48 Iog327 = 3.故所有正确结论的编号是.故答案为：【点睛】本题考查指数、对数运算，考查运算求解能力与推理论证能力，属于基础题.15 设a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边已知空3 =c，则cos Bc

16、osCa2c2b的取值范围为ac【答案】才-5oU 0,2【解析】根据正弦定理将边化角，结合两角和的正弦公式可求角C，由余弦定理知a2c2-b2=2cos B，根据余弦函数的性质求出范围ac【详解：因为辿=，所以2a -、一3b cosC = - 3c cosB cosBcosC = 0,cosB cosC所以2sin A -；3sin B cosC二. 3 sin C cos B,即2sin AcosC = ,3sin C B二 一3sin A,又si nA 0,所以cosC二32则 r，因为十,所以B 0于汽,c2ac2 + 2 _&2= 2cosB，故a一-“ 3,0J 0,2.

17、ac故答案为：6 ； 一忌九2；本题考查正弦与余弦定理的应用，考查运算求解能力本题是一个易错题，学生容易忽略cosB不能等于 0，属于中档题.16 设三棱锥P-ABC的每个顶点都在球O的球面上，PAB是面积为.3的等边三角形，ZACB=45 ,则当三棱锥P-ABC勺体积最大时，球O的表面积为 _.【答案】28-3第15页共 21 页【解析】由题意可求AB =2，故当CA=CB且平面PAB_底面ABC时，三棱锥P-ABC的体积最大分别求出.：PAB和.ABC外接圆的半径，即可求得外接球的半径 与表面积【详解】解：如图，由题意得 上3 AB1 2= 3，解得AB =2.4当CA = CB且平面PA

18、B_底面ABC时，三棱锥P - ABC的体积最大.分别过.PAB和ABC的外心作对应三角形所在平面的垂线，垂线的交点即球心0,设PAB和ABC的外接圆半径分别为ri，D，球0的半径为R，1证明：MN/平面CDE.2求直线AM与平面CDE所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析2则,r2二2.2 sin 45第16页共 21 页=2 -=-，球0的表面积为4二R2二一二3333【点睛】本题考查三棱锥的体积与球体的表面积，考查空间想象能力与运算求解能力，属于难题三、解答题17如图，在直三棱柱ABC -DEF中，BAC =90，ACB =30，BE = BC = 2，M,N分别是BE,AC的中点.第

19、17页共 21 页(2)竺14【解析】(1)取CD的中点0，连接NO,EO，可证四边形MEON是平行四边形, 即得MN二EO，即可证明线面平行(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角的正弦值【详解】解：(1 )证明：取CD的中点0，连接NO，E0. N是AC的中点，二NO AD二ME.M是BE的中点， NO =ME,二四边形MEON是平行四边形，-MN二EO. EO二平面CDE,MN二平面CDE,- MN/ 平面CDE.(2)解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. BAC = 90,ACB二30, DE = AB =1,DF=AC =3, 则D 0,0,0,E 1,0,0

20、,C0,、3,2,A 0,0,2,M 1,0,1, 则DE =1,0,0,DC N0, .3,2.设平面CDE的法向量为n = x, y, z,则n -DE = nDC = 0，即x - 3y 2z = 0,令y =2,则z =-、一3，得n二0,2,-、一3. 设直线AM与平面CDE所成角为二， AM二1,0,-1,LAM叩 _ _ _ -|AM |n| -2714，.342sin日=cos( AM , n故AM与平面CDE所成角的正弦值为4214第18页共 21 页【点睛】本题考查线面平行的证明，线面角的计算，考查空间想象能力， 计算能力，属于中档题._ 2 2a1=1 2,ana* 11

21、 = 2a“ 1a,bn(1)求数列；bn?的通项公式；r211(2)求数列an2的前n项和Sn.IanJ【答案】(1)bn=2n-bn 12bn.又 bi =2 ,CbnI是首项为 2,公比为 2 的等比数列,从而bn= 2n.(2)4n 16n -43【解析】(1)根据递推公式可得n项和Sn.- an 11an 1=2anan18 .在数列 0 中,an第19页共 21 页丄=4n2,an123n=42 42 42 |l| 42N41424HI 4n2n4 1 -4n2n1-44n 16n _4-3【点睛】本题考查等比数列的通项公式以及求和公式，属于中档题2佃.已知直线x = 2p与抛物线

22、C:y =2px p 0交于p,Q两点，且POQ的 面积为 16 (O为坐标原点).(1) 求C的方程.(2) 直线|经过C的焦点F且I不与x轴垂直，|与C交于A,B两点，若线段AB的AB垂直平分线与x轴交于点D，试冋在x轴上是否存在点E，使- 为定值？若存在，DE求该定值及E的坐标；若不存在，请说明理由 .【答案】(1)y2=4x(2)存在，1,0【解析】(1)将X =2p代入y2=2px，得y=2p，即可表示出POQ的面积，计算可得p.(2) bn二an -an an-丄=2n,an1an -an=4n, Sn-42n第20页共 21 页(2)设直线|的方程为 y 二 k x -1 k =

23、0 ,联立直线与曲线方程， 根据焦点弦长公式计 算出| AB|，求出线段AB的垂直平分线与x轴交于点D的坐标，设E(t,0)，贝卩DE可用第21页共 21 页【详解】解：(1)将X = 2 P代入y2=2 px，得y因为p 0，所以p = 2, 故C的方程为y2=4x.(2)由题意设直线I的方程为 y 二kx11y二ki. X-1,2 222由2得k x -12 k4 x k = 0.y =4x,2设A x1,y1，B X2, y2，则x1x2=2k 42所以| AB | = % x2p =4k24k22令y=o，得x=32，所以D的横坐标为3 ，kkAB4k2+4DE2(3-1 )k +2坐

24、标为1,0.所以当且仅当3-t =2，即t =1时,ABDE为定值，且定值为 2，故存在点E,且E的含t，k的式子表示，即可分析当t为何值是ABDE为定值.12所以=POQ的面积为2p 4p=4p-16.k2因为线段AB的中点的横坐标为为x22k2p，纵坐标为所以线段AB的垂直平分线的方程为k2+2设E (t,0，则DE(3-1 )k2+2k2第22页共 21 页【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，直线与抛物线的综合应用问题，属于中档题20 某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生第23页共 21 页交通拥堵，交警部门记录了 11 月份 30 天内的拥堵情况（如

25、下表所示，其中表示拥堵,O表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30 天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率 .111.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.111.1.23456789101112134151东入OOOOOOO口西入OOOOOOOO口南入OOOOOOOOOOOO口北入OOOOOOOOOOO口111.111.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.11.1.61718192021222324252627282930东入OOOOOOOO口西入OOOOOOO口第24页共 21 页南入口OOOOOOOOO

26、OOO北入口OOOOOOOOOOOOO（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为m（135：m：175，且m = 140）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200 元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由.1【答案】（1）-5（2）当

27、135：m 140时，应该选择方案一；当140：m：175时，应该选择方案二【解析】（1）根据所给数据利用古典概型的概率公式计算可得（2）计算出方案二聘请交通协管员的日总费的期望值，结合方案一比较分析【详解】解：（1）将东、西、南、北四个主干道入口发生拥堵的情况分别记为事件（2）对于方案二，设四个主干道聘请交通协管员的日总费用为则X的可能取值为 0，400，800，1200，1600.151P A=PBP C；= P D630第25页共 21 页P X -0 =(1、2(工1 _!_P 112y15161001、L L ( (1、2(1、21 ( 11R(X X 1 -121525 152用，

28、100第26页共 21 页21 1 P X =1600 =12丿(5丿100164033101故E X U040080012001600560元.100100100100100对于方案一，四个主干道聘请交通协管员的日总费用为4m元，当135：m :：: 140时，4m：560，应该选择方案一;当140：m : 175时，4m 560，应该选择方案二【点睛】本题考查古典概型的概率计算问题，以及离散型随机变量的分布列、期望的计算，属于 中档题tIn x21 .已知函数f X :X(1)若对任意0,f x2: kx恒成立，求k的取值范围;1(2)若函数g x；= f xm有两个不同的零点X1，X2，

29、证明:x(2)证明见解析【解析】(1)参变分离，由f x2: kx对任意x0,二：恒成立，得意0：恒成立.令h x二2器，利用导数求出h x的最大值，即可求出k的x取值范围.(2)若函数g(x)的两个零点为，X2，不妨设设 刘：X2，根据函数的单调性可得1x1: 1X2，要证X1X22，即证X2 2 - x只需证明gX2g 2 - N由eg X1=g X2，只需证明g为g2-为.令mx = g x g2 x,1丄,1，求导分析函数的单调性，进而可得：X1X22.e【详解】P X =800|1 -2 2f 1 1 L 4 )+ 2丿 2 丿122( (+2X+2X - -辽丿2c 匚4)4x 2

30、汉1卜：-510033-?P X =1200 =-辽丿I 5丿511 2 JI 2丿2 15丿2c 102 =-100X|x22.第27页共 21 页:kx对任意0,=恒成立，得k2lnrx对任意x 0, :恒递减2则k3e，即k的取值范围为ln x +1ln x(2)证明：设捲次2,g x二-m，则gx；=呼xx在0,1上，g x 0,g x单调递增；在 1,亠j上，g x : 0,g x单调递减=-m，当x时，g x -m，且g x厂m,1 二0 . m：1,Xi: 1：X2,e要证x1x2 2,即证X2 2 - X1Tx21,2 1,g x在 1,=上单调递减,只需证明g X2: g 2

31、-X1由g X1=g X2，只需证明gN: g2-为令m(x)=g(x)g(2x ),厂,1 :Ve丿In x ln (2x)m x2厂x(2-x)2(1)解：由f x成立人2ln x令h x -x则h x/3lnxx令h x =0，则ix =e30,h x单调递增；在ie2,:上，h x -.0,h x单调/ 1、h(xhax=he323e，(1) g 1 =1 -m , g -.ej第28页共 21 页Tx-,1，-lnx 0，宀2，第29页共 21 页mx在1, 1上单调递增, m x : m 1 =0,即m x : 0, x1x22.【点睛】本题考查的知识点是函数恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，最值，函数零点的 存在性及个数判断，难度中档.x = 1 3t,l的参数方程为(t为参数).=a +4t4(1) 若a，求C与I的普通方程；3(2)若|与C有两个不同的公共点，求a的取值范围.【答案】(1)C的普通