2020届浙江省杭州市上学期高三期末教学质量检测(一模)数学试题(解析版)

1、充分条件，故选B.B.第 1 1 页共 1818 页2020 届浙江省杭州市上学期高三期末教学质量检测（一模）数学试题一、单选题1 1 .设集合A x| x 2,B x| x 1【答案】B B【解析】求出集合B，然后可求AI B. .【详解】B x|1 x 3,AI B x|2 x 3故选：B.B.【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题 x 30，则AI B()C C.x|1 x 3A A .x|x 1B B.x|2x 3D D.x | x2,x 1第2 2页共 1818 页2x2 2 双曲线一42y1的离心率为（）A A. . 、5B.3【答案】C C2【解析】双曲线xy21中，a24,b

2、24C C 冷D D 肓本题选择 C C 选项 3 3.已知a, ,b为非零向量，贝y“a?b o”是A A .充分而不必要条件C C .充分必要条件“a与b夹角为锐角”的（）B B 必要而不充分条件D D .既不充分也不必要条件【答案】B B【解析】根据向量数量积的定义式可知，若0，贝y a与b夹角为锐角或零角，若a与b夹角为锐角，则一定有a b 0,所以a bo”是a与b夹角为锐角”的必要不第3 3页共 1818 页显然选项 A A , , B B 错；由线性规划易得孟丹的取值范围为三，故- - 不成立;2x-v + l2xl-l + l = 20【考点】线性规划5 5 .设正实数x，y满

3、足exeyex,则当x y取得最小值时，x（）A A . 1 1B B. 2 2C C. 3 3D D. 4 4【答案】B By【解析】由exeyex可得x y xy，再利用基本不等式求最值，整理计算即可【详解】yexeyexx y xy 2, xy，当且仅当x y时，等号成立，2x 2x x 2. .故选：B.B.【点睛】本题考查基本不等式求最小值，注意等号的成立条件，是基础题6 6 .已知随机变量的取值为i ii 0,1,2若P015，E1,则（) )A A .P1 DB B .P1 DC C .P1DD D .P15【答案】C Cx y4 4.若x, y满足x 1,x y0,则下列不等式

4、恒成立的是0,A.y 1【答B B.x 2C C.x 2y 0D D.2x y 10【解试题分析:作出不n-i第4 4页共 1818 页可比较大小【详解】【解析】 对a取特殊值，代入分析函数 f(x)f(x)的定义域、奇偶性以及单调性，利用排除 法即可得答案 【详解】当a 0时，f x2x2xx 0，偶函数，在0,上单调递增，图像如选项 A A 所示;【解析】设P 1 X,根据f X1列方程求出X，进而求出D，即设P1x,则P24x，则E155解得P13P215，5，1232则D0 1 -1 155故P1D,0 x 1- x 28x 1,551c , 2 22 1 -,55【点本题考查离散型随

5、机变量的分布列、数学期望、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 7 7 .下列不.可.能.是函数f Xxa2X2xa Z的图象的是( () )故选：C.C.第5 5页共 1818 页当a1时，第6 6页共 1818 页【点睛】本题考查函数图象分析，涉及函数的奇偶性与单调性的分析，是中档题 8 8 若函数y f x,y g x定义域为R，且都不恒为零，则（）A若y f g x为周期函数，贝 y yy g x为周期函数B若y f g x为偶函数，则y g x为偶函数C C .若y fx,y g x均为单调递增函数，则y f x g x为单调递增函数D D .若y f x,y g x均为

6、奇函数，则y f g x为奇函数【答案】D D【解析】 举例说明 A A , B B, C C 错误；利用函数奇偶性的定义证明D D 正确 【详解】选项 A A： f fx x sinxsinx,g x2x,yf g xsin 2x为周期函数，gx2x不是周期函数，故错误；选项 B B：f x cosx,gx 2x,y f g xcos2x为偶函数，gx2x不是偶函数，故错误；选项 C C：f x x,g x2x,yf x g x22x不是单调函数，故错误；选项 D D：f g x fg xfg xfgx，所以yf g x为奇函数，故正确故选：D D22xf xx 0,奇函数，f Xx0,上，

7、当x0时，2x2xxln2当x时，2x2xxln2 2x2xf x先减后增，1图像如选项 B B 所示；当a2时，?x2xf x2x 0，为偶函数，f xx同样-f x在0,上先减后增，图像如选项故选： C.C.2x2xxln2 2x2x右2x 0，在x0,2x2x，此时f x 0,2xxln2 2x，此时f x 0，故2x2xxln2 2x2x3x 0，xD D 所示,第7 7页共 1818 页【点睛】 本题考查复合函数的单调性，奇偶性，周期性，通过代入特殊函数，可很快排除错误选项，是基础题【详解】由题意可知p 2c,则抛物线的方程为y24CX,设不妨设P Xo,yo在第一象限，且有数量积的

8、投影可知uuiu uuLurPF2F1F22c c Xo由椭圆的焦半径公式可知PF2a eXo,由抛物线的定义PF2Xoc,a c则x0c a eX)x01 ea c 21 e 2所以xoc,即e,1 e 31 e 31解得e. .2故选：A.A.【点睛】2x9 9 .已知椭圆a2y21 a bb20的左右焦点分别为Fi，F2，抛物线y22px p的焦点为F2，设两曲线的一个交点为uuur uuujr i2PF2F1F26P，则椭圆的B B.【答案】A A【解析】设Px,y，由uuuu12F1F2-p,p 2c,可得62Xo3c，由椭圆、抛物线焦半径公式可得Xoa exo，整理可得答案. .1

9、26pc2，则Xo-c,33第8 8页共 1818 页本题考查了椭圆、抛物线的性质，运用焦半径公式计算使得解题过程简化，属于中档题第9 9页共 1818 页an 2an 1(t 1) an 1an，此时逐步递推可得据题意有a2a10，则当t2,20时，可得到数列an是一个等差数列由此可得正确选项. .【详解】解：由题意，得anan 1an2an 1an1 t,令t，则Q ,为非零常数且0,t,1 t均为非零常数，常数t 0，且t1. .故an 2tan 1(1t)an两边同时减去an 1,可得an 2an 1tan 1an 1(1 t)an(t 1)an 1an,常数t 0，且t1,t 0,且

10、t 10. .an 1an(t 1) anan 1(t1)2an 1an 2)(t1)n1a2a1,1010 已知非常数列an满足an 2an 1，若0，则()()A A .存在对任意a1,a2,都有anB B .存在对任意a1,a2, 都有anC C .存在a1,a2, 对任意都有anD D .存在a1,a2, 对任意都有an【答案】 B B【解析】本题先将递推式进行变形，然后令t将递推式通过换元法简化为an 2tan 1(1为等比数列为等差数列为等差数列为等比数列- ，根据题意有常数t 0，且t 1，t)an，两边同时减去an 1，可得an 1an(t 1)n 1a2a根第1010页共 1

11、818 页T数列an是非常数数列,a2ai0,则当t 11,即t 2，即2，即20时，an 14anan 1an 1an 2a2ai. .此时数列an很明显是一个等差数列存在，只要满足，为非零,且20时，对任意aa2，都有数列为等差数列. .故选：B.B.【点睛】本题主要考查递推式的基本知识，考查了等差数列的基本性质，换元法的应用，逻辑思 维能力和数学运算能力，是一道难度较大的题目二、填空题1111 设复数 z z 满足1 i z 2i（i为虚数单位），则z z_ ,z _. .【答案】1 i ,2【解析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用复数模的计算公式求解. .【详解

12、】由题意得zi2i 1 i-1 i，:z近近,1 i1 i 1 i故答案为：1 i,近近. .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题. .61212 已知二项式x旦a 0的展开式中含x2的项的系数为 1515,则a _,展x开式中各项系数和等于 _. .【答案】1 16464【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出a a 的值，再令 x x = 1 1，可得展开式中各项系数和0,2第1111页共 1818 页【详解】r由题意得Tr 1C6x6r空xrr 6 2rC6a x，取r = 2，则T2 2 23C6a x,2 2则C6a 15，又a 0,解得 a a 1

13、 1 ；令x 1，则各项系数和为16164. .1故答案为：1 1 ； 64.64.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基 础题 BD1313 在ABC中，BACBAC 的平分线与BC边交于点D,sinC 2sinB，则_CD若AD AC 1，贝U BC _. .【答案】2 22BD【解析】 第一空，根据三角形角平分线定理和正弦定理，即可求出的值；CD第二空，由余弦定理列出方程，即可求得BDBD、CDCD 和 BCBC 的值 【详解】BDABc由题意sinC 2sin B，得到c 2b，由角平分线定理，得到2,DC AC b因为AD AC 1，则A

14、B 2,令BD 2t，则CD t,由cos ADB cos ADC 0,4t21 4 1 t212 2t 12 1 t则BC 3t得到:第1212页共 1818 页故答案为：2 2； L2.L2.2【点睛】 本题考查了角平分线定理和正弦、余弦定理的应用问题，是中档题1 x2x 01414 .已知函数f x，则f f 2019_；若关于x的方程cos xx 0f x a 0在，0内有唯一实根，则实数a的取值范围是_1【答案】0 01,2能求出实数a的取值范围【详解】f f 2019 f cos2019 f 10,f x图象如图,1设f x与x轴从左到右的两个交点分别为A 1,0? ?B ,02f

15、 x a与f x的图象是平移关系,1由图可知，a1，1【解析】推导出f f 20190，作出函数f x1 x2x的图象，结合图形,cos x x第1313页共 1818 页1即实数a的取值范围是12故答案为：0 0;1丄2【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题. .1515 在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5 5 人报名参加了 A A, B B, C C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需 1 1 名志愿者，且甲不能参加 A A, B B 项目，乙不能参加 B B,C C 项目，那么共有 _ 种不同的志愿者分配方案.（用数字作答）【答案】21

16、【解析】 由题意可以分为四类，根据分类计数原理可得.【详解】解：若甲，乙都参加，则甲只能参加C项目，乙只能参见A项目，B项目有 3 3 种方法,2若甲参加，乙不参加，则甲只能参加C项目，A,B项目，有A 6种方法，若甲参加，乙不参加，则乙只能参加A项目，B,C项目，有A 6种方法，3若甲不参加，乙不参加，有A 6种方法，根据分类计数原理，共有3 6 6 621种.故答案为：21.21.【点睛】本题考查了分类计数原理，关键是分类，属于中档题.321616 .已知函数f x x 9x,g x 3x a a R，若方程f x g x有三个不同实数解X1,X2,X3，且它们可以构成等差数列，则a _【

17、答案】11【解析】问题等价为函数F x x33x29x a有三个不同零点，设x-ix2d,x3X2d，则F xxX2d xX2x X2d，展开，利用系数相等列方程组求a的值. .【详解】32令Fx f x g x x 3x 9x a，则Fx 0有三个不同的实数解成等差数列即x1x2d,x3x2d,第1414页共 1818 页3X232 2即3X2d 9，得：a 11. .32X2x2da故答案为：11. .【点睛】本题考查方程的根与函数的零点的关系，根据根与系数的关系设FX XX1XX2XX3是关键，考查了学生计算能力，属于中档题1717 .在平面凸四边形ABCD中,AB2，点M,N分别是边A

18、D,BC的中点，且3UULUUJUTUULT3UUU UULTMN -，若MNADBC则AB CD. .22【答案】2【解析】 取 BDBD 的中点 0 0,连接0M0M , ONON，运用向量的中点表示和数量积的性质，以及加减运算，计算可得所求值【详解】uuur uuuuuuir1 uuuLULT可得MN MOON(ABDC)，2uuuu21 UUU2uuu2uuu UULT 1UULT2UUUUULT平方可得MN ABDC2AB DC- 4 DC2AB DC44uuu uuur5 1uuu-2uuu uur uuu 3即有AB DC匕丄DC，MN (AD BC)2 221uiur uur

19、uuu uuiu uuu即有一(AB DC) (AB BD BC)21 UUU UULUUUUU 1 UUU2UUUT1UUU，23(AB2DC) (ABCD)2ABCD-42CD2解得UUD21,UUUuuu1UULT515所以ABCD DC2,222 2故答案为： - -2.2.【点睛】本题考查向量数量积的性质和向量的中点表示，化简整理的运算能力，属于中档题F x xx2d x x2xx2dx33X2X23X；d2x x；x2d2解：取 BDBD 的中点 0 0,连接 0M0M , 0N0N，664第1515页共 1818 页当2x-时，即时，fmin当2x，即x3max三、解答题2 21

20、818 .已知函数f x sin x cos x x R3(1)(1)求fx的最小正周期；求fx在区间上的值域. .3 4【答【解(1(1)由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式1f(x)2sin 2x6，根据正弦函数的周期性,得出结论(2(2)由，得2x-，进而利用正弦函数的性质可得最值【详(i)(i)Q f.2sin x2cos x 3sin2x方iin x21 cosx2.2sin x3 .2sinx4sin xcosx212cos412 cosxsin4x2sin xcosx4負in2x41cos2x41sin 2x2所以T(2)(2)因为，所以2x【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，

21、正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题 21919.已知函数f x x k x 12. .f x的单调递增区间为1,2显然，x 1为方程f x1的根，另外当x 1时，由f X 1得x2kx k 10，即x 1 x 1 k 0,当x 1时，由f x 1得x2kx k 1 0，即x 1 x 1 k 0 , x k 1,故当k2时，1 k 1，方程有三个不等根，k 1 1当k2时，1 k 1，方程有两个不等根k 13 1【点睛】本题考查函数单调区间的求法，考查方程根的个数，分类讨论是关键，属于中档题所以f x在区间上的值域为3 41 V32，T(1)(1)当k 1时，求函数f x的单调

22、递增区间；(1)(1)k 1时,xx22x2x3,x1,x yx上单调递增,第 1313 页共 1818 页0，3 3第1818页共 1818 页可知由C,P,D三点共线，即CD /PD，列方程即可求出m的值;【详解】3b2uuu由APuurmAC1uuue-AB得P -22bm . 3bm22ujurebm、.3bm所以PD42 2uuruur因为C，P，D三点共线，所以CD /PD，ABC中，BAC ，3uuurADuuur3DB，P为CD上一点,且满足2020 .如图，在uuu murAP mAC1 uuu-AB，若ABC的面积为2.3. .(1)(1)求m的值；uuu求AP的最小值 【

23、答案】(1)(1)-;(2);(2)433【解析】(1 1)建立如图所示直角坐标系， 设ACuuub，AB c,求出CD，uuurPD的坐标,(2(2)由得2，由面积可得be8，利用基本不等式可得最小值(1)(1)建立如图所示直角坐标系，设ACb，AB e，则B e,0，Cb丽丽b2，2，uuu由ADuuu3DB得D3e,o，4uuur故CD3e40，3 3第1919页共 1818 页3eb3bm3bebm所以一422242解得 m m1 122第2020页共 1818 页Cn、.n(n 1)1n，结合等差数列的前n项和公式即可证明Cn由得P 26因为SABC1 -bc22sin3手be血血，

24、所以bc 8,2bsUb2所以uuuAP2cb2c242胆44266943V 94 33所以uuuAP4当且仅当 b b2 2 乔,cW3时取得等号min33【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查三角形面积公式，属于中档题2121 .设公差不为 0 0 的等差数列an的前n项和为Sn，等比数列bn的前n项和为Tn，若a2是印与a4的等比中项，a6(1)(1)求an,Sn与Tn；若Cn SnTn，求证：c C2【答案】(l)(l)an2n, ,Snn n2【解析】(1 1)由题意得，a2aia4，代入等差数列的通项公式即可求得首项与公差,则等差数列的通项公式与前n项和可求，再将a-i, a2代

25、入a1b1a2b21，利用等比数列通项公式求出b1,q,进而可得Tn；(2)由Cn, n n 11：，结合0112,a1b1a2b21. .cnn n 221,Tn12；(2)(2)见解析1恒成立，即可得到第2121页共 1818 页【点睛】式，是中档题 (1)(1)若f x有两个零点，求实数a的取值范围；若对任意的x 0,均有2f x 3 x a,求实数a的取值范围 【答案】,e；(2)(2)ln3 3,、5xxee【解析】(1 1)f x的零点即为方程a的根，设g x,利用导数研究g x xx的单调性，画出g x的图像，通过图像可得结果；2 2(2 2)表示出F x 2f x 3 x a,求出其导数，构造函数，再利用导数判断出F x单调区间，进而求出a的取值范围【详(1)(1)根据