2020届河北省安平中学高三上学期第一次月考数学(理)试题(实验部)(解析版)

1、对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算第 1 1 页共 1919 页2020届河北省安平中学高三上学期第一次月考数学（理）试题（实验部）一、单选题1 1 集合止盜加：，： -：，则庄门丄（）A A BC C D D 【答案】C C【解析】 通过解不等式分别得到集合，然后再求出|也 1 1 引即可.【详解】由题意得 A A = =v v J J = = x|gxx|gx gg = = &|0&|0 x x ,B-tx|xB-tx|x3 3x3x 1 1【答案】B B【解析】由对数函数y log2x为单调递减函数，根据3【详解】2由题意，对数函数y log2x为单调递减函数

2、，又由y log2空1,33所以当log2a 1时，解得 a a ,故选 B B.33【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5 5.函数2 sin(26x)的图象大致为()()yAxA412-32-31，即可求解.第4 4页共 1919 页【答案】A A【答【解f(x)f( x)2吩覘4x12xcos( 6x)2xcos6x4x11 4x2xcos6x,4x1f(x),所以函数f(x)f(x)是奇函数，故排除选项 A A,n(0,)时，f (x)0，故排除选项 B B，当x12选项 C C；故选 D.D.

3、又在区间时，f(x) 0，故排除点睛：已知函数的解析式识别函数的图象时，往往从函数的定义域、单调性、对称性(周期性)、值域或最值、特殊点函数值等方面进行判定，如本题中先通过定义域排除选项A A，再通过特殊函数值进行排除6 6 在各项均为正数的等比数列an中，a63，贝u a4A A 有最小值 6 6B B.有最大值 6 6C C .有最大值 9 9D D .有最小值 3 3a4、as用a6和公比表示，然后利用基本不等D DB B.D D.第5 5页共 1919 页3当且仅当 3q2即q 1时上式等号成立q本题正确选项：A【点睛】本题考查等比数列的通项公式，考查了利用基本不等式求最值，是基础题x

4、厂37 7 若变量x,y满足约束条件x y2xy1，则z ln y3lnx的最大值为（）A A.2B B.2ln 2C C.ln 2D D.ln2【答案】D D【解析】根据约束条件得到可行域, 将zln y ln x化为z ln-，根据-的几何意义可求得取C 1,2时，上最大，代入可求得 z z 的最大值. .x【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：Q z In y lnx In z取最大值时，最大xx式求得答案 【详解】设等比数列an的公比为q(q0)a632Q3a422,a8a6q3qqq3232印a$23q2,23q6q1 q【解析】由题意设出等比数列的公比，把第6 6页共 1

5、919 页-的几何意义为：x, y与原点连线的斜率x由上图可知，点C与原点连线斜率最大x y 3y由得：C1,2-2ZmaxIn 2Xy 1xmax本题正确选项：D【点睛】本题考查线性规划中斜率型的最值的求解，关键是能够明确分式类型的目标函数的几何意义，属于常规题型 8 8. 1717 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割 如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿 ”1金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最 美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）第7 7页

6、共 1919 页例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC中，BC空根据这些信息,AC可得sin 234()B B.4、58【答案】C C【解析】要求 sin234sin234的值, 需将角234用已知角表示出来，从而考虑用三角恒等变换公式解题.已知角有36,正五边形内角108,ACB72，已知三角函数值有丄BCcos72 - AC所以234 =2 72 +90 =144+90，从而sin 234 =cos144【详解】由题可知ACB72，且cos72BC2ACcos1442cos272则sin 234sin 14490 cos144【点睛】本题考查三角恒等

7、变换，考查解读信息与应用信息的能力9 9 .将函数f(x)2sin(2 x)(0)的图象向左平移6 6 个单位后得到函数y g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数，则函数y f(x)在吩的值域为()A A . 1,2B B.1,1C C. 、3,2D D.3.3【答案】A A【解析】由图象平移可得x，根据g x为偶函数和 的范围可求得，从而得到第8 8页共 1919 页第9 9页共 1919 页fX解析式；利用X的范围求得2x的范围，根据正弦函数图象可求得函数值域6【详解】f X向左平移6 6个单位得：gX2sin 2x 62sin 2x 3又gX为偶函数k,kZ-k,k Z326Q 0fx

8、2si n2x 66当X0,时，2X 7sin 2x 1,1266 662f x 1,2本题正确选项：A【点睛】值域问题的求解，关键是能够采用整体对应的方式，结合正弦函数的图象来进行求解【答案】B Buuvuuv【解析】分析：由OAOB 2可得点 O O 在线段AB的垂直平分线上，由结合题意可uuu LHWuuv uuv得当 C C 是AB的中点时OC最小，由此可得0B与0C的夹角为60,故OA,OB的夹点 O O 在线段AB的垂直平分线上.点C在线段AB上，且OC的最小值为 1 1,uuu/,uuu/当 C C 是AB的中点时OC最小，此时OC 1,-OB1与的夹角为60uuv ujur-O

9、A,OB的夹角为120本题考查三角函数图象平移变换、根据函数性质求解函数解析式、三角函数在区间内的uuvuuuOBuuv2，点C在线段AB上，且OC的最小值为uuv uuiv1 1,贝y OA tOB( (t R) )的最小值为()A A .2B B.3.3C C. 2 2D D.5角为120然后根据数量积可求得uuv uuv2OA tOB，于是可得所求.详解:uuvOAUJVOB1010 .已知OA第1010页共 1919 页UJUI22UUV2uuv uuvOA t2OB 2tOA OB4 4t22t 2 cos1204t22t 44(t2)233，当且仅当t 2时等号成立22uuv uJ

10、V2二OA tOB的最小值为 3 3,uuv uuv OA tOB的最小值为J3故选 B B.点睛：求解平面向量最值或范围问题的常见方法V I V| V V v V(1)(1) 利用不等式求最值，解题时要灵活运用不等式a - b a b a + b(2)(2) 利用函数思想求最值， 常利用 平方技巧”找到向量的模的表达式， 然后利用函数思想求最值，有时也常与三角函数知识结合求最值.(3)(3) 利用数形结合思想求最值， 利用平面向量 形”的特征，挖掘向量的模所表示的几何意义，从图形上观察分析出模的最值.uuv UUV2又OAtOB1111 若三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形,

11、AB SA SBSC 2，则该三棱锥的外接球的表面积为(16A A .38B B.3【答案】A A【解析】 如图，底面是等腰直角三角形,D是AB中点，所以外接球圆心O在SD上,设外接球半径为R，所以有R212(、，3 R)2，解得R乙5，所以该三棱锥的外3接球表面积为. .3故本题正确答案为A.第1111页共 1919 页点睛：空间几何体与球接、切问题的常用求解方法 (1)(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转 化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)(2)若球面上四点P,代B,C构成的三条线段PA, PB,P

12、C两两互相垂直，且PA a,PB b, PC c, 一般把有关元素 补形”成为一个球内接长方体,的距离的最小值，禾 U U 用导数求出切点1,0，利用点到直线的距离公式可得一9一满足条件存在X0 0 使f x0，求出过切点且与 y y 3x3x 垂直的直线方程,10【详解】f x表示点x,3ln x与点a,3a间的距离的平方，f x的最小值表示曲线y 3lnx上的点到直线 y y 3x3x 的距离的最小值,设过点x),3ln X。到直线 y y 3x3x 的距离的最小值，33of x，则由3，解得 x x 1 1xx即为点1,0到直线 y y 3x3x 的距离d,利用4R2a2b2c2求解.1

13、212 设函数f(x)2 2(x a) (3ln x 3a),若存在x，使f9x10，则实数 a a 的值为(1A A.10【答案】1B.4【解f x表示点x,3ln x与点a,3a间的距离的平方,的最小值表示曲线y3lnx上的点到直线 y y 3x3x 的距离的最小值，设过点xo,3ln xo到直线 y y 3x3xd10，联立即可求第1212页共 1919 页y 3x1由1，解得xy x 11031所以 a a . .10故选：A A【点睛】档题 二、填空题1313已知a2sin15 ,2sin 75,|a b| 1,；与；b b 的夹角为一，则3【解析】 先求a，再分别根据向量数量积定义

14、以及数量积运算绿求a a b，即可得出结果 【详解】r _ _因为aJ4sin2154sin275v4sin2154cos2152,a a b a|ar r r r2又a a b a所以a b 3. .故答案为：3.3.【点睛】本题考查了向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属于基础题. .2 2d 3o，所以fxmin10，本题考查了不等式能成立问题、导数在研究最值中的应用以及导数的几何意义,属于中b cos 3第1313页共 1919 页1414 .已知 命题p:(x m) 3(x m)”是 命题q:x 3x 40”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为_ . .【答案】m 1

15、或m 7【解析】 设命题p中x的取值集合为A，命题q中x的取值集合为B 由题意可得B A，可求m的取值范围 【详解】由不等式（x m）23（x m），可得（x m） x m 30. .Q m 3 m, x m 3或x m，记集合A x x m3或x m解不等式x23x 4 0，得4x1，记集合B x4 x 1. .Q命题P是命题q成立的必要不充分条件，B? A,m 1或m 34，即m 1或m 7. .故答案为：m 1或m 7. .【点睛】本题考查充分条件、必要条件和解一元二次不等式，属于基础题 1515 .已知曲线yx In x在点21,1处的切线与曲线y axa2 x 1相切，则a=a=.【

16、答案】8 8【解析】试题分析:函数y xIn X在（1,1）处的导数为y |x111x|x 12，所以切线方程为一曲线y ax2（a 2）x 1的导函数的为1-，因-与该曲线相切，可令_ 一-一一- _ .，当；时，曲线为直71r 1叫线，与直线平行，不符合题意；当-时，代入曲线方程可求得切点.-一，X代入切线方程即可求得一：二-. .【考点】导函数的运用 【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线 的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求 得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横 坐标代

17、入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参 数.第1414页共 1919 页1616.如果函数f x在a,b上存在 羽公2a%vx?vb满足f x1，则称函数f x是a, b上的双中值函数”，已知函数_32_f x x x a是0,a上双中值函数”，则实数a的取值范围是 _f x21第1515页共 1919 页【答案】丄,23x22x a2a在区间0,a有两个解，结合二次函数的图象和性质可构造关于a的不等式组，求解可得a的取值范围.【详解】2xa,f x3x22xQ f x3x在区间0,a存在X1,x?a为x2b满足fX1ff aX2f 03a令g x3x2xaa0

18、 xa4122aa0则013a解得：1 a 1202g0aaga2a2a01 1实数a的取值范围是-,1-,12 21 1本题正确结果：- -,1,12 2【点睛】个数问题，从而可以根据二次函数的图像与性质，构造出不等关系，从而可求得结果, 属于中档题三、解答题1717 .在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足2 2sin A sin Asin B 6sin B 0. .a(1 1)求一的值；【解析】 根据题目给出的定义可得fX1X2a2a，即方程方程3x22xa在区间0,a有两个不相等的解本题主要考查新定义的运算问题,关键是能够通过定义将问题转化为方程在区间内根的1第161

19、6页共 1919 页b2,第1717页共 1919 页3(2(2)若cosC，求sin B的值. .4【答案】(1 1) 2 2; ( 2 2)sinAsinB 6sin2B 0两边同除以sin2B，即可求得sA si nB结合正弦定理即可得解。则sinB1 cosB2【点睛】于中档题。【解析】(1 1)对sin?A(2(2)由余弦定理及2可得c, 2b，再利用余弦定理即可求得cosB也8题得解。【详()因为sin2AsinAsinB 6sin2B 0，sinB 0，所以sinAsinBsinAsinB得sinAsinB2或坐sinB3(舍去)，由正弦定理得sinAsinB2. .(2(2)由

20、余弦定cosC2a2abb2c22b代入，得5b2c23b2,.2b，由余弦定理得：cosBa2c2b2，即:2accosB2b24b2b22 2b 2b5”28本题主要考查了正、余弦定理及同角三角函数基本关系,考查计算能力及方程思想，属2,第1818页共 1919 页(1)求数列an和bn的通项公式；1818 .等差数列an的前n项和为Sn, ,数列bn是等比数列，满足印3, ,b-i1, ,b2S210, ,a52b2a3. .2第1919页共 1919 页一,n为奇数(2(2)令CnSn，设数列cn的前n项和 T Tn，求 T T2n. .bn,n为偶数【答案】(1 1)an2n 1,

21、,bn2n1(2 2) 丁2.=旦-4 4n1 12n2n 1 13 3【解析】(1 1)利用等差数列与等比数列的通项公式， 根据已知条件联立方程组即可求得an和bn的通项公式；【详解】2,n为奇数QCnSnbn，n为偶数(2(2)因为 C Cn，n为奇数Sh，将其分组求和，当n奇数，Cnbn，n为偶数2 1Snn1可用裂项求n 2和， 当n偶数, ,Cnn 12用等比数列求和 即可求得T2n(1(1)设数列anbn的公比为q由b2S210，a52b2a3an4d(2(2)由 a a1d 102q 3 2d2(n 1) 2n3, ,an2n 1根据等差数列前n项和公式解得1，bn2n: :Sn

22、(a1an)n2得：Snn(n 2)当n奇数，Cn2Sn当n偶数，Cn2n1C C3L LC2n132n12n 1=1亠2n 12n1 4 2n 1第2020页共 1919 页2n2n 2 2n所以 T T2n= =4 4 1 1 . .2n2n 1 13 3【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n n 项和公式、分组求和”、裂项求 和”掌握数列的常见题型求和方法是解题关键n口L二mmx - j），且工对=ft才-刃.求宓的最小正周期；若沁:在m上单调递增，求正数| |的最大值;（2 2）先求出函数单调增区间的一般形式，利用tan（2a-? + 41an（2ia-;J；2kz-钗

23、E X，则kn-r x 0（i i（2 2）（3 3）若 unun（2a2a ” 中=2 2，求 f f2 2 ）t t（2 2）令（3 3）怜【答案】 （1 1）TL【解析】 （1 1） 由- 壬-?; :得到函数图像的对称轴为，因此1工】2依据的范围可得的值从而得到函数的最小正周期（3 3）将Fd/【：,-；化为【详解】（1 1）因，故仪加I的图象关于直线 汀疳对称所以EM JI7_ J 2，故二工故2w厂可得所求的三角函数式的值，解得蛊的最大值为I 第2121页共 1919 页（a）+ 2f（2一）- sin2（2a-） + 4sin（2a- ）cas（2a-j）【点睛】同角的三角函数的

24、关系式中，我们知道角的某一个三角函数值，则可以求另外两个三角函数值(即知一求二)，求另外两个三角函数值时，注意角的范围的讨论利用同角的三角函数的基本关系式可以化简一些代数式，常见的方法有：(1) 弦切互化法：即把含有正弦和余弦的代数式化成关于正切的代数式，也可以把函数正切的代数式化为关于余弦和正弦的代数式；(2) “1 1 的代换法：有时可以把1看成十旳 JuJu -22020 .已知函数f x x 4xa3, ,aR；1若函数y f x在1,1上存在零点，求 a a 的取值范围；2设函数g x bx 5 2b, ,b R, ,当a 3时，若对任意的为1,4，总存在X21,4，使得gf X2,

25、 ,求b的取值范围 1【答案】(1 1)8 a 0(2 2)1,2【解析】(1 1)f x在1,1单调递减且存在零点，根据零点存在定理可得: :f ( 1)f(1) 0, ,即可求得 a a 的取值范围；(2 2)对b进行讨论，判断g (x)的单调性，分别求出f x, ,g(x)在1,4的值域，令g (x)的 值域为f x的值域的子集，列出不等式组，即可得出b的范围 【详解】2(1)f x x 4x a 3的函数图像开口向上，对称轴为x 2f x在h1上是减函数，Q函数f x在1,1上存在零点（3 3）第2222页共 1919 页根据零点存在定理可得：f( 1)f(1)0即: :a(8 a)

26、0解得：8 a 02(2)a 3时，f x x 4x 6f x在1,2上单调递减，在2,42,4上单调递增f x在1,4上的最小值为f (2) 2，最大值为f (4) 6即f x在1,4上的值域为2,6设g(x)在1,4上的值域为M第2323页共 1919 页对任意的Xi1,4, ,总存在X21,4使得g Xif X2M 2,6当b 0时，g(x) 5, ,M 5符合题意; ;当b 0时, ,g(x) bx 5 2b在1,4上是增函数M 5 b,5 2b5b 215 2b 6，解得：0 b -2b0本题考查了二次函数的单调性判断，值域计算, ,零点的存在性定理 在给定区间上任意的X1, ,在给

27、定区间总存在X2, ,保证g X1f X2, ,将其转化为g(x)的值域为f x值域的子集是求b的取值范围关键 2121.如图，已知四棱锥P ABCD，底面ABCD为菱形，AB 4,DAB 60,AP PD,AP 2 3,BP 4,M为AD的中点 M52b,5 b52b25b 6，解得：1 b 0b01综上所述: :b取值范围是1,.2当b0时，g(x)【点睛】bx 5 2b在1,4上是减函数,第2424页共 1919 页(1) 求证：平面BPM平面APD;(2)若点N在线段BC上，当直线PN与平面PMC所成角的正弦值为 二6时，求线8段BN的长 【答案】(1)(1)见解析.(2)2.(2)2

28、.【解析】(1 1)先证明BM面APD，再证明平面BPM平面APD；( 2 2)以点M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出ir umr cos m, PN【详解】在Rt APD中，PD42(23)22，PDA 60, -PM 2,在PMB中，PM2BM2BP2, PMMB，又ADI PM M,二BM面APD，又- BM面BPM,-平面BPM平面APD. .(2 2)由(1 1)可知BM面APD，所以以点M为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 M(0,0,0)M(0,0,0),P 0,1,.3,C 2.3,4,0,设平面PMC的一个法向量为m (x, y, z),m (2, .3,1),解方程即得解(1)(1)证明：由题意易得BMAD，且BM 2 3，V uuv,m MP 0由v uuuvm MC 0y -3z2