2020届江苏省苏州市高三上学期期末考试数学

1、12020届江苏省苏州市高三上学期期末考试数学数 学（满分 160 分，考试时间 120 分钟）2020. 2参考公式：锥体的体积 V = gsh,其中 S 为锥体的底面积，h 是锥体的高.3球的体积 V = 4nr3,其中 r 表示球的半径.3一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.1. 已知集合 A = x|x 1, B = 1, 0, 1, 4，贝 U A A B =_ .2. 已知 i 是虚数单位，复数 z= （1 + bi）（2 + i）的虚部为 3,则实数 b 的值为_ .3从 2 名男生和 1 名女生中任选 2 名参加青年志愿者活动，则选中的恰好是一男一

2、女的概率为_ .4.为了了解苏州市某条道路晚高峰时段的车流量情况，随机抽查了某天单位时间内通过的车辆数，得到以下频率分布直方图（如图）.已知在5 , 7）之间通过的车辆数是 440 辆，则在8 , 9）之间通过的车辆数是 _ .（第 4 题）ft23（第 5 题）5如图是一个算法流程图，若输入的x 值为 5,则输出的 y 值为_ .6.已知等比数列an中，ai0，则aiva2”是a3Va5”的_条件.（填充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要”）x2v2、Fi, F2是双曲线2=1(a1(a0 0,b 0)的左、右焦 a b点，点 P 的坐标为（0,b b）.右/F FiP

3、F2= 120,则该双曲线的离心率为 _x 0,8.若 x, y 满足约束条件 x y0)的图象在 y 轴右侧的公共点从左到右依次为A1, A2,若点 A1的横坐标为 1,则点 A2的横坐标为12.如图，在平面四边形 ABCD 中，已知 AD = 3, BC = 4, E, F 为 AB , CD 的中点，P,Q 为对角线 AC , BD 的中点，贝 U PQ EF 的值为_.13._已知实数 x, y满足 x(x + y) = 1 + 2y2，则 5x2 4y2的最小值为 _3a|f(x)| + 2a2= 0 恰有 5 个相异的实根，则实数a 的取值范围是 _ .二、 解答题：本大题共6 小

4、题，共 90 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分 14 分)3已知向量 a= (sin x , 4), b= (cos x, 1).x 2).若关于 x 的方程 f2(x)ex，5(1)当 a II b 时，求 tan 2x 的值;n(2)设函数 f(x) = 2(a+b) b,且 x (0,-),求 f(x)的最大值以及对应的x 的值.16.（本小题满分 14 分）如图，在三棱柱 ABCAiBiCi中，CA = CB, D, E 分别是 AB , BiC 的中点. 求证：DE /平面ACCiAi;（2）若 DE 丄 AB，求证：AB 丄 BiC.i7.（本小

5、题满分 i4 分）为响应“生产发展、生活富裕、乡风文明、村容整洁、管理民主”的社会主义新农村建 设，某自然村将村边一块废弃的扇形荒地（如图）租给蜂农养蜂、产蜜与售蜜.已知扇形AOB中，/ AOB = OB = 2 3（百米），荒地内规划修建两条直路AB , 0C,其中点 C 在 AB 上3（C 与 A , B 不重合），在小路 AB 与 0C 的交点 D 处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区设/BDC =0,蜂巢区的面积为 S（平方百米）.6（1）求 S 关于0的函数关系式；（2）当0为何值时，蜂巢区的面积 S 最小，并求此时 S 的最小值.618.(本小题满分 16

6、分)如图，定义：以椭圆中心为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅圆”过椭圆第一象限内一点 P 作 x 轴的垂线交其“辅圆”于点 Q,当点 Q 在点 P 的上方时，称点 Q 为点 P 的“上 辅点” 已知椭圆 E： a2+ b2= i(ab0)上的点(1, -23)的上辅点为(1,3)(1) 求椭圆 E 的方程；1(2) 若厶 OPQ 的面积等于 2,求上辅点 Q 的坐标；(3) 过上辅点 Q 作辅圆的切线与 x 轴交于点 T,判断直线 PT 与椭圆 E 的位置关系，并 证明你的结论.719.（本小题满分 16 分）已知数列an满足 2Sn= nan+ ai, a3= 4，其中 Sn是数列an的前

7、 n 项和.（1）求 ai和 a2的值及数列an的通项公式；11 1 1*设T Tn=齐+冇+齐+ R（n nN N）1若 Tk= T2T3，求 k 的值；2求证：数列Tn中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积.820.(本小题满分 16 分)已知函数 f(x) =a+ln X(a R).X(1)求函数 f(x)的单调区间；当函数 f(x)与函数 g(x) = In x 图象的公切线 I 经过坐标原点时，求实数 a 的取值集合；(3)求证：当 a (0, 时，函数 h(x) = f(x) ax 有两个零点 xi, X2,且满足+ 2xix2a92020届高三模拟考试试卷数学附加题（满分 4

8、0 分，考试时间 30 分钟）21.【选做题】 在 A , B, C 三小题中只能选做两题，每小题 10 分，共 20 分.若多做, 则按作答的前两题计分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.A.（选修 42 :矩阵与变换）,1 a. c 2a b已知矩阵 M =的逆矩阵为 M =，求矩阵 N=的特征值.b 10 dcdB.（选修 44:坐标系与参数方程）x=cos0,在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A（1 , 0）, P 为半圆 C:（0为参数，00y=sin0n）上的点，AP 的长度为n3 .以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求点 P 的极坐标；（2）求

9、直线 AP 的极坐标方程.C.(选修 45:不等式选讲)若 x ( 5, 4)，求证： 5 + x + 8 2x 3 3.10【必做题】 第 22, 23 题，每小题 10 分，共 20 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在长方体 ABCDAiBiCiDi中，已知 DA = 4, DDi= 6, DC = 6, E 为棱 BC 的 中点，F 为线段 DiE 的中点，G 是棱 AB 上的一个动点(包含端点).(1) 若 G 为 AB 的中点，求异面直线 FG 与 DE 所成角的余弦值；(2) 若二面角 GDFE 的平面角的余弦值为 请，求点 G 的位置.23.已知 f

10、(n) = ( 2- i)n, n N*.(i)若 f(5) = a+ b . 2,其中 a, b Z,求 a+ b 的值；求证：对任意的正整数n, f(n)可以写成.m m- 1 的形式，其中 m 为正整数.112020届高三模拟考试试卷（苏州）数学参考答案及评分标准6.充分不必要7. -2 8. 3 9.16（1）472 4110. m 0, yo0.因为点 P, Q 分别在弓+ y2= 1 与 x2+ y2= 4 上, 所以 x2+ 4yo= 4, xo+ yQ= 4,解得 yQ= 2yo.141xoyoSOPQ= 2 Xo|yQ yo|= 21将 yo=代入 x0+ 4y0= 4 后，

11、得到(x2 2)2= 0,X0由 Xo 0 可知 X0= .2,即有 P(.2,三2 2)，所以 Q(.2,2). (9 分)(3)直线 PT 与椭圆相切.证明：由可设 P(XO,yo), Q(XO,2yo)，其中XO0, yo0.Xo24 c、由 QT: y =厂 x+, T(, 0).2y0yoX02 2由(1)(1)得S Sn= T =n(nn(n1)1)所以 s+n = n (n + 1) ,( (7 分)因为12,所以 Xoyo= 1.(6 分)15所以直线PT的方程为y=4y0(x X；)=盘(4 xx0). (12 分)x2+ 4y2= 4,1联立方程组1得 x22(16 + x

12、2x0 8xx0)= 4,y=亦(4 4xx0),4y4y0即(时)八等+守=0.(14 分)因为 x2+ 4y2= 4, 所以x x2 2yfyf+审=0 0，即(x(x- X。)2= 0，得到 X = X0.综上可知，直线 PT 与椭圆相切.(16 分)19.解：(1) n = 2 时，2S2= 2a2+ a1= 2(a1+ a2)，所以 a1= 0.n= 3 时，2S3= 3a3+ a1= 12,所以 a1+ a2+ a3= 6,所以 a2= 2.(2 分)由2S2Sn= nan+ a1= nan，所以 2Sn+1= (n + 1)an+1.由一得2a2an+1= (n + 1)an+1

13、 nan, 即卩 nan= (n 1)an+1.(4 分)当 n2 时，(n 1)an-1= (n 2)an，由一得(n 1)an+1+ (n 1)an-1= 2(n 1)an, 即卩 an+1+ an-1= 2an,所以数列an是首项为 0,公差为 2 的等差数列，故数列an的通项公式是 ch= 2n 2.(6 分)又直线 PT 的斜率 kPT=y04X0X0X0y0X0y0X0 x0 4 = 4y2= 4y0所以T11T Tn=1X2+2X3+1n (n + 1)=(1(1- 2)+(2 - 3)+11 _ 1( (n n + 1) )=1 1n+ 1nn +1. .(9 分)1Tk=T2

14、T3=2 2X3 3=-3 4 2 k+12(证法 1)若存在kzn, tzn, k丰t,k, t N，使得 Tn= TkTt,n + 1 k + 1 t + 1J，所以 k= 1.(10 分)只需倉=k-占，所以 n111r1111即1 1+- =(1(1+以1 1+7),即 1= 1+-+k，则t =守丄.(13 分)k n16再设直线 I: y=x x与函数ef(x)的图象切于点(Xi, yi),取 k= n + 1,贝 U t = n(n+ 2),所以对数列中的任意一项T Tn= &，都存在T Tn+1=宦和丁n2+ 2nTn2+2n=( n+ 1)2使得 Tn= Tn+1 T

15、n2+2n.(16 分)*n n (n+1) n (n + 2)( (证法2)2)对于任意n n N ,T Tn= n+ 1 =2(n2+ 2n)+ 1 n+ 2n+ 1In2+2n Tn+1,所以对数列Tn中的任意一项 Tn=二二+，都存在 Tn+1n + 1 十n2+ 2nn+2 和T Tn2+2n= ( n+ 1)2，使得 Tn= Tn+1 Tn2+2n.(16 分)1 1a alnln x x= 0 时，有 X = e1-a,20. (1)解：因为 f (xx)x2当 f (0 时，In xv1 a,解得 当f (v) 0 时，In x 1 a,解得 所以函数 f(x)的单调增区间为(

16、0,(2)解：设直线 I: y= kx 与函数1k =,则x x0解得 X0= e,y0= kx0= In X0,0vxve1 a；xe1a.e1a),单调减区间为y= In x 的图象切于点k= e.(6 分)(2 分)(e1a，+m). (4 分) (xo,yo),11 a In X1k k= e 则x21y1=孑1=a+ In X1X12若 X1.有=1 a In x1= a + In X1,e即近=a+ In x e11=2 解得X1=,a= In X1= 如所以实数a 的取值集合为2ln 2 .(9 分)证明:a+ In x由=axax,X得 In x a(x2 1) = 0.1 一

17、 2ax2h(x) = In x a(x2 1)(x0),贝 U h (x=-X1 1.由0 0va av2，得,2a1.1.Ovxv,h (x) 0, h(x)单调递增;,h (x)v0, h(x)单调递减.x当 x13t2 t +1(t t2)2+4 .2=2 0.t2t217因为 av1,所以 h(1)1=-lnln a a+a a-1=u u（a a）vu u=0 0，所以1QV0.1 1因为函数 h(x)的图象在莎，a 上连续不间断,所以由零点存在性定理可知？X2所以函数 h(x)有两个零点 xi= 1,1 1cj2a，a），使得 h（x2）=0.（14 分）1 1X X2（2a，a

18、）-111因为0 0va av2，X7+QV1 1+2a2a，1其中 0v2av1,舌舌2,111所以書+x;va.（1616分）182020届高三模拟考试试卷（苏州）数学附加题参考答案及评分标准_1 ac 221. A.解：由题意，MM1=b 10 dc= 1,a= 2,2+ ad= 0,b= 0,20所以解得所以 N =.（5bc= 0,c= 1,112b+ d= 1,d= 1,入+ 20令 N 的特征多项式f（入=1=（卅2 2）（）（1）= 0,有X=-2 或X=1,所以 N 的特征值为2 和 1.（10 分）B.解：（1）由已知得半圆 C 的直角坐标方程为x2+ y2= 1（y 0）

19、, 因为 A（1 , 0）, AP 的长度为-n，所以在极坐标系中，点3n即点 P 的极坐标为（1 , 3）. （4 分）1 3（2）由（1）知，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（？，2），因为 A（1 , 0），所以直线 AP 的直角坐标方程是 y = .3x + 3, （8 分）所以直线 AP 的极坐标方程是 psin（叶-3） 23.（10 分）C.证明：由柯西不等式可得（1 5+ x+i 2 . 4 x）2W（1 + 2）（5 + x+ 4 x）= 27,因为 x （ 5, 4），所以+ , 8 2x 3 3.（10 分）22.解：在长方体 ABCDA1B1C1D1中，DA , DC

20、, DD1两两垂直，以DA , DC , DD1为正交基底建立空间直角坐标系（如图）,（1 分）c 2+ ad be2b+ dnP 极径等于 1，极角为,319可得 A(4 , 0, 0), B(4, 6, 0), C(0, 6, 0), Di(0, 0, 6). 由 E 为棱 BC 的中点，得 E(2 ,6, 0).由 F 为线段 DIE 的中点，得 F(1 , 3, 3).(1)因为 G 为 AB 的中点，所以 G(4, 3, 0),此时 FG= (3, 0, - 3), DE = (2, 6, 0).设异面直线 FG 与 DE 所成的角为a,即异面直线 FG 与 DE 所成角的余弦值为，

21、.梓分）(2)根据题意,DF = (1 , 3, 3)，设 G(4 , t , 0)(0 t|=FG DE =6=5|FG| |DE|3 3 J J，2 2X21021010108所以 G(4, 0, 0)，即点 G 的位置与点 A 重合.(10 分)23. (1)解：因为 f(2) = ( 2 1)2= 3- 2 2,所以 f(4) = (3-2 2)2= 17- 12 2, f(5) = f(4)f(1) =(17- 12 2)( 2- 1) =- 41 + 29 2,即 a=- 41, b= 29, a+ b=- 12.(3 分)(2)证明：(证法 1)因为(2 + 1)n= Q+ C.2+ Cn ( . 2)2+ C ( 2)3+, 所以设(2+ 1)n= a+2b,其中 a= 1 + Cn ( 2)2+ Cn ( 2)4+为正奇数， b= Cn+ 2 出出+ + 4 疵疵+ +为正整数，贝V (1 2)n= a叮2所以(a+ 2b)(a - 2b)= ( 2+ 1)n(1 - ,2)n= ( - 1)n.(6 分)1当 n 为偶数时，a2= 2b2