2020届上海市普陀区高考一模数学试题(解析版)

1、第1页共 18 页2020届上海市普陀区高考一模数学试题一、单选题1.“m 1,2是In m 1”成立的（）A 充分非必要条件B.必要非充分条件C充要条件D 既非充分也非必要条件【答案】A【解析】先求出命题所对应的集合，讨论集合之间的包含关系，得出结论.【详解】解：Q lnm 1 ,0 m eQ1,2u（0,e）,m 1,2”是“nm 1 ”成立的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考查解不等式，简易逻辑，属于基础题.2.设集合A x|x a 1 ,B1, 3,b，若A?B，则对应的实数对（a,b）有（）A .1对B.2对C .3对D .4对【答案】D【解析】 先解出A，再讨论包含关系（注意

2、集合元素互异性），解出数对.【详解】解：因为集合 A x|x a| 1,所以 A a 1, a 1,因为 B 1 ,3, b , AB ,所以a 11，或 a 13，或a 1 b,当a1 1时，即a 2, A1,3,此时可知 B 1 ,3,3，成立,即a2,b 3；当 a13 时,即a 2,A 3 ,0，此时可知 B1 ,3,0， 成立即a2,b 1;当a 1 b时，则a 11或 3:第2页共 18 页当a 11时， 即a0, A 1,1, 此时可知 B 1 ,3,1，成立,即a0,当a 13时，即a4, A 5 ,3，此时可知 B 1,3, 5，成立，即a 4,b 5；综上所述：a 2,b

3、3，或a 2,b 1，或a 0,b 1，或a 4,b 5,共 4 对.故选：D.【点睛】本题考查集合关系，综合集合元素互异性，属于基础题.3 .已知两个不同平面，和三条不重合的直线a,b,c，则下列命题中正确的是()A .若a/,I b，则a/bB .若a,b在平面 内，且c a,c b，则cC .若a,b,c是两两互相异面的直线，则只存在有限条直线与a,b,c都相交D .若 ，分别经过两异面直线a,b，且c，则c必与a或b相交【答案】D【解析】直接利用定义和判定定理的应用求出结果.【详解】解：对于选项A:若a/,I b，则直线a也可能与直线b异面，故错误.对于选项B:只有直线a和b为相交直线

4、时，若c a,c b，则c.故错误对于选项C:若a,b,c是两两互相异面的直线，则要么存在一条直线或不存在直线与a,b,c都相交.故错误对于选项D：若 ，分别经过两异面直线a,b，且c，则c必与a或b相交，正确.故选：D.【点睛】本题考查的知识要点： 立体几何中的定义和判定的定理的应用，主要考查学生对定义的理解能力，属于基础题.2xy114.若直线I:1经过第一象限内的点P(),则ab的最大值为()2b a a ba b第3页共 18 页B. 42.2C.5 2、.3D.6 3,2【答案】【解析】直线l:2?-丄 1 经过第一象限内的点a a bP(!,a2a(2b a)1b(a b)1 .

5、ab ab(-)a (2b a) b(a b)g(t) -2t12t(t0）再利用基本不等式计算可得.【详解】解：直线2x1：2b a1经过第一象限内的点0， a(2b2a)1b(ab)1.ab2ab(a(2b a)b(a b)2b2b2 ba_b1bt 0, g(t)2t2t 12t1 2t 12t221 4t2t23t 1t2t23t 12t因为 2t2.2，当且仅当2t1一即tt时取最小值;2t 3max4 22故选:【点睛】本题考查了直线方程、换元法、基本不等式的应用, 考查了推理能力与计算能力，属于中档题.2第 4 页共 18 页、填空题215若抛物线y2mx的焦点坐标为（,0），则

6、实数m的值为2【答案】2【解析】直接由抛物线方程写出焦点坐标，由题意得求出【详解】解：由抛物线方程得：焦点坐标-,0 ,4故答案为：2.【点睛】本题考查抛物线方程求出焦点坐标，属于基础题.【答案】【详解】故答案为：3【点睛】 本题考查数列极限的运算法则的应用，属于基础题.17 .不等式一1的解集是X【详解】11 x依题意丄10,0 x x 10，解得0Xx0,1.【点睛】 本题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题18.设i是虚数单位，若Z肓ai是实数，则实数a1【答案】丄【答案】(0,1)【解析】将分式不等式转化为一元二次不等式来求解m的值.6.limn3n12n

7、3n1【解利用数列的极限的运算法则化简求解即可.解：limnn 1 n32n313lim -n1x1，故原不等式的解集为第5页共 18 页【解析】 将 Z 化简为x yi的形式，根据 z 为实数，求得a的值.【详解】.11. . 1 aii ai22 20,a【点睛】 本小题主要考查复数的除法运算，考查复数为实数的条件，属于基础题9 设函数f(x) loga(x 4)(a 0且a 1)，若其反函数的零点为2，则a _【答案】2【解析】 根据反函数的性质可得，函数f (x)过(0,2)代入求出即可.【详解】解：函数 f (x) loga(x 4)(a0 且a 1)，若其反函数的零点为 2,即函数

8、 f (x)过(0,2),代入 2 loga(0 4) , a24 解得 a 2(a0),故答案为：2 【点睛】考查函数与反函数的关系，对数的运算，属于基础题.1 -10 (13)(1 x)展开式中含x2项的系数为 _ (结果用数值表示)x【答案】9【解析】求出(1 x)6展开式中的常数项和含X2项，利用多项式乘多项式得答案.【详解】解:Q(1 2)(1 x)6(1 x)64(1 x)6xx二项式(1 x)6的展开式中，通项公式为 Tr 1c6ax)rC6g 1)rgxr,16分别取r = 2, 5,可得(13)(1 x)6展开式中含x2项的系数为：x2255(1)g6( 1)gC69 故答案

9、为：9 【点睛】本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题，属于基础题.依题意za - i，由于 z 为实数，故2第6页共 18 页*211.各项都不为零的等差数列an(n N)满足a22as3a100，数列bn是等比数列，且a8bs，则bqbgbii【答案】83b4bgb11bss.故答案为：&【点睛】于中档题.【解析】由已知等式结合等差数列的通项公式求得as，再由等比数列的通项公式结合asbs求解 b4b9bn的值.【详解：各项均不为 0 的等差数列an满足 a22as23aio2a d 2(a17d)3 佝 9d)0，化为：37d2 as,Q数列bn是等比数列，且 bsas2 ,本题考查了

10、等考查了推理能力与计算能力，属12 设椭圆2-2y21 a 1，直线l过a的左顶点A交y轴于点P，交 于点Q，若AOP是等腰三角形(0为坐标原点)，ULUUlT【答案】2、.5【解析】如uurUITA( a,0), P(0, a) 根据PQ2QA,可得xo,y。.代入椭圆 方程解得a，即可得出.【详解：如图所示，设Q(Xo, yo)，由题意可得：A( a,o), P(0, a).uuuQPQuir2QA，(X),yoa) 2( a xo,yo),Xo2a3ay03第7页共 18 页代入椭圆 方程可得：4-1，解得a 5.99的长轴长2,5故答案为：2 5【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质

11、、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.13.记a,b,c,d,e, f为1,2,3,4,5,6的任意一个排列，则a b c d e f为偶数的排列的个数共有_.【答案】432【解析】 若(a b)(c d)(e f)为偶数的对立事件为“a b)(c d)(e f)为奇数”即(a b)、(c d)、(e f)全部为奇数，根据计数原理计算其个数，由a,b,c,d,e ,f为 1 , 2, 3, 4, 5, 6 的任意一个排列，共有A种，进而可得所求.【详解】解：根据题意，a,b,c,d, e,f为 1, 2, 3, 4, 5 , 6 的任意一个排列，6则共有A720个排列，若(

12、a b)(c d)(e f)为偶数的对立事件为(a b)(c d)(e f)为奇数”(a b)、(c d)、(e f)全部为奇数，有 6 3 4 2 2 1 288 ,故则(a b)(c d)(e f)为偶数的排列的个数共有 720 288 432 .故答案为：432.【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，考查分析解决问题的能力，属 于中档题.第8页共 18 页2 214已知函数f x X +8x 15 ax bx c a,b,c R是偶函数，若方程ax2bx c 1在区间1,2上有解，则实数a的取值范围是 _.1 1【答案】，8 3【解析】由 f (x)是偶函数，图象关于

13、y轴对称，可知，3， 5 是ax2bx c 0的两个 根，根据方程的根与系数关系可求得a，b，c的关系，然后结合二次函数的性质可求a的范围.【详解】2 2解：Qf(x) (x 8x 15)(ax bx c)是偶函数，图象关于y轴对称，令x28x 15 0可得，x 3或x 5,根据偶函数图象的对称性可知，3, 5 是ax2bx c 0的两个根，8bc 15aa15cb 8aa由ax2bx c1可得，ax28ax 15a1,Q x1,2时, x28x 153,8 ,a11 12x28x 158 31 1故答案为：8,1【点睛】本题主要考查函数解析式的求解以及不等式的求解,解析式是解决本题的关键.1

14、5.设P是边长为2 2的正六边形A1A2A3AHA5A6的边上的任意一点，长度为4的线段UUUU UULT ，+卄* ,MN是该正六边形外接圆的一条动弦，则PM PN的取值范围为 _ .【答案】6 4 ,6,8+8、一2根据函【解亠UUUL UUIT关键把PM gPN转化为含定值的形式，取MN的中点，再由Q的轨迹，可求第9页共 18 页UUU得PQ的最大值与最小值，进而可求得取值范围.【详解】第10页共 18 页解：设正六边形外接圆的圆心为0,正六边形A1A2A3A4A5A6的边长为2 2,所以半径为2,2，设MN的中点为Q，贝UULLU1UUUPMgPNUJU UIUU UUUUUr (PQ

15、QM)gPQ QN)JUU2PQuurUUUUPQg(QMuurQN)UUUuuirQMgQN，UJUUUUUUUTUULUuurUJUUuur因为QM与QN为相反向量，所以PQQQMQN)0 , QM gQN4 ,所以PMlgpN PQ24，因为|0Q|2. 2 2 222，所以Q在以0为圆心，以 2 为| PQ |max2 22，|PQ|min、62，故答案为：6 42,8 8/2【点睛】本题主要考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题.16 若M、N两点分别在函数y f x与y g x的图像上，且关于直线x 1对称，则称M、N是y f x与y g x的一对 伴点”(M、N与N、M视为

16、相寸2 x x 2同的一对)已知f X：-2，g x x a 1，若yfx与(4 x 4 x 2y g x存在两对 伴点”,则实数a的取值范围为 _ .【答案】3 2 .2/1+2、一2【解析】 求出 f(x)关于直线x 1的对称图象所对应的函数解析式h(x)，画出图形，UUUIDUUU11112PQ4的最大值为88、2，最小值为6 4、.2，UUUn ULLT所以PM gPN的取值范围为6 4.2,88.2半径的圆上，第11页共 18 页再由函数图象的平移结合新定义求解实数a的取值范围.第12页共 18 页【详解】 解：设曲线y f(x)关于x 1的对称图象上的点为(x,y) , (x,y)

17、关于x 1的对称点为(x,y),由图可知，要使y f (x)与y g(x)存在两对 伴点”需要把 g(x) |x a| 1 向左平 移.则a 0，设直线 y (x a) 1，即 x y a 10 ,由圆心(2,0)到直线的距离为2,得1 2：1|2，解得 a 3 2 2 或a 3 2.2(舍)；设直线 y (x a) 1，即 x y a 10 ,由圆心(2,0)到直线的距离为 2,得12:1|2，解得 a 12 2 或 a 1 2 2 (舍)要使y f (x)与y g(x)存在两对 伴点”则实数a的取值范围为32、，2,+2、2故答案为：3 2、一2,+2、2【点睛】h(x)x， y y，代入

18、f (x).x(x 0),4 (x 2)2(x, 0)2)，得4 (x 4)2(x-2)0)或向右(a 0)平移|a|个单位得到第13页共 18 页三、解答题17 .如图所示的三棱锥P ABC的三条棱PA,AB,AC两两互相垂直,uur uuurAB AC 2PA 2,点D在棱AC上，且AD= AC(0).2(2)当三棱锥D PBC的体积为2时，求 的值.9(1)PDE 323(1)作DE /CB，交AB于E，连结PE，则异面直线PD与BC所成角为1由此能求出当时，异面直线PD与BC所成角的大小.21(2) 由VDPBCVPh，能求出结果.3【详解】1解：(1)当=时，ADDC，取棱AB的中点

19、E，连接ED、EP,2则 ED/BC，即PDE是异面直线PD与BC所成角或其补角，又PA,AB,AC两两互相垂直，则PD DE EP 2，即PDE是正三角形，则PDE.则异面直线PD与BC所成角的大小为33本题主要考查对新定义函数的图象和性质应用,中档题.考查数形结合和转化的数学思想，属于【答案】(2)【解析】第14页共 18 页令t 2x，则t25t 40，即1 t 4, 即0 x 2，则所求的不等式的解为(0,2).(2)任取2 Xix2，因为函数f (x) 2x2xa在区间2,+上单调递增，(2)因为PA,AB,AC两两互相垂直,PA平面PAC,AC平面PAC,PAI AC A所以AB平

20、面PAC,则VD PBCVB PDC3AB SPDC1PADC21DC -,39口2uuiruur2即DC,又AD = AC(0),AC 2，贝y33【点睛】本题考查异面直线所成角的大小的求法，考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题.18 设函数f x(1)当a4时，解不等式f x 5；(2)若函数f x在区间2,+上是增函数，求实数a的取值范围【答案】(1)(0,2)(2)16,)(2)禾U用函数的单调性的证明过程， 设任取2x-iX2所以f(xj2,+上恒成立，则2x12x1a 2x2+2x2a0恒成立，参变分离即可求解【详(1)当

21、a4时，由2x5得2x4 2x5 0,第15页共 18 页所以f(xi) f(X2)0在2,+上恒成立，则2xi21a 2x2+2x2a 0恒成立，Qx1Qx2a即2为2x+a2?r|-0，22x21 +厂0，又 xix2，则2xi2，即a 2厂2对2 x,X2恒成立，又2xi x216，即a 16，则所求的实数a的取值范围为16,).【点睛】本题考查的知识要点： 不等式的解法及应用， 换元法的应用，函数的性质单调性的应用， 主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题.19某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车

22、场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，AOB=60，设(1)求停车场面积 S 关于 的函数关系式，并指出的取值范围；(2)当 为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值(精确到0.1平方米)【答案】(1)S 2400.3 sin sin(600),0o60o(2)当30o时，停车场最大面积为1039.2平方米【解析】(1)由正弦定理求得ON，再计算停车场面积S关于 的函数关系式;(2)化简函数解析式S，求出S的最大值以及取最大值时对应的值.【详解】第16页共 18 页解：(1)由平行四边形OMPN得，在OPN中，ONP 120,OPN 6

23、0即ON 40、3 sin(60),PN=40.、3sin,则停车场面积S ON PN sin ONP 2400、3sin sin(60),即S 2400.3 sin sin(60)，其中060.i(2)由(O得S 2400、.3sin sin(60) 2400.3sin ( cs sin ),即S 3600sin cs 1200、一3sin2=1800sin 2600、3cos2 600、3，则S 1200一3 sin(230) 600、3.因为060，所以302 30150，则2 3090 时，Smax1200、3 1 600、3 600,3 1039.2平方米.故当30时，停车场最大面积

24、为1039.2平方米.【点睛】本题考查了三角函数模型的应用问题，也考查了运算求解能力，属于中档题.2 220.已知双曲线：笃占1(a 0,b 0)的焦距为4，直线l :x my 4 0a b(m R)与 交于两个不同的点D、E，且m 0时直线l与 的两条渐近线所围 成的三角形恰为等边三角形 .(1) 求双曲线 的方程；(2) 若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；(3) 设A、B分别是 的左、右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P, 交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.2【答案】(1) y213(2)( .3,主)u(卫八3)33(3)证明见

25、解析ONsin OPNOPsin ONPPNsin PONON，即sin(6060 PNsin 120sin第17页共 18 页【解析】（1）求得双曲线的c 2,由等边三角形的性质可得a,b的方程，结合a,b,c的关系求得a，b，进而得到双曲线的方程；（2） 设 D（x，yi），Eg，y2），联立直线x my 4 0和x23y23，应用韦达1定理和弦长公式，设DE的中点为F，求得F的坐标，由题意可得|0F | |DE |，应2用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得A，B的坐标和P的坐标，求得BD的垂直平分线方程和AD的方程，联立 解得Q的坐标，求出|XPXQ|，即可得证.【详解】解

26、：（1）当m 0直线I : x 4与C的两条渐近线围成的三角形恰为等边三角形,x my由根据双曲线的性质得，占tan230oa21，又焦距为4，则3b24，解得a. 3,b 1，则所求双曲线2的方程为3(2)设D(x1, y1),E(x2, y2)，由得（m23)y28my130,则y1y28m3 m2132m3，且64m252( m223)12(m13)0,又坐标原点O在以线段DE为直径的圆内，则ujurODuuuOE 0，即x2y“2即(my14)( my24)y“20，即4m(y1丫2）(m21阳16 0,2 2则13m13 8mm23m216 0,2即3m 5m230，则.3,即实数m

27、的取值范围(.3,u（3）（3）线段PQ在x轴上的射影长是XPXq.设D(x,y)，由(1)得点B(J3,0),第18页共 18 页又点P是线段BD的中点，则点P（X03,北）,2 2(3)1和 2第19页共 18 页即x 3(x ,3)，即点Q的横坐标为2xo3，【点睛】本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题.直线BD的斜率为Xoyo,3yo，直线AD的斜率为-=，又 BD PQ，Xo3则直线PQ的方程为yo23Xo(xXoYOr1)，即y3xowxo3-x -Yo2yoyo1，又直线AD的方程为yy(x-、3)，联立方程Xo”3:;3 xoxo3Xyo2 yoYO2消去y化简整理，得_23(3 Xo)x2YO2代入消去yo?，得(、_3xo)x2(x。23)33(xoyo(3x(x-3xo(x , 3)，又.3)(x .,3),2yo2Xo则XpXqXo3 2x032.故线段PQ在x轴上的射影长为定值4(3)1和 2第20页共 18 页21.数列an与bn满足a!a ,bnan 1an,Sn是数列